光電層合簡支板的多模態(tài)最優(yōu)模糊主動振動控制

第一作者賀容波男，博士生，講師，1979年生

通信作者鄭世杰男，教授，博士生導師，1968年生

光電層合簡支板的多模態(tài)最優(yōu)模糊主動振動控制

賀容波1,2，鄭世杰1

(1.南京航空航天大學機械結(jié)構(gòu)力學及控制國家重點實驗室，南京210016；2. 安徽工業(yè)大學電氣與信息工程學院，安徽馬鞍山243002)

摘要：以配置兩對光致伸縮驅(qū)動器的簡支板為控制對象，提出了最優(yōu)控制與模糊控制相結(jié)合的最優(yōu)模糊主動控制算法。考慮到光致伸縮驅(qū)動器的非線性驅(qū)動特性，首先由最優(yōu)控制獲得光電層合簡支板多模態(tài)振動的期望控制量, 再通過模糊控制器使光致伸縮驅(qū)動器光致應變逼近該控制量, 從而實現(xiàn)對簡支板的多模態(tài)振動控制。在最優(yōu)模糊控制器設計過程中，模糊控制的設計與最優(yōu)控制設計是相互獨立的。仿真結(jié)果表明, 最優(yōu)模糊控制能夠有效實現(xiàn)光電層合簡支板的多模態(tài)振動抑制，控制效果明顯優(yōu)于直接最優(yōu)狀態(tài)反饋控制。

關鍵詞：光致伸縮驅(qū)動器；簡支板；多模態(tài)振動；模糊控制；最優(yōu)控制

基金項目：國家自然科學基金面上項目(11172129)；中國航空科學

收稿日期：2014-01-20修改稿收到日期：2014-04-25

中圖分類號:O328；V214.3文獻標志碼：A

Multi-modal optimal fuzzy active vibration control of aphoto-electric laminated simply supported plate

HERong-bo1,2,ZHENGShi-jie1(1.State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics And Astronautics, Nanjing 210016, China; 2. School of Electrical and Information Engineering, Anhui University of Technology, Maanshan 243002, China)

Abstract:Here, a simply supported plate laminated with two pairs of photostrictive actuators was taken as a controlled object, an optimal fuzzy active vibration control algorithm was proposed on the basis of the combination of optimal control and fuzzy one. Considering the nonlinear driving characteristics of photostrictive actuators, the expectation control for suppressing multi-modal vibration of the photo-electric laminated simply supported plate was firstly obtained through the optimal control. Then, the fuzzy control was used to make the strains induced by photostrictive actuators approach the expectation control. Thus, the multi-modal vibration control of the simply supported plate was realized. In the design process of optimal fuzzy controllers, the design of fuzzy control was independent on the design of optimal control. The simulation results demonstrated that the proposed control method can effectively realize the multi-modal vibration control of the photo-electric laminated simply supported plate, and the control effect of the optimal fuzzy control is better than that of the optimal state feedback control.

Key words:photostrictive actuators; simply supported plates; multi-modal vibration; fuzzy control; optimal control

新型的鐵電陶瓷材料PLZT在光電效應和逆壓電效應的共同作用下會產(chǎn)生光致伸縮效應，即在特定波長的高能光束均勻照射鐵電體表面時會在極化方向上產(chǎn)生應變，是一種理想的非接觸式遙控驅(qū)動器，在柔性結(jié)構(gòu)的主動振動控制方面具有可觀的發(fā)展前景[1]。近年來，國內(nèi)外的一些學者為此進行了一系列的基礎性研究：Tzou等[1]首次提出二維分布式多自由度光致伸縮驅(qū)動器模型，并對其參數(shù)進行了研究分析；Liu等[2]率先將0-1極化的二維平面PLZT驅(qū)動器應用到矩形板結(jié)構(gòu)振動控制；Shih等[3,4]將分布式PLZT驅(qū)動器分別應用于圓柱殼和矩形板的振動控制中，利用模態(tài)控制因子研究了驅(qū)動器在不同布局下對兩類結(jié)構(gòu)低階模態(tài)的控制效果；Shih等[5-6]又分別對PLZT驅(qū)動器在半球殼和拋物殼振動控制中的空間布局優(yōu)化提出了建設性意見；Sun等[7-8]則將光致伸縮驅(qū)動器用于懸臂梁振動的無線控制研究；姜晶等[9]研究了將多自由度PLZT驅(qū)動器層合于正方形板及矩形板的模態(tài)控制效果；王新杰[10]將PLZT驅(qū)動器層合到開口球殼及拋物殼等柔性殼結(jié)構(gòu)表面，對PLZT驅(qū)動器模態(tài)控制力中的彎曲效應和薄膜效應進行了分析比較，并結(jié)合常光強控制和速度反饋控制進行了主動控制仿真；陳德金等[11-12]利用遺傳算法對用于簡支板振動控制的單對、雙對光致伸縮驅(qū)動器布局進行優(yōu)化，同時設計了基于遺傳算法優(yōu)化權(quán)值矩陣的LQR最優(yōu)無線主動控制算法。賀容波等[13]設計了模糊變結(jié)構(gòu)主動控制器，對光照方向最優(yōu)切換面進行討論，實現(xiàn)了對光電層合簡直板的單模態(tài)主動振動控制，豐富了光電層合智能結(jié)構(gòu)主動控制的算法。

