三維熱傳導方程的修正局部C-N方法

周文格， 阿布都熱西提·阿布都外力

(新疆大學 數學與系統科學學院, 新疆 烏魯木齊 830046)

三維熱傳導方程的修正局部C-N方法

周文格， 阿布都熱西提·阿布都外力

(新疆大學 數學與系統科學學院, 新疆 烏魯木齊 830046)

摘要：對三維熱傳導方程的經典Crank-Nicolson格式運用指數函數的Trotter Product公式進行修正和改進，推出一種求解三維熱傳導方程的修正局部Crank-Nicolson方法， 該方法具有計算量小和精度高的優點. 證明了修正局部Crank-Nicolson格式的無條件穩定性和收斂性，最后用數值實驗驗證了該方法的準確性和有效性.

關鍵詞：三維熱傳導方程；Trotter Product公式；修正局部Crank-Nicolson方法；穩定性和收斂性.

熱傳導方程或熱方程是一類重要的偏微分方程，它描述了一個區域內的溫度如何隨時間變化，是傅里葉冷卻律的一個推論．熱傳導方程出現在許多數學模型中，如在金融數學中作為期權的模型進行實際應用[1]，在物理學中模擬粒子擴散[2]，在生物學中模擬神經細胞的動作電位等等．熱傳導方程及其非線性的推廣形式經常被應用于影響分析，另外此類物理模型在工程技術等方面也有著廣泛的應用，但是許多熱傳導方程模型的解析解難求解．因此，研究熱傳導物理方程的數值計算方法具有重要的科學意義和應用價值.

近年來，求解熱傳導方程的各種數值方法已得到相當成熟的發展．其中Crank-Nicolson方法是一種較為有效的數值求解方法，此方法也可用于求解一些無解析解的模型，但是由于其精度不是很高，故實際中很少應用．因此，一些從事偏微分方程數值解研究的專家和學者對Crank-Nicolson方法進行了修正和改進，如AbdirishitAbduwali在1992年和1997年分別提出了常系數熱傳導方程的局部Crank-Nicolson方法[3]和修正局部Crank-Nicolson方法[4].開依沙爾·熱合曼用此方法研究了一維對流擴散方程[5]，黃鵬展將該方法推廣到一維變系數熱傳導方程[6]以及一維和二維的Burgers方程[7]，隨后郭瑞又用修正局部Crank-Nicolson方法對二維非定常對流擴散方程進行了應用，均得到了計算量少、精度高的結果．本文采用此方法構造三維熱傳導方程的有效差分格式，以期提高數值解的準確度，并使修正Crank-Nicolson方法的應用得到進一步發展.

1三維熱傳導方程的Crank-Nicolson方法

求解初值問題

(1)

其中，(x,y,z,t)∈(0,L)×(0,L)×(0,L)×(0,T].

初邊值條件為

(2)

這里a>0，g(x,y,z) 是(0,L)×(0,L)×(0,L)上的連續函數.

該初邊值問題的經典Crank-Nicolson格式如下：

(3)

2三維熱傳導方程的修正局部Crank-Nicolson方法

對方程(1)的空間二階微分項用中心差商代替，就得到半離散差分方程式

對治療后患者的癥狀進行評估，顯效為再無心肌梗死癥狀，有效為心肌梗死的心絞痛程度有所改善，無效為癥狀無變化甚至出現加重現象，顯效率與有效率之和為治療的總有效率。

(4)

其中： Ψ(t)=[(Ψ(x1,y1,z1,t),…，Ψ(x1,y1,zM-1,t)),…，(Ψ(x1,yM-1,z1,t),…，Ψ(x1,yM-1，zM-1,t)),…，(Ψ(xM-1,y1,z1,t),…，Ψ(xM-1,y1,zM-1,t))，…，(Ψ(xM-1,yM-1,z1,t),…，Ψ(xM-1,yM-1,zM-1,t))]T.xi=ih,yj=jh,zk=kh(i,j,k=1,2,…，M-1),h=L/M.這里A是一個(M-1)3×(M-1)3的分塊五對角矩陣，即

(5)

式中：I為(M-1)×(M-1)的單位矩陣;O為(M-1)×(M-1)的零矩陣;B為(M-1)×(M-1)的三對角矩陣.

方程(4)關于初始值 Ψ(0)=[(Ψ(x1,y1,z1,0),…，Ψ(x1,y1,zM-1,0)),…，(Ψ(x1,yM-1,z1,0),…，Ψ(x1,yM-1,zM-1,0)),…，(Ψ(xM-1,y1,z1,0)，…，Ψ(xM-1,y1,zM-1,0)),…，(Ψ(xM-1,yM-1,z1,0),…，Ψ(xM-1,yM-1,zM-1,0))]T的解可以表示為

(6)

對時間變量t進行離散，tn=nτ(n=1,2,…,N)，τ=T/N．方程(6)可化為

(7)

利用Trotter Product公式，我們得到如下迭代格式：

(8)

其中λ=aτ/h2.

