基于模態疊加法的焊接結構疲勞壽命預測方法研究

第一作者方吉男，博士生，講師，1981年12月生

基于模態疊加法的焊接結構疲勞壽命預測方法研究

方吉，兆文忠，樸明偉

(大連交通大學交通運輸工程學院，大連116028)

摘要：針對焊接結構疲勞壽命預測，從動力學的角度提出了一種基于模態疊加法的動態結構應計算方法，并驗證了其可行性與正確性，該方法以時變載荷作用下焊接結構的動平衡為基礎，考慮結構自身振動加速度對用于評價焊縫疲勞壽命的結構應力的影響，實現了動態載荷下焊接結構的動態結構應力計算，有效地拓寬了主S-N曲線疲勞預測方法的應用領域。

關鍵詞：動態結構應力；動力學；主S-N曲線法；焊接結構疲勞壽命預測

基金項目：國家高技術研究發展計劃(863計劃)(2012AA040912)； 鐵道部科技研究開發計劃(2012G002-11)

收稿日期：2013-09-03修改稿收到日期：2014-03-27

中圖分類號:TB122文獻標志碼：A

Fatigue life prediction of welded structures based on modal superposition method

FANGJi,ZHAOWen-zhong,PIAOMing-wei(School of Traffic and Transportation Engineering, Dalian Jiaotong University, Dalian 116028, China)

Abstract:For welded structure’s fatigue life prediction, a method of structural dynamic stress calculation based on the mode superposition method was proposed. The feasibility and accuracy of the method were verified. The method was based on the dynamic equilibrium of welded structures under time-varying loads, considering the effect of structural vibration acceleration on structural stress used to predict the fatigue life of welded structures. The structural dynamic stress calculation of welded structures under dynamic loading was realized with the proposed method and the application of the master S-N curve fatigue prediction method was broadened effectively.

Key words:dynamic structural stress; mode superposition method; master S-N curve； fatigue life prediction of welded structure

在焊接結構中，疲勞破壞主要發生在接頭部分，目前能夠對焊接接頭進行疲勞評價標準主要有BS7608、IIW、ASME，其中BS標準中焊接結構疲勞可用S-N曲線較少，IIW主要針對焊接結構疲勞，雖然提供了一些不同形式焊接接頭的實驗S-N曲線數據，但畢竟是有限的，很多情況下是找不到對應的接頭形式及相應的受力條件，S-N曲線數據不可用[1-2]。ASME BP&C Section VIII Div 2 Code[3]是美國的最新疲勞評估標準，它是以新奧爾良大學的董平沙教授提出的網格不敏感的結構應力法及主S-N曲線法為基礎來預測焊接結構的疲勞壽命，是在該領域迄今為止比較可靠的焊接結構疲勞壽命預測新方法，該方法有著焊縫疲勞壽命預測結果不受有限元模型網格大小影響等優點。目前該方法的工程應用主要是根據時變載荷和單位靜態載荷下結構應力的線性對應關系來計算變化的載荷作用下結構應力的變化范圍并以此做出疲勞壽命預測[4-8]。變化的載荷是導致疲勞的根本原因，當載荷的變化速率遠小于結構的最低階固有模態的頻率情況下，時變載荷與結構應力存在線性的對應關系，如果載荷的變化速率與結構的某些固有模態的頻率比較接近，結構將產生較強的結構振動，在這種情況下時變載荷與應力轉變為非線形關系，該方法的應用就受到了限制。本文從動力學的角度來思考該問題，提出了一種基于模態疊加法的動態結構應力計算法，該方法從時變載荷作用下結構的動平衡出發，考慮結構振動加速度對用于評價焊縫疲勞壽命的結構應力的影響，實現了動態結構應力的計算，并驗證了其可行與正確性，有效地拓寬了主S-N曲線疲勞預測方法的應用領域。

