大學生物理競賽試題賞析(Ⅳ)——波動與光學部分

大學生物理競賽試題賞析(Ⅳ)
——波動與光學部分

劉家福張昌芳

(裝甲兵工程學院物理室北京100072)

摘 要：本文首先對全國部分地區大學生物理競賽中波動與光學試題所占的比例、各知識點的分布情況進行統計、分析，然后對波動與光學試題的解題方法、試題特點進行剖析，最后概括性地介紹旋轉矢量法的應用.

關鍵詞：大學生物理競賽波動與光學試題《基本要求》旋轉矢量法

收稿日期：(2014-06-20)

目前，國內每年舉辦的跨省市的以大學生為參賽對象的物理類競賽，有全國部分地區大學生物理競賽、全國大學生物理實驗競賽、全國大學生物理學術競賽、軍隊院校大學生物理科技創新競賽等.其中，由北京物理學會和北京高校物理教學研究會舉辦的全國部分地區大學生物理競賽歷史最為久遠，規模不斷壯大，之所以經久不衰，乃賴于其影響和意義[1,2].筆者10余年來始終關注該項賽事，搜集、研究了其所有試題.本文是筆者對歷屆波動與光學試題進行研究的總結，主要是對波動與光學試題進行統計、分析，并對試題的典型解題方法、特點進行剖析，希望能為日常教學、參賽選手的學習準備及競賽輔導工作提供參考.

1波動與光學試題及其在競賽中的占比

教育部教指委2010年編制發布的《理工科類大學物理課程教學基本要求》[3](以下簡稱《基本要求》)將大學物理課程內容分解為11個板塊，“振動和波”、“光學”分別為其第2和第5板塊.張三慧先生曾將這兩個板塊集于教材的一冊出版[4]，取名《波動與光學》.本文借用此名，所分析的即是以振動、波動及光的現象、性質、規律為研究對象的試題.

基于同樣的原因[2]，本文所采用的試題樣本為非物理類A組試題，剔出了其中的實驗題，而且將每一屆的理論題總分數均折合為100分.

在表1中，我們列出了歷屆競賽波動與光學試題的總分數.其中，“滬津”指1988年上海、天津兩市的大學生物理競賽；第2屆競賽中，有1道力學的題目和1道振動的題目二選做一，本文統計時我們選做了振動題目.

表1　歷屆大學生物理競賽波動與光學試題的總分數統計

從表1的數據看，即使第2屆不選做振動題而選做力學題，波動與光學試題的最高(第6屆)、最低(第8屆)占比相差也接近5倍，各屆的占比忽上忽下，沒有任何規律可循.全部31套試題中，波動與光學試題的平均占比為21.9%.《基本要求》建議《波動與光學》授課不少于28學時，而整個課程不少于126學時，競賽中波動與光學試題的分數占比與《基本要求》建議的《波動與光學》學時占比相當.

2波動與光學試題各知識點的分布

《基本要求》將《波動與光學》內容分解為A，B兩類(A類為核心內容，本科生學習大學物理課程應達到的最低要求；B類為擴展內容，體現加強基礎教育，增強學生發展潛力)共36條.在31套試題中，有5條A類知識點(簡諧運動的能量；一維簡諧運動的合成、拍現象；惠更斯原理、波的衍射；光在球面上的反射和折射；薄透鏡)和7條B類知識點(非線性振動簡介；聲波、超聲波和次聲波，聲強級；顯微鏡、望遠鏡、照相機；晶體的X射線衍射；全息照相；光的雙折射現象；光與物質的相互作用：吸收、散射和色散)沒有直接考核.第6屆考核了一個光波的多普勒效應問題(占2.8分，不在《基本要求》的范圍內，不納入統計).表2列出了其他各條內容在歷屆競賽中所占比重的平均值.

