三參數威布爾分布參數估計及在可靠性分析中的應用

第一作者鄭銳男，碩士，工程師，1985年4月生

三參數威布爾分布參數估計及在可靠性分析中的應用

鄭銳

(中國船舶重工集團公司第七一六研究所，江蘇連云港222006)

摘要：威布爾分布是可靠性中應用最廣泛的分布之一。三參數威布爾分布尤其適用于在開始使用時有一時間段內不發生故障的情況。由于該分布的位置參數不等于0，在參數估計時不能采用簡單的參數估計方法實現，限制了該分布形式在可靠性分析中的應用。根據三參數威布爾分布的特點提出了一種綜合圖解法和遺傳算法的參數估計方法，應用該方法可以獲得更精確的參數估計值。隨后應用于某系列數控車床計算機數控系統的故障分析中，驗證了參數估計方法的可行性。

關鍵詞：三參數威布爾分布；參數估計；圖解法；遺傳算法；數控機床

基金項目：國家自然科學

收稿日期：2013-09-03修改稿收到日期：2014-03-27

中圖分類號:TG659文獻標志碼：A

Parameter estimation of three-parameter Weibull distribution and its application in reliability analysis

ZHENGRui(The 716th Research Institute of China Shipbuildnig Industry Corporation, Lianyungang 222006,China)

Abstract:Weibull distribution is one of the most widely used distributions in reliability analysis. However, the application of three-parameter Weibull distribution is often limited due to the fact that its positional parameter is not equal to 0 and its parameters cannot be estimated with simple methods. Actually, the three-parameter Weibull distribution is particularly suitable for the case that there is no fault in a period of time at the beginning of use. Here, a parameter estimation method synthesizing graphical method and genetic algorithm for three-parameter Weibull distribution was presented according to the characteristics of the distribution. Then the three-parameter Weibull distribution with the proposed parameter estimation method was applied in failure analysis of a series of CNC lathes and successful results were achieved.

Key words:three-parameter Weibull distribution; parameter estimation,graphical method; genetic algorithm; CNC machine tools

可靠性分析的首要問題是尋找能夠確切反映系統故障機理并與故障數據的分析結果相符合的故障分布規律。常用的方法是將故障數據擬合成某種分布形式，在確定出各分布參數之后，對故障數據進行可靠性評估和預測[1]。

威布爾分布是描述機械系統及其零部件壽命數據分布規律最常用的一種分布形式[2]。兩參數威布爾分布憑借其參數估計簡單和適應性較強的特點在故障分析中占據重要的地位。兩參數威布爾分布描述的設備在t>0的任意時間內都可能發生故障。然而，大量的工程實踐證明，許多設備在投入使用后一段時間段內不會發生任何故障，這些設備的故障數據經過威布爾變換后在威布爾概率紙上呈現的不再是一條直線，此時如果仍然采用兩參數威布爾分布模型擬合故障數據就可能會給可靠性分析帶來較大的誤差。三參數威布爾分布尤其適用于這種情況，能夠提供更精確的分析結果。

三參數威布爾分布的參數估計相比兩參數威布爾分布的參數估計要復雜得多，其最常用的參數估計方法是極大似然法[3]。三參數威布爾分布的似然方程組是非線性的，結構十分復雜，常采用Newtom-Raphson迭代等方法求解。用這種方法求解時，初選值的選擇不當會導致迭代過程發散，無法得到最終結果。另外，三參數威布爾分布的參數估計方法還有雙線性回歸法、概率權重矩法、相關系數優化法、灰色估計法、Bayes統計分析法等[4-8]，這些方法針對不同樣本容量的適應能力各不相同，但都難免復雜的計算。本文提出一種綜合圖解法和遺傳算法的三參數威布爾分布參數估計方法，其中圖解法為遺傳算法提供搜索范圍，而遺傳算法可通過迭代獲得更精確的參數估計值。

1參數估計方法

1.1圖解法

三參數威布爾分布的可靠度函數表達式為

(1)

