Hilbert空間上的g-框架及單位分解

Hilbert空間上的g-框架及單位分解

趙云，陶常利

(山東科技大學 數學與系統科學學院,山東 青島 266590)

摘要：g-框架是對框架理論進一步的補充和豐富，在實際應用上更具有靈活性.利用算子理論和泛函分析的知識完善g-框架的一些結果并討論了g-框架的判定和求g-框架下界的方法.其次,給出了單位分解的幾個性質,并進一步研究了它與g-框架的關系.

關鍵詞：g-框架；單位分解；下界

中圖分類號：O177.1 文獻標志碼：A

收稿日期：2014-12-09

作者簡介：姜雨萌， 女，594245238@qq.com

文章編號：1672-6197(2015)05-0033-04

G-frame and resolution of the identity in Hibbert space

ZHAO Yun, TAO Chang-li

(College of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266590, China)

Abstract:g-frame is the supplement and complement of the abstract frame theory,and have more flexibility in practical application. We improved some results of g-frame and discussed the judge of g-frames to provide a method for getting its lower bound.Secondly,some properties of resolution of the identity were given,and the relationship between g-frame and the resolution of the identity was further studied.

Key words:g-frame; resolution of the identity;lower bound

框架具有很多比較好的性質,使得它在函數空間、信號處理等領域都有重要的應用.框架的一個主要優點是給出一個框架,我們可以僅從它的一列復的框架系數就可以得到函數的特性并且對其進行重建.文獻[1-4]對框架的理論和應用進行了詳細的介紹.由于框架應用的廣泛性,人們越來越熱衷于對框架的研究,從而衍生出許多新的概念和應用.其中,南開大學的孫文昌教授通過對有界準投射算子族[5]、子空間框架[6-7]、偽逆框架[8]、斜框架[9-10]、外框架[11]等多種框架類型的研究,歸納它們的共同性質,從中提煉出了g-框架的概念[12-13].g-框架是抽象框架的推廣,使得在用框架展開系數來表征函數空間方面更具有靈活性.單位分解是一個重要的研究方向,利用單位分解和g-框架的性質,可以得到一些有意義的結果.

1關于g-框架的一些結果

首先,我們給出Hilbert空間中有關g-框架的幾個概念[12].

?f∈U

(1)

定義2若式(1)只考慮右端不等式,即

由文獻[12]我們知道,S是U上的正定可逆的算子,滿足AId≤S≤BId,且還滿足重構公式

下面我們討論g-框架的簡單性質.

B1‖Λjf‖2

則

因此,

前面已經提到,g-框架是由多種類型的框架提煉而出的一種框架,因此,在實際應用方面,g-框架具有更多的選擇和靈活性.我們根據文獻[7]中有關子空間框架的研究,給出一種求g-框架下界的方法.

因此,

即

g-框架作為抽象框架的一種推廣,無論是在理論研究方面,還是在實際應用中,都起到了不可替代的作用.那么,g-框架的判定就顯得尤為重要.

證明?g∈U,有

因此,T是自伴算子.于是有

‖T‖‖f‖2,?f∈U

(2)

即對一切j∈J,有Λjf=0.因此,f=0.進一步,T在U上有閉值域,從而在閉子空間上的限制算子也有閉值域.于是我們有

‖T‖‖f‖

再由Cauchy-Schwartz不等式和式(2)得

所以,

于是,

‖T‖-1‖T-1‖-2‖f‖2

2單位分解與g-框架

本節我們主要討論單位分解的一些簡單性質及與g-框架的關系.

2.1　單位分解的概念和簡單性質

且序列無條件收斂.

我們知道,對于g-框架有重構公式

接下來我們介紹單位分解的一些性質.

因此,

?f∈U

則

λ‖f‖

因此,‖Id-S‖≤λ<1,所以S可逆,且對?f∈U,有

2.2　單位分解和g-框架

利用單位分解,我們又可以得到一種求g-框架下界的方法.

參考文獻:

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(編輯：姚佳良)