表2《波動與光學》各知識點在競賽試題中的平均占比

知識點類別平均占比/%簡諧運動的基本特征和表述、振動的相位、旋轉矢量法A0.54簡諧運動的動力學方程A3.44阻尼振動、受迫振動和共振B0.87兩個相互垂直、頻率相同或為整數比的簡諧運動合成B0.10機械波的基本特征、平面簡諧波波函數A0.38波的能量、能流密度A0.11波的疊加、駐波、相位突變A0.76機械波的多普勒效應A0.69幾何光學基本定律A0.13光在平面上的反射和折射A0.38光源、光的相干性A1.54光程、光程差的概念A0.49分波陣面干涉A1.25分振幅干涉A2.01邁克耳孫干涉儀B0.12

續表

統計發現，在歷屆試題中，“簡諧運動的動力學方程”的平均占比最高(即使第2屆不選做振動問題，也不影響這個知識點的“霸主”地位)，其他占比超過2%的依次是“偏振光的干涉和人工雙折射”、“光柵衍射”和“分振幅干涉”.值得一提的是，《基本要求》將“偏振光的干涉”列為B類內容，而全部31套競賽試題中竟然有13套考核了“偏振光的干涉”，與“簡諧運動的動力學方程”試題出現的次數持平，競賽在這里充分體現了《基本要求》所倡導的“增強學生發展潛力”的精神.

3簡諧運動的地位及其基本方法

一個物體在平衡位置附近來回往復地做周期性運動，而且其相對平衡位置的位移隨時間按余弦(或正弦)函數的規律變化，我們說這個物體在做簡諧運動.在媒質中，做簡諧運動的質元帶動鄰近的質元也做簡諧運動，使得簡諧運動模式傳播出去，從而形成簡諧機械波.機械波的干涉、衍射，在本質上都是簡諧運動的疊加.在某一方向上，電場強度(磁場強度)隨時間周期性地變化，形成電場強度(磁場強度)的振動；電場和磁場強度的振動傳播出去，即形成電磁波.光波是電磁波，無論是光的干涉、衍射，還是偏振光的干涉，在本質上都是電場強度振動的疊加.因此，簡諧運動在本文所討論的內容范圍內具有基礎性的重要地位，這也是“簡諧運動的動力學方程”這個知識點成為占比霸主的原因.

簡諧運動系統的振幅和初相是隨外界施以的初始運動條件而改變的，而角頻率則決定于系統本身.分析簡諧運動的角頻率，有兩種基本的方法.

【例1】如圖1所示，倔強系數為κ的水平輕彈簧一端固定，另一端連接在質量為m的勻質圓柱體的軸上，圓柱可繞其軸在水平面上滾動.令圓柱體偏離其平衡位置，使該系統做簡諧振動，設圓柱與地面之間無滑動，求系統的振動周期T[5].

圖1

由于圓柱體受到的地面摩擦力未知，受力分析法在此題中無用武之地.考慮到圓柱體在地面上只滾不滑，其所受到的摩擦力不做功.將彈簧和圓柱體作為系統，沒有外力做功，也沒有非保守內力做功，系統的機械能守恒.所以，本題宜用能量法進行分析.

對于學生來說，“剛體”是他們在中學階段沒有接觸到的概念，在學習剛體力學時比較吃力.本題中的圓柱體既有(中心軸的)平動，又有(繞中心軸的)轉動，如何正確寫出圓柱體的動能，是對大多數學生的一個挑戰.本題既有這么一個難點，又考核了能量法的應用，具有一定的難度.

4波動與光學問題的特點

縱觀30年的競賽，大多數波動與光學試題都是純理論性的，可以利用學習過程中所掌握的公式直接求解.但是，也有一些問題考核了學生對基本原理的領悟程度與分析、解決應用型問題的能力.

【例2】如圖2所示，從遠處聲源發出的聲波，波長為λ，垂直射到墻上，墻上有兩個小孔A和B，彼此相距a=3λ.將一個探測器沿與墻垂直的AP直線移動，遇到兩次極大，它們的位置Q1,Q2已定性地在圖中示出，求Q1,Q2與A的距離[6].

圖2

這個問題容易讓人聯想到楊氏雙縫干涉，但又沒有現成的公式可資利用.這就迫使我們去理解“探測器遇到極大”的含義.如果知道以下兩點：(1)墻面是入射聲波的一個波陣面，A和B是相位相等的兩個子波源；(2)凡是與A，B的距離之差為λ的整數倍的點就是探測器遇到極大的點，這個問題就迎刃而解了.