然而，現(xiàn)有的研究內(nèi)容[1-13]主要偏重于驅(qū)動器位置對模態(tài)控制因子的影響分析及單模態(tài)振動主動控制算法研究，對于多模態(tài)振動控制器設計的相關研究至今未見報道。事實上，多模態(tài)振動抑制比單一模態(tài)的振動抑制更貼近實際工程情況，因此開展多模態(tài)振動主動控制算法研究是非常必要的。在采用光致伸縮驅(qū)動器的多模態(tài)振動主動控制中，由于光致驅(qū)動器復雜的非線性驅(qū)動特性，如何使光致驅(qū)動器產(chǎn)生抑制多模態(tài)振動所需的控制力是需要解決的關鍵的問題。為此，本文以層合兩對光致伸縮驅(qū)動器的簡支板為控制對象，提出了一種將最優(yōu)控制與模糊控制方法相結(jié)合的最優(yōu)模糊控制策略[14-15]。該方法是一種基于模糊控制的兩步設計思路，即：先由LQR控制提供期望的控制量，再由模糊控制器確定光致伸縮驅(qū)動器光照方向與光強，使其實際的控制力逼近期望的控制量。最后通過數(shù)值仿真對這一策略的有效性進行了驗證。

1光電層合板系統(tǒng)的狀態(tài)方程與光致驅(qū)動特性

在這一節(jié)將建立層合兩對光致伸縮驅(qū)動器的四邊簡支板的多模態(tài)振動狀態(tài)方程，并對光致驅(qū)動特性進行簡要分析。如圖1所示，在板的上下表面對稱層合了四片光致伸縮驅(qū)動器貼片，片1和片2的極化方向分別沿x向和y向，以便于實現(xiàn)對板的多模態(tài)振動抑制[4,11,13]。設簡支板的平面坐標系為(x,y)，驅(qū)動器貼片1和2在板的位置分布由邊界坐標x1、x2、y1、y2和x3、x4、y3、y4確定；由文獻[4,11,13]，光電層合板的mn階模態(tài)振動控制方程可表述為：

圖1　光電層合板示意圖 Fig.1 Plate with surface-bonded actuators

m=1,2,…n=1,2,…

(1)

(2)

(3a)

(3b)

式中Ya為驅(qū)動器的楊氏模量，ha為驅(qū)動器的厚度，h為板的厚度，LxLy分別為板的x向和y向的長度，Y為板的楊氏模量；ρ為板的密度。

板的固有頻率(單位為:rad/s)可由下式確定[4, 11,13]：

(4)

(5)

式中，El(t)為光生電場，θ(t)為光致溫度，可分別表示為:

El(tj)=El(tj-1)+[Es-El(tj-1)]×

(6)

θ(tj)=θ(tj-1)+

{[I(tj)P-γθ(tj-1)]Δt}/(H+γΔt)

(7)

在式(5)～式(7)中，Ya=6.3×1010N/m2為光致伸縮驅(qū)動器楊氏模量，d33=1.79×10-10m/V為壓電應變系數(shù),λ=6.808 6×104N/m2℃為應力-溫度系數(shù),Pn=0.25×10-4C/ m2℃為熱釋電常數(shù)，ε=1.65×10-8F/m為介電常數(shù)，Es=2.43×105V/m為飽和光電場強度,α=2.772×10-3m2/(ws)為光致伸縮驅(qū)動器系數(shù),β=0.01 V/s為電壓泄漏系數(shù),P=0.23×103cm2/s 為光生熱能,γ=0.915 w/℃s為熱交換系數(shù),H=16 w/℃為光致伸縮驅(qū)動器熱容,αs=a/b為驅(qū)動器長寬比,Δt為時間間隔,I(tj)為tj時刻的光強。

(8)

式中，u為控制信號，sgn(·)為符號函數(shù)；當u>0時，sgn(u)=+1；當u<0時，sgn(u)=-1；當u=0時，sgn(u)=0；在文中，為了分析的方便，假定光照方向變化的時候驅(qū)動器的應變和電場能夠立即消失[2, 4, 11,13]。

選取前3階模態(tài)為受控模態(tài)，為便于分析，將前3階模態(tài)控制方程(1)寫成狀態(tài)空間的形式：

(9)

狀態(tài)方程中的向量和矩陣如下：

C=I6×6

為了實現(xiàn)多模態(tài)振動抑制，必須對光照方向和光照強度兩個方面精心設計。

圖2　光致應變S的在不同光照強度下時間響應曲線 Fig.2 Time history of photo-induced strain S> under the different light intensity

(10)

