凸函數的性質及應用

文/程雙青

摘　要：凸函數是大學數學中一重要的概念,在其他學科中應用比較多,本文主要研究凸函數的性質及性質的一些應用.

關鍵詞：凸函數;性質;應用

凸函數的性質及應用

文/程雙青

摘要：凸函數是大學數學中一重要的概念,在其他學科中應用比較多,本文主要研究凸函數的性質及性質的一些應用.

關鍵詞：凸函數;性質;應用

作者簡介：程雙青,碩士,西安汽車科技職業學院。

中圖分類號：G632

文獻標志碼：碼：A

文章編號：號：2095-9214(2015)08-0180-01

1.凸函數的性質

文[1]給出了如下的兩定理:

定理1.1設f(x)在區間[a,b]上定義,f(x)是凸函數充分必要條件為：?x1,x2,x3∈[a,b],x1

(1.1)

定理1.2設f(x)在區間[a,b]上定義,且在(a,b)上可導,則f(x)是凸函數的充分必要條件是：?x0∈(a,b)有

f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x-x0)(a≤x≤b)

(1.2)

定理1.3 對R上連續的凸函數g(x),存在R上的實值非降函數h(x),使得對任意的x,y∈R,成立不等式：

g(y)-g(x)≥h(x)(y-x)

(1.3)

比較(1.2)、(1.3),從而得出凸函數的一等價性質.

定理1.4設f(x)在區間[a,b]上有定義,則f(x)是凸函數的充分必要條件為：存在(a,b)上定義的函數h(x),使得?x0∈(a,b)有

f(x)≥f(x0)+h(x0)(x-x0)x∈[a,b]

2.凸函數的應用

例1設f(x)是[a,b]上連續的凸函數,試證：?x1,x2∈[a,b],x1

證明 令t=x1+λ(x2-x1),λ∈(0,1),則

(2.1)

同理,令t=x2-λ(x2-x1),亦有

從而

(2.2)

故由(2.2)得

另外,由(3.1),應用f(x)的凸性,

例2設f(x)為區間(a,b)內的凸函數,試證：f(x)在(a,b)的任一閉區間[α,β]?(a,b)上滿足Lipschitz條件.

證明 要證明f(x)在區間[α,β]上滿足Lipschitz條件,即要證明：?L>0,使得?x1,x2∈[α,β]有

因為[α,β]?(a,b),故可取h>0充分小,使得[α-h,β+h]?(a,b)于是?x1,x2∈[α,β],若x1

其中M,m分別表示f(x)在[α-h,β+h]上的上下界,從而

(*)

若x2

由此亦可推得(*)成立.

(作者單位：西安汽車科技職業學院)

參考文獻：

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[5]劉三陽,于力,李廣民編.數學分析選講[M].北京:科學出版社.2007.77—89.

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