(9)

然后，取格式(8)和(9)的平均值，即

(10)

格式(10)就是求得的方程(1)的修正局部Crank-Nicolson格式．

3修正局部Crank-Nicolson方法的穩定性和收斂性

證明Crank-Nicolson格式(3)可化為

(11)

式(11)又可以寫成如下形式：

(12)

顯然方程(12)與格式(3)有相同的截斷誤差

(13)

考慮(8)的截斷誤差，由于它是由(M-1)3個Crank-Nicolson格式相乘得到的，所以其截斷誤差為

(14)

顯然知道格式(10)的截斷誤差階與(8)是相同的，即O(τ2+h2+h2+h2)．因此差分格式(10)是相容的.

證明由定理2、定理3和Lax等價定理，可以得到差分格式(10)是收斂的.

4數值實驗

考慮下面已知解析解φ(x,y,z,t)=100e-3π2tsinπxsinπysinπz的定解問題

其中(x,y,z,t)∈(0,1)×(0,1)×(0,1)×(0,T] .初邊值條件為

不同條件下的數值解和解析解見表1、表2.

表1　當 τ=0,h=0.1時，Crank-Nicolson方法和修正局部Crank-Nicolson方法的

表2　當τ=0.1,h=1/15 時，Crank-Nicolson方法和修正局部Crank-Nicolson方法的

5結束語

修正局部Crank-Nicolson格式利用指數函數TrotterProduct公式把大型稀疏矩陣分裂為一些簡單的小型矩陣，盡管格式中出現了矩陣的逆運算，但可以準確地求出其表達式，沒有誤差，從而既避免了直接求解以大型矩陣為系數的線性方程組的繁瑣，又提高了經典Crank-Nicolson格式的精度．

參考文獻:

[1]喬嗣佳.利用熱傳導方程推導Black-Scholes期權定價模型[J].改革與開放，2012(8)：133-134．

[2]袁利國，邱華，聶篤憲.熱傳導(對流-擴散)方程源項識別的粒子群優化算法[J].數學的實踐與認識，2009(14)：94-101.

[3]AbdirishitAbduwali，MichioSakaihara，HiroshiNiki.AlocalCrank-Nicolsonmethodfortwo-dimensionalheatequation[J].TheJapanSocietyforIndustrialandAppliedMathematics，1992，2(4)：267-283.

[4]AbdirishitAbduwali.AcorrectorlocalCrank-Nicolsonmethodforthetwo-dimensionalheatequation[J].MathematicsNumericaSinica，1997，19(3)：267-276．

[5]開依沙爾·熱合曼，阿布都熱西提·阿布都外力.對流擴散方程新的數值解法及其應用[J]. 新疆師范大學學報：自然科學版，2005,24(3)：47-51．

[6]黃鵬展，阿布都熱西提·阿布都外力.修正局部Crank-Nicolson法對變系數擴散方程的應用[J]. 吉林大學學報:理學版，2008,46(6)：1 068-1 072．

[7]PengzhanHuang，AbdirishitAbduwali.ThemodifiedlocalCrank-Nicolsonmethodforoneandtwo-dimensionalBurgers'equations[J]．ComputersandMathematicswithApplications，2010,59：2 452-2 463．

(編輯：郝秀清)

收稿日期：2014-06-25

基金項目：國家自然科學基金資助項目(10971024)

作者簡介：周文格，女，wengezhou@sina.cn； 通信作者： 阿布都熱西提·阿布都外力,男,rashit@xju.edu.cn

文章編號：1672-6197(2015)01-0010-05

中圖分類號：O193

文獻標志碼：A

ModifiedlocalCrank-Nicolsonmethodfor
solvingthreedimensionalheatconductionequations

ZHOUWen-ge,AbdirishitAbduwali

(CollegeofMathematicsandSystemScience,XinjiangUniversity,Urumqi830046,China)

Abstract:The classical Crank-Nicolson scheme of three-dimensional heat conduction equations is modified and improved, using Trotter Product formula of the exponential function. The modified local Crank-Nicolson method is developed for solving three-dimensional heat conduction equation, and it has the characteristics of a small amount of calculation and high precision. We also proved unconditional stability and convergence of the modified local Crank-Nicolson method. Finally the numerical experiment is conducted to verify the accuracy and availability of the method.

Key words:three-dimensional heat conduction equations; Trotter Product formula; the modified local Crank-Nicolson method; stability and convergence