【例3】如圖3所示，波長為λ的兩個相干的平行光束1和2分別以入射角θ,φ入射在屏幕面MN上，求屏幕上干涉條紋的間距[5].

圖3

這個問題也沒有現成的公式可以套用，會令那些學死知識的學生不知如何下手.其實，如果掌握了如下基本原理：(1)平行光束的波陣面是與光的傳播方向垂直的平面；(2)兩束相干光在相遇點的相位差為2π的整數倍時，產生干涉明條紋；(3)相鄰的兩條明條紋對應的相位差之差為2π(或-2π)，這個問題就成了簡單的幾何問題了.

以上兩道試題要求學生根據最基本的原理分析、解決問題，而不能直接套用公式獲得問題的答案.

波動與光學試題中，還有一些與生活、實踐、工程技術緊密聯系的題目，考核學生靈活、綜合應用所學知識的能力，考查學生嚴謹認真科學態度的養成.

圖4

【例4】如圖4所示，標準聲源發出頻率ν0=250.0Hz的聲波，一音叉與該標準聲源同時發聲，產生頻率為1.5Hz的拍音，當在音叉的臂上粘一小塊橡皮泥時，拍頻將增加，則音叉的固有頻率是多少？將上述音叉置于盛水的玻璃管口，調節管中水面的高度，當管中空氣柱高度L從零連續增加時，發現在L=0.34m和1.03m時產生相繼的兩次共鳴，求聲波在空氣中的傳播速度[5].

這個問題的原題只是一個填空題，但它考核了幾個方面的內容：“拍”的概念，粘橡皮泥對音叉固有頻率的影響，聲速的測量技術.其中，“拍”的概念在歷屆競賽試題中僅此出現一次(盡管它屬于《基本要求》的A類知識點)；這種測量聲速的技術簡單實用，后續的大學物理實驗課程中很可能就有這個實驗.根據本題的數據求聲速，需要用到駐波的性質.然而，題目中根本沒有出現“駐波”一詞，能不能將駐波與本題聯系起來，以及是不是掌握了駐波的性質，則是對學生能力的考核.

另外，如果音叉的固有頻率是251.5Hz，粘上一塊不是特別小的橡皮泥后，使得音叉的頻率下降3Hz以上，拍頻也增加了.這樣會出現不同的測量結果.

關于多普勒效應的學習，教科書里大多講的是波源、觀察者(或二者之一)沿著他們的連線相對運動的情況，而很少涉及不是沿著連線相對運動的情況.

【例5】(第16屆競賽)飛機在空中以速度u=200m/s做水平飛行，它發出頻率ν0=2 000Hz的聲波，靜止在地面上的觀察者在飛機越過其上空時，測定飛機發出聲波的頻率，他在4s內測出的聲波頻率由ν1=2 400Hz降為ν2=1 600Hz，已知聲波在空氣中的速度v=300m/s，由此求飛機的飛行高度h[7].

這個問題中，飛機在空中飛行，其相對觀察者運動的方向與聲波向觀察者傳播的方向不同.分析這樣的問題，就需要學生平時有所積累，有這方面的經驗，或者在競賽時能夠靈活運用，敢于創新.

題中說觀察者測得頻率為ν2和ν1聲波的時間間隔是4s，稍不細心的學生就容易認為飛機在發出這兩個聲波信號的時間內飛行了800m.這是解本題時最容易出錯的地方，正因為容易出錯，所以出現了不同的答案[7，8].

眾所周知，遍布在城鄉公路上的測速儀利用的是多普勒效應.實際上，測速也有別的辦法，第3屆競賽就給出了另一種辦法.

【例6】一房屋座落在一條東西向公路的南面距公路100m的地方，屋內的電視機正接收遠處電視臺的訊號，訊號頻率為60MHz，方向如圖5所示[5].一汽車沿公路自東向西勻速行駛，使屋內電視訊號的強度發生起伏變化.當汽車行經房屋正北面O點的瞬時，屋內電視訊號的強度起伏為每秒兩次，求汽車的行駛速率.