式中：β為形狀參數，η為尺度參數，γ為位置參數(t<γ時無故障)。

對式(1)兩次取自然對數后可以轉換為

ln{-ln[R(t)]}=βln(t-γ)-βln(η)

(2)

對式(2)作威布爾變換，即令y=ln{-ln[R(t)]}，x=lnt，并不能得到線性函數，但可以利用威布爾概率紙進行參數估計。根據式(2)的性質，當t-γ=0，即x=ln(γ)時，y趨向于-；而當t趨向于時，y=βx-βln(η)。即x=lnγ和y=βx-βln(η)是式(2)經過威布爾變換后的得到的函數的兩條漸近線。由此可得三參數威布爾分布參數估計的步驟如下:

(2)在故障數據的WPP圖上擬合兩條漸近線：其中一條在所有散點左側，垂直于橫坐標，其表達式為x=x0；另一條是當x趨向于∞時的漸近線，其表達式為y=kx-b。根據三參數威布爾分布的圖形性質可得以下方程組。

(3)

1.2遺傳算法

圖1　遺傳算法流程圖 Fig.1Flow Chart of GA

遺傳算法(GA)具有較強的全局優化能力，是一種自適應的、智能的搜索技術，其最成功的應用領域是復雜的非線性優化問題。遺傳算法是一種群體型操作，該操作以群體中的所有個體為對象，它的基本流程如圖1所示，包含6個基本要素。

(1)參數編碼。編碼是解空間向GA空間的映射，是連接問題與算法的橋梁。編碼的方法有二進制編碼，實數編碼，區間值編碼等。編碼方法的選擇將直接影響選擇、雜交、變異等算子的設計，也影響算法的復雜性。

(2)生成初始群體。遺傳迭代前，需要首先建立一個由若干初始解(也稱為個體)組成的群體，即初始群體。初始群體中的每個個體都是通過隨機方法得到的參數編碼。

生成初始群體前通常要確定每個參數的范圍，稱作搜索空間。搜索空間必須足夠大，能夠涵蓋每一個適合的個體，但是太大的搜索空間又會影響收斂的速度，因此搜索空間的定義非常重要。對于三參數威布爾分布的各個參數的搜索空間，這里利用圖解法產生的參數估計值獲得。首先給定寬松系數θ(0<θ<1)，定義分布中每個參數的搜索空間為

(4)

式中:θ值越大，搜索范圍越大；反之，越小。

(3)適應度評估。遺傳算法在遺傳迭代時基本不利用外部信息，僅以適應度函數為依據，利用種群中的每個個體的適應度值進行搜索。適應度值越大的個體被選擇的概率越大。因此，適應度函數的選取將直接影響個體的質量，并同樣會影響收斂速度。

對于三參數威布爾分布，本文在d檢驗(柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢驗，或k-s檢驗)[9-10]的基礎上經過適當的處理作為適應度函數。

d檢驗法是可靠性分析中常用的檢驗方法，它比χ2檢驗法精細，而且還適用于小樣本的情況。d檢驗法是將n個試驗數據按由小到大的次序排列，根據假設的分布，計算每個數據對應的R0(ti)，將其與經驗分布函數Rn(ti)進行比較，其中差值的最大絕對值即檢驗統計量Dn的觀察值。將Dn與臨界值Dn,α進行比較。若滿足式(5)，則接受原假設；否則，拒絕原假設。

(5)

式中：R0(t)為原假設分布函數，即三參數威布爾分布，函數中的參數對應于種群中個體的染色體段。

由此可得三參數威布爾分布的適應度函數的表達式如下

Fitness(t)=Dn,α-Dn

(6)

適應度函數的取值越大，表明原假設分布函數越貼近經驗分布函數，即獲得的分布函數越精確，在遺傳迭代中被選擇的幾率越大。而且這個適應度函數還有一個重要的優勢：如果對于某個體使Fitness(t)>0，則可以判定該個體中的參數估計值通過d檢驗，可以在遺傳迭代中直接獲得符合d檢驗的參數估計值。