1網格不敏感結構應力法基本原理

當采用有限元法計算焊接結構的應力時，有限元網格的大小對應力計算的結果有較大影響，在應力集中區域影響更為明顯，非常不利于疲勞壽命的準確預測。而網格不敏感結構應力計算方法(MSS法)[9-10]，是通過對焊趾處應力分布規律的研究，發現焊接疲勞破壞通常發生在焊趾處，并沿著焊趾在厚度方向上擴展。該位置應力延板厚方向應力呈非線性分布(圖1)，焊趾處總應力σx等于膜應力σm、彎曲應力σb與非線性峰值應力σn之和。非線性峰值應力是自平衡的缺口應力，因此焊趾處結構應力將對焊接疲勞性能起主要作用。結構應力值σs等于膜應力σm與彎曲應力σb二者之和。該方法避免了網格大小對應力的計算結果的影響，從而使疲勞壽命預測的結果具有一致性，目前利用該方法預測時變載荷下焊接結構疲勞壽命的工程應用流程見圖2。由于該方法利用時變載荷下的結構應力和單位載荷下結構應力的線性對應關系，間接的獲得變化的載荷所導致的結構應力的變化，因此該方法屬于間接法。如果能夠從動力學方程直接獲得時間域上的節點位移及節點力，就可以根據網格不敏感結構應力法計算出結構應力的時間歷程，此方法屬于直接法，這正是本文要研究的內容。

圖1　焊趾處的應力分布 Fig.1 Stress distribution at the weld toe

圖2　時變載荷下焊接結構疲勞壽命 預測的工程應用流程(間接法) Fig.2 Engineering application process of life prediction on welded structures under Time-varying loads(Indirect method)

2動態結構應力計算法及主S-N曲線法疲勞壽命預測

為了降低動力學方程自由度，提高計算效率，采用了模態疊加法來縮減動力學方程的自由度。通常求解縮減后的動力學方程動可以獲得模態主坐標時間歷程。根據模態主坐標時間歷程疊加出節點位移時間歷程，根據節點位移時間歷程計算節點力時間歷程，最后求出結構應力時間歷程，而本文采用的方式與通常的方式不太一樣，其具體流程見圖3。當需要計算的時間步較多的情況下該流程有計算過程數據處理量小的優點。

圖3　動態結構應力計算及疲勞壽命預測流程(直接法) Fig.3 Dynamic structural stress and fatigue life prediction calculation process(Direct method)

2.1模態計算與截取

為了獲得適應靜態、動態和隨機載荷條件下結構形變所需要的振型模式，采用Craig-Bampton模態綜合法[11]來獲取所需要的模態振型[Φ]，其中固定邊界模態可以選取部分較低階模態，高階模態的影響被忽略。約束模態可以根據實際的約束和載荷條件進行適當的縮減[12]。

(1)

(2)

由于模態特征向量是一個定性的向量，為了獲得定量的模態特征向量方便后續的計算需要對模態進行正則化，其中關于質量矩陣歸一化(式3)是常用的正則化方法之一。

(3)

2.2動力學方程的變換及求解

動力學方程的一般形式：

(4)

經模態坐標變換，方程兩邊左乘轉置振型矩陣得模態坐標下動力學方程形式：

[Φ*]T[K][Φ*]{q}=[Φ*]T{f(t)}

(5)

式(5)可以利用Newmark逐步積分法或杜哈梅積分進行求解，其計算結果為模態坐標qj(t)(j=1,2,…M)，它是時間的函數，稱為模態坐標時間歷程。

2.3模態節點力的提取及疊加

(1)轉換模態振型疊加為模態節點力的疊加

首先利用2.1節提取的模態振型，并結合2.2節求得的模態坐標qj(t)(j=1,2,…M)時間歷程，根據線性系統模態疊加的思想，將模態振型疊加轉化為節點力的線性疊加[13-14]。

(6)

(7)

(8)

令模態節點力Mtj=B-1KeBφj，把式(6)、式(7)代入式(8)可轉化為：

(9)

因此，系統坐標系下的節點力的時間歷程可以通過每階模態節點力Mtj與對應的模態坐標時間歷程qi(t)疊加來獲得。

(2)節點力矩陣的形成

圖4　四節點對接焊縫的右半隔離體結點力分布 Fig.4 Nodal force distribution of right half isolated body in butt weld

[F(t)]=[N][Fe(t)]

(11)