圖5

本題自然用不到多普勒效應，因為沒有頻率的變化，只有電視訊號強度的變化.電視訊號的強度決定于直接來自電視臺和由汽車反射而來的訊號干涉的結果，干涉結果決定于汽車的位置，汽車的運動影響干涉結果，從而將電視訊號強度的變化與汽車的運動聯系了起來.電視訊號的強度“起”，意味著干涉相長；“伏”意味著干涉相消；“強度起伏為每秒兩次”，即直接來自電視臺和由汽車反射而來的訊號到達電視接收機的波程差對時間的變化率為訊號波長的2倍.

這個問題給學生提供了另一種測速方法，有利于開闊學生的眼界，培養創新意識.同時，本題也考核了學生將物理語言“翻譯”成數學語言的能力.

【例7】(第9屆競賽光學題[5])圖6所示為一種制造光柵的原理圖，激光器發出的光束(波長為600nm)經分束器得到兩束相干的平行光，這兩種光分別以0與30°的入射角射到感光板H上，形成一組等距的干涉條紋.經一定時間的曝光和顯影、定影等處理后，H就成為一塊透射光柵，其光柵常數等于干涉條紋的間距.為了在第一級光譜能將500.00nm和500.02nm的二譜線分開，求所制得的光柵沿x方向應有的最小寬度.

圖6

這個問題不僅考核了光柵的分辨本領，而且考核了上述分析的干涉條紋間距問題，同時還讓學生了解到一種制造光柵的原理.

5旋轉矢量法的應用

在平面上，始端O點和長度保持不變,矢端以恒定的角速度ω沿逆時針方向做圓周運動的矢量A稱為旋轉矢量，如圖7所示.

圖7

在t時刻，旋轉矢量與Ox軸的夾角為(ωt+φ)，矢端在Ox軸上的投影坐標為x=Acos(ωt+φ).這恰是在Ox軸上振幅為A,角頻率為ω,初相為φ的簡諧運動的表達式.因此，可以用旋轉矢量表示簡諧運動，旋轉矢量的長度、旋轉角速度、初始時刻與Ox軸的夾角分別對應簡諧運動的振幅、角頻率、初相這“三要素”.

旋轉矢量與簡諧運動的曲線描述相對應；利用旋轉矢量，可以很直觀地理解簡諧運動的合成；旋轉矢量還可以用來分析簡諧波；尤其是在分析光柵衍射時，旋轉矢量的運用有助于理解光柵方程(主極大的必要條件)dsinθ=kλ(k=0,±1,±2,…)及“相鄰的兩條主極大明條紋之間，有N-1條暗紋,N-2條次極大明紋”的道理.

總之，旋轉矢量法在波動與光學的學習過程中隨處都能夠發揮重要作用，學生如果能夠掌握旋轉矢量法，在分析和理解上述各問題時將會得心應手.

6結語

本文對全國部分地區大學生物理競賽波動與光學試題進行了統計，分析了各條知識的占比情況，剖析了波動與光學試題的典型解題方法、特點，并介紹了旋轉矢量法的應用.波動與光學試題要求考生不僅需具有扎實的知識基礎，而且應掌握最基本的原理、最有效的方法并用以分析、解決問題.掌握旋轉矢量法，在波動與光學的學習及分析、解決問題的過程中，往往會收到事半功倍的效果.

參 考 文 獻

1劉家福，張昌芳. 大學生物理競賽及其試題特色. 物理與工程，2008，18(4)：65

2劉家福，張昌芳.大學生物理競賽試題賞析(Ⅰ)——力學部分. 物理通報，2014(10)：54～56

3教育部高等學校物理學與天文學教學指導委員會物理基礎課程教學指導分委員會. 理工科類大學物理課程教學基本要求(2010年版). 北京：高等教育出版社，2010. 1

4張三慧. 大學物理學(第4冊)波動與光學(第2版). 北京：清華大學出版社，2000. 1

5工科物理編輯部. 全國部分地區非物理類專業大學生物理競賽題解匯編(第1～13屆). 工科物理，1997(S1):15,5,100,26,92

6工科物理編輯部. 全國部分地區非物理類專業大學生物理競賽題解(第14屆). 工科物理，1998,8(3)

7工科物理編輯部. 全國部分地區非物理類專業大學生物理競賽題解(第16屆). 工科物理，2000,10(3)

8李長江. 大學生物理競賽試題解答與分析. 北京：中國建材工業出版社，2004. 158