(4)選擇。在對個體適應度進行評價的基礎上把優化的個體直接遺傳到下一代，或通過配對交叉產生新的個體，再遺傳到下一代。

(5)交叉。交叉操作是遺傳算法中最主要的操作。交叉的步驟為：首先對種群中個體進行隨機配對；然后，在配對個體中隨機設定交叉處(一點或多點)，配對個體彼此交換部分信息。

(6)變異。變異操作是按位(bit)進行的，即把染色體某一位的內容進行編譯。編譯操作同樣也是隨機進行的。一般而言，變異概率都取得較小。變異操作是十分微妙的遺傳操作，它需要和交叉操作配合使用，目的是挖掘群體中個體的多樣化，克服有可能限于局部解的弊病。

選擇、交叉、變異均屬遺傳算法的基本操作，方法繁多，但僅與收斂速度有關，在此不作贅述，請參看相關文獻。

2在可靠性分析中的應用

計算機數控系統(Computer Numerical Control)是數控機床的核心部分，主要有計算機數控裝置(CNC)、伺服驅動裝置、位置檢測裝置、可編程控制器PLC和接口電路組成。計算機數控系統的故障往往會帶來較大的危害度，其可靠性對于數控機床至關重要。表1給出了某系列數控機床數控系統出廠使用半年的故障數據。

圖2 給出了數控機床計算機數控系統故障間隔時間的散點圖，從圖中可以看出散點并不呈一條直線，具有明顯的拐點，符合三參數威布爾分布的特征。故而假設計算機數控系統的故障間隔時間服從三參數威布爾分布。按照圖解法的步驟，在WPP圖上作兩條漸進線L1和L2，見圖2。兩條漸近線表達式分別為：

(7)

圖2　計算機數控系統故障數據WPP及漸近線圖 Fig.2 WPP and asymptotic line graph of CNC system

序號tiRn(ti)xiyi11040.96734.6444-3.403521220.92064.8040-2.49173171———41710.82715.1417-1.661652570.78045.5491-1.394462730.73365.6095-1.17217282———82820.64025.6419-0.807493070.59355.7268-0.6505103740.54675.9243-0.5045113860.50005.9558-0.3665124940.45336.2025-0.2341135010.40656.2166-0.1053145150.35986.24420.0219155760.31316.35610.1495166740.26646.51320.2798176990.21966.54970.4160187010.17296.55250.5625198030.12626.68840.72762010360.07946.94310.92932111980.03277.08841.2297

由此可得三參數威布爾分布圖解法的初始解為：β=1.42，η=530.94，γ=99.48。

令寬松系數θ=0.5，可得三參數威布爾分布的搜索空間為

(8)

運用遺傳算法進行遺傳迭代可得三參數威布爾分布的參數估計值及適應度見表2，其適應度大于0且遠大于圖解法得到的適應度，說明遺傳算法的參數估計值不但能通過d檢驗，而且計算精度遠大于圖解法。

表2　參數的估計值及其適應度

因此，計算機數控系統的故障間隔時間服從三參數威布爾分布的假設成立，其可靠度函數為

(9)

圖3給出了計算機數控系統的可靠性函數曲線，圖中的散點即為故障時間點的經驗分布函數值。圖中的散點均勻的分布在曲線的兩側，說明三參數威布爾分布及文中給出參數估計方法對于計算機數控系統的故障分析是適用的。

圖3　計算機數控系統的可靠度函數圖 Fig.3 Reliability graph of CNC system

3結論

首先揭示了三參數威布爾分布在可靠性分析中的特殊意義，然后針對其參數估計復雜的問題，提出了一種綜合圖解法和遺傳算法的參數估計方法。該方法以圖解法的解為基礎形成搜索空間，用遺傳算法提高解的精度，從而得到更精確的參數估計值。隨后三參數威布爾分布應用于計算機數控系統的可靠性分析中，驗證了本文提出的參數估計方法的可行性。本文提出的參數估計方法對于其他復雜的威布爾分布形式(例如競爭威布爾分布)的參數估計具有一定的啟示意義。

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