正弦型黏彈性拱的非線性動力學行為研究

第一作者黃繁男，博士，1985年12月生

通信作者戴紹斌男，研究員，1965年1月生

正弦型黏彈性拱的非線性動力學行為研究

黃繁，戴紹斌，黃俊

(武漢理工大學土木工程與建筑學院，武漢430070)

摘要：利用分數導數的本構關系建立了黏彈性拱的控制方程，采用Galerkin方法簡化了拱的數學模型。提出一種求解含分數算子的非線性方程的數值方法，并利用該方法對控制方程進行求解。考察載荷參數、材料參數對拱動力響應的影響。運用非線性動力學中各種經典的分析方法，如時程曲線、功率譜、相圖、龐加萊截面等，判別并揭示了黏彈性拱的豐富的動力學行為。

關鍵詞：分數導數；黏彈性拱；數值方法；相圖；龐加萊截面

基金項目：湖北省自然科學基金(2012FFB05112)

收稿日期：2013-12-19修改稿收到日期：2014-04-30

中圖分類號:Tp12；Tp13.3

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.07.027

Abstract:The motion equation governing the dynamical behaviors of a viscoelastic arch was derived. The viscoelastic material was assumed to obey the fractional derivative constitutive relation. The motion equation was simplified by Galerkin method. An effective numerical method for solving the nonlinear equation with fractional operator was developed and the motion equation governing the dynamical behaviors of the viscoelastic arch was solved with the method. The influences of load parameters and material parameters on the dynamic responses of arch were considered respectively. By using some classical methods in nonlinear dynamics, such as the methods of time history curves, power spectrum, phase diagram, Poincare section, etc., the complex dynamic behaviors of viscoelastic arch were discriminated and revealed.

Nonlinear dynamic behaviors of sine type viscoelastic arch

HUANGFan,DAIShao-bin,HUANGJun(School of Civil Engineering and Architecture, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China)

Key words:fractional derivative; viscoelastic arch; numerical method; phase diagram; poincare section

經典的黏彈性本構模型在描述黏彈性材料本構關系及其力學特性方面存在著很大的局限性，大量的實驗及工程實際都表明，至少對一大類高分子聚合物材料，例如一類地層結構、聚合物、硅膠、合成纖維、玻璃陶瓷等，分數微分型黏彈性本構關系可以在很寬的頻率范圍內描述材料的力學行為[1-7]。

目前已經有不少學者對彈性拱做了分析[8-10]，但對黏彈性拱的研究還比較少見，本文利用分數導數的本構理論建立了黏彈性拱的數學模型。運用非線性動力學中各種經典的方法進行分析，如時程曲線、功率譜、相圖、龐加萊截面等[11-13]。分別考察了載荷參數和材料參數對拱動力響應的影響。

1數學模型及其簡化

考慮兩端鉸支的黏彈性扁拱，L是拱的跨度，A是橫截面面積，ρ是質量密度，I是截面慣性矩。記X表示水平軸，Y0(X)，Y(X,t)分別表示初始形狀和變形后的形狀坐標。Q表示拱的垂直振動載荷，假設H、M分別為拱單元截面上的水平力和彎矩，由動力平衡條件：

(1)

引入分數導數本構關系描述拱材料特性,設有

σ(t)=E0ε(t)+E1Dq[ε(t)]

(2)

式中E0和E1為材料常數， 0

拱單元截面上的彎矩

(3)

拱的軸向變形

(4)

拱單元截面上水平力

(5)

為了書寫方便，定義算子

S=E0+E1Dq=E0(1+ηDq)

則有

(6)

(7)

將式(7)、(8)代入式(1)中，因此黏彈性拱的動力微分方程可以轉化為

(8)

拱的邊界條件：x=0,x=l時 ，

(9)

設w(x,t)=Y(x,t)-Y0(x)代入式(8)中，則微分方程可轉化為：

(10)

k3uDq(u2))+k1u+k2u2+k3u3=0

(11)