(3)焊縫局部坐標變換

系統坐標系(x,y,z)下求解的焊趾處節點力矩陣{Fe}i需要變換到焊線局部坐標下，從總體坐標系到焊線局部坐標的坐標變換矩陣{T}i可以通過有限元網格模型的節點坐標算出，把系統坐標下的節點力向焊縫局部坐標系(x′,y′,z′)進行變換，得到變換后的節點力矩陣{Fe′}i，焊線局部坐標的y向始終與焊線的切線方向垂直，x方向與焊線相切(見圖5)。

圖5　曲線焊縫節點力方向坐標 Fig.5 Node force direction of curve weld line in local coordinates

(12)

{F′(t)}i={T}i{F(t)}i

(13)

2.4動態結構應力計算

根據節點載荷及相鄰節點距離l，運用長度等效矩陣L(式16)進行節點載荷等效計算，將y′軸方向的節點力轉化為該方向單元邊上的線載荷fiy(t)，將x′軸方向的節點力矩轉化為該方向單元邊上的線力矩mix，線載荷fiy(t)及線力矩mix的數值對節點數量不敏感。

(14)

(15)

在已知焊趾處各節點線載荷及線力矩的情況下，采用薄板結構應力計算公式，可以求解焊趾處各節點動態結構應力值σs(t)。

(17)

由于坐標變換(式(13)-(14)中的T、L及L-1矩陣只與焊線局部幾何的初始位置有關，因此在動態結構應力計算過程中都是常數矩陣，d為板材厚度，也是定常數，說明節點力矩陣與結構應力之間存在線性關系，因此可以把3.1節的模態節點力的權值疊加進一步轉化為模態結構應力的權值疊加。

σs(t)=[fty`(t),mix`(t)]A=

[F′(t)][L]-1A=[T][F(t)][L]-1A=

[T][N][Fe(t)][L]-1A=

(18)

2.5主S-N曲線疲勞壽命預測

主S-N曲線法是將結構應力值、應力狀態、板厚3個影響疲勞強度的主要因素統一為1個參量，定義為等效結構應力幅ΔSs(式19)，它包含了結構應力值、板厚、膜應力與彎曲應力的綜合影響。以等效結構應力幅ΔSs表達的S-N曲線公式分布范圍更為狹小，從而實現了以一條主S-N曲線評估各種不同焊接接頭疲勞壽命的方法[15]。

(19)

式中：I(r)是彎曲度比r的無量綱函數(r=Δσb/Δσs)，m=3.6，d為板厚。

通過對SS(t)進行雨流計數可以從等效結構應力時間歷程統計出不同等級的等結構應力變化范圍ΔSS(i)及對應的頻次ni。

根據Miner線性損傷累積法則可以得出最終壽命計算式為[16]：

(20)

式(20)為材料的主S-N曲線，其中Cd，h為材料相關的參數，k為應力幅劃分的等級數。

3數值計算驗證

為了進一步驗證動態結構應力計算法的可行性與正確性，建立了(如圖6)典型的T型焊接接頭的算例進行驗證，其中板厚5 mm，橫板長200 mm，豎板高100 mm，寬度100 mm，載荷幅值為100 N，方向垂直與加載板面，兩端施加固定約束。分別用直接法和間接法進行結構應力計算[17]，由于間接法不考慮加載頻率對結構應力的影響，所以施加靜態載荷，而直接法施加的是幅值為100 N的正弦載荷，分別計算了0.1 Hz和200 Hz兩種情況，模態阻尼比取0.02，模態截取36階，模態頻率范圍(332.7~29 208.1 Hz)，Newmark逐步積分法計算總時間為40 s，取后段穩態響應結果，對比兩種方法的結構應力幅值結果見圖8。

圖6　角接焊縫結構 Fig.6 Fillet welding structure

圖7　角接焊縫有限元模型 Fig.7 FEM model of fillet welding structure

圖8　兩種方法的結構應力對比 Fig.8 Fillet welding dynamic structural stress calculation (load perpendicular to the plate surface)

通過以上結角接焊縫的構應力對比可以看出，當加載頻率為0.1 Hz情況下，加載頻率與結構的最低階固有頻率相差很遠，直接法與間接法求得結果很相近；但如果加載頻率為200 Hz情況下，加載頻率與結構的最低階固有頻率比較接近，結構應力幅值有了明顯提高，而間接法無法考慮共振成分，結果偏差較大，此時就體現出了直接法的優點及間接法的不足。