2算法描述

考慮黏彈性拱受單個簡諧激勵作用，則其受迫振動微分方程為

k3uDq(u2))+k1u+k2u2+k3u3=pcosωt

(12)

利用分數微積分的性質，可得

(14)

運用四階龍格庫塔法對方程組(13)進行求解，其中z(t)和z1(t)利用下文推導的分數導數數值算法進行計算。

考慮Z(t)=Dqx(t)的計算方法。取等距積分步長為Δt，由于被積函數在t=nΔt時有奇性，所以，當t=nΔt足夠大時，把積分分成兩部分

(15)

設Z(t)=J0+J1+J2，其中

(16)

(17)

(18)

J0可以直接求出，J1可以通過梯形求積公式直接求得。

而J2由于在積分上限處被積函數奇異，需要進行特殊處理。本文采用等距GAUSS求積方法進行線性化處理，設權重函數為

(19)

3動力學行為分析

3.1載荷的影響

圖1　載荷參數p改變時，位移分岔圖 Fig.1 Bifurcation of displacement-exciting amplitude

給定材料參數和幾何參數為k1=10,k2=6,k3=2,η=0.02,ω=1.6,q=0.5。圖1為載荷參數p發生變化時，黏彈性拱的位移分岔圖。

從圖1可以看到 ，系統由倍周期分岔進入混沌。當載荷參數比較小時p<9.4，系統為周期1的運動，當p∈(9.4,13.8)時系統為周期2的運動，當p>13.8時，系統為擬周期運動或混沌運動(如圖2所示)。

當p=14時：

從圖2不難看出，系統顯現混沌運動，龐加萊截面上顯示了系統的動力學結構。圖3為相位角改變時，得到的不同狀態的龐加萊截面。

通過考察載荷參數p對運動行為的影響，我們發現，在參數p比較小時，系統運動為周期運動。隨著p值的增加，系統由周期運動發生分叉。當p>13.8時，系統為擬周期運動或者混沌運動。

(a) 相圖(b) 時程圖(c) 功率譜(d) 龐加萊截面圖2 動力學行為圖Fig.2Diagramofdynamicalbehaviors

圖3 龐加萊截面Fig.3Poincaresection圖4 材料參數η發生變化時,位移分岔圖Fig.4BifurcationdiagramofDisplacement-materialparameter

3.2材料參數η的影響

給定相關材料參數、幾何參數k1=10,k2=6,k3=2,ω=1.6,q=0.5,p=14。圖4為材料參數η發生變化時，拱的位移分岔圖

從圖4中，我們不難發現，當材料參數η值較小時(η<0.020 2)，系統作擬周期運動或者混沌運動。當η∈(0.020 2,0.02 2)時，系統作多周期運動。當η∈(0.022,0.022 8)時，系統作擬周期運動，當η>0.022 8時，系統又作周期運動

從數值仿真可見，單個簡諧激勵作用下的黏彈性拱的橫向振動可能是定常振動也可能是混沌振動。當材料參數η比較小時作混沌運動，隨著η值的增大，系統為多周期或擬周期相間出現的運動，當η>0.022 8時系統又作周期運動。材料參數η的增加，材料的阻尼性增加，有利于系統的穩定性。

4結論

(1)建立了具有分數導數型本構關系的黏彈性拱的控制方程，用GALERKIN方法簡化了拱的數學模型，得到了關于位移的具有弱奇異性的非線性積分-微分方程。

(2)考察了載荷參數p對拱的動力響應的影響。在其它參數不變的情況下，隨著載荷參數p的增加，系統由周期運動發生分叉。當p>13.8時，系統的運動演變為擬周期運動或者混沌運動。

(3)考察了材料參數對結構動力響應的影響。在其它參數不變的情況下，隨著材料參數的增加。系統逐漸演變為多周期或者擬周期運動相間出現的狀態。當材料參數η>0.022 8，系統又作周期運動。材料參數的增加有利于系統的穩定。

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