4疲勞試驗驗證

為了驗證該直接法及間接法對焊縫疲勞開裂位置及壽命預測的準確性，建立了30 t軸重敞車車體鑄造牽引梁計算模型(如圖9)。依據疲勞試驗的具體約束和外載荷邊界條件，其中載荷F=45×sin(2πft)+22.5 t，分別采用直接法與間接法計算中梁結構關鍵焊縫之一(見圖10)結構應力及疲勞壽命并與試驗結果對比驗證，其中動態結構應力計算載荷頻率與試驗保持一致為2Hz，模態阻尼比取0.02，采用Newmark逐步積分法計算總時間為40 s，截取部分穩態響應結果，而間接法施加靜態載荷，另外為了體現動態結構應力計算法的特點，假設載荷頻率為50 Hz計算結構應力并預測壽命。焊縫動態結構應力響應(見圖11)，結構應力對比(見圖12)。

圖9　中梁模擬疲勞試驗動力學模型 Fig.9 dynamic model of traction beam simulation fatigue test

首先建立有限元模型進行模態分析，一共截取66階模態其中前6階為剛體模態，約束邊界主模態和約束模態共計60階。

圖10　試驗中出現裂紋的對接焊縫及開裂起始位置A Fig.10 Weld crack on butt weld and initial location A in test

表1　中梁結構主要模態

圖11　焊縫動態結構應力隨時間變化(載荷頻率2 Hz) Fig.11 The time history of dynamic structural stress at weld line (load frequency 2 Hz)

圖12　結構應力對比及開裂起始位置預測 Fig.12 Structural stress compare and initial crack prediction

結構應力體現了整條焊縫焊趾處的應力集中情況，同時也反映了焊縫中的薄弱環節，結構應力越大的部位越容易出現開裂。從圖12直接法與間接法計算結果判斷的開裂起始位置與試驗中出現的開裂起始位置比較接近。從圖12中載荷頻率2 Hz情況下動態結構應力與間接法獲得的結構應力近似，可以看出當載荷頻率與結構所有的階模態頻率相差較遠，動態結構應力法的計算結果與間接法基本一致。當載荷頻率50 Hz時，此時載荷的頻率與結構的最低一階模態頻率 75.62 Hz比較接近，結構振動加劇，動態結構應力計算結果有了明顯上升，而間接法無法考慮加載頻率對結構應力的影響，結構應力計算結果不變。說明動態結構應力法不但繼承了間接法能夠較準確預測開裂起始位置而且考慮共振對結構應力的影響。

利用大量鐵素體和不銹鋼焊接疲勞實驗統計的主S-N曲線的中值線來預測焊縫疲勞壽命[18]，其中Cd=19 930.2，h=-0.32，疲勞壽命與試驗對比見表2。

表2　焊縫壽命計算結果

表2中焊縫開裂起始位置的等效結構應力可以看成是結構應力經放大系數放大后的結果，因此得出的疲勞壽命對比與結構應力對比的結論類似。當加載頻率為2 Hz時，直接法與間接法疲勞壽命的計算結果與試驗獲得疲勞壽命結果都很接近，假設加載頻率50 Hz，則疲勞壽命明顯下降。同樣說明了直接法不但繼承了間接法能夠較準確預測開裂起始位置而且考慮結構振動對焊縫疲勞壽命的影響。雖然有些研究人員通過實驗研究過加載頻率對疲勞的影響，但只是針對母材結構[19-20]，由于焊接結構疲勞試驗的費用昂貴，無法獲得50 Hz加載頻率下的疲勞壽命試驗數據，50 Hz加載頻率的計算結果沒有得到驗證。

5結論

通過以上算例對比和疲勞試驗驗證可以看出，直接法不但繼承了間接法能夠較準確預測開裂起始位置和焊縫疲勞壽命，而且彌補了間接法不能考慮結構自身振動加速度對焊縫結構應力及疲勞壽命的影響。直接法的具體實施過程可以通過自編程序與商業軟件結合使用，可以計算大型復雜焊接結構的疲勞壽命；與NASTRAN及ADAMS軟件結合可以把焊接結構疲勞壽命評估的主S-N曲線法應用到復雜的剛-柔耦合動力學模型中，實現動態載荷輸入與焊縫結疲勞壽命輸出的一體化集成。

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