式(10)為簡單的線性定常系統(tǒng)，依據(jù)現(xiàn)代控制理論可以很容易設計最優(yōu)控制律實現(xiàn)對該系統(tǒng)的多模態(tài)最優(yōu)主動控制。進一步，針對實際的光電層合簡支板系統(tǒng)，若光致伸縮驅(qū)動器能夠跟蹤這一最優(yōu)控制律，就能夠?qū)崿F(xiàn)對簡支板的多模態(tài)最優(yōu)振動控制。由于模糊控制具有良好的魯棒性，能夠處理不確定性因素，不需要對系統(tǒng)進行精確建模，因此本文通過該方法實現(xiàn)光致驅(qū)動器對最優(yōu)控制律的跟蹤控制，來實現(xiàn)光電層合簡支板的多模態(tài)振動抑制。

2最優(yōu)模糊主動控制器設計

圖3　光電層合簡支板最優(yōu)模糊主動振動控制系統(tǒng) Fig.3 Optimal fuzzy active vibration control system of photo-electric laminated simply supported plates

2.1　線性二次最優(yōu)控制器設計 [14-15]

不失一般性，考慮二次型性能指標為

(11)

式中：Q和R分別為對狀態(tài)變量和輸入變量的權(quán)值矩陣和權(quán)值系數(shù)，且Q為半正定矩陣,R>0。

二次型最優(yōu)控制問題就是對式(10)描述的線性定常系統(tǒng),確定最優(yōu)控制u*使得二次型性能指標J最小。應用極小值原理，可以得出最優(yōu)控制作用：

(12)

式中K為狀態(tài)反饋增益矩陣，P為代數(shù)Riccati方程

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

(13)

將式(12)代入式(10),可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(14)

(15)

式中α<χi<β，α、β為正實數(shù)，可見Q滿足半正定條件，具體數(shù)值可以根據(jù)實際響應曲線經(jīng)過反復調(diào)整后確定。

2.2　模糊控制器設計

(1)模糊控制器的結(jié)構(gòu)及隸屬度函數(shù)選擇

圖4　隸屬函數(shù)曲線 Fig.4 Membership functions of the inputs and output

采用通用的二維模糊控制器結(jié)構(gòu)，如圖3所示。模糊控制器輸入為U及其變化率UC，輸出為光照強度。光照方向根據(jù)最優(yōu)控制律的符號變化而變化。精確輸入量u和uc需要分別乘以量化因子Ku和Kuc轉(zhuǎn)換到各自的論域范圍。這里設定模糊控制器的輸入量標準論域皆為[-3, 3]。將輸入量論域劃分成“負大”,“負中”,“負小”,“零”,“正小”,“正中”,“正大”7 個模糊子集，即{NL，NM，NS，ZO，PS，PM，PL}。輸出量由于是光強，光強不能為負，因此設定輸出量標準論域為[0,3]，將輸出量論域劃分成“零”,“正小”,“正中”,“正大”4個模糊子集，即{ZO，PS，PM，PB}。各模糊子集的隸屬函數(shù)采用三角隸屬度函數(shù)，函數(shù)曲線如圖4所示。

(2)模糊控制規(guī)則的建立

模糊控制器設計目的是使光電驅(qū)動器產(chǎn)生的實際控制量逼近最優(yōu)狀態(tài)反饋，其控制輸出為光強。對光致驅(qū)動器而言，外部光照強度越大，光致應變增長越快，反之，則越慢；另外，光致驅(qū)動器與壓電驅(qū)動器不同，其應變只能單向增加，不能減小[16-17]。基于上述光電驅(qū)動器的驅(qū)動特性，因此模糊控制規(guī)則的建立要遵循以下兩條原則：①當輸入U為正的較大值且其變化率UC也為正值的時候，輸出光強應為較大的正值，以盡快逼近最優(yōu)控制律u；②當輸入U為正的較大值但其變化率UC為負值的時候，輸出光強應為較小的正值或為“0”。由于系統(tǒng)具有對稱性，只考慮正向輸入時的控制規(guī)則，反向輸入時的控制規(guī)則依據(jù)對稱性即可求得。以此總結(jié)的得出的模糊控制規(guī)則如表1。由于U和UC分別定義為7個模糊子集，因此共有49條規(guī)則。

(3)模糊控制器查詢表

圖5　控制面 Fig.5 The control surface

模糊控制器的推理算法采用Mamdani方法，去模糊化則采用精度較高的重心法。同時，將輸入論域U和UC各離散化成包含47個點離散論域，根據(jù)以上控制規(guī)則、模糊推理和去模糊化方法，可通過程序離線計算得到所有情況下模糊控制器輸出，將所有情況下的輸入輸出組合起來就可以構(gòu)成所謂的模糊控制器查詢表。此查詢表可以事先存放于計算機中，每一個控制周期中，計算機將所采集到的最優(yōu)控制律u和其變化率uc轉(zhuǎn)換到各自的離散論域中，由此表查到相應的控制輸出值O，再乘以量化因子KI便得到光強控制信號I。這里，由于查詢表數(shù)據(jù)太多，不便于給出，因此用圖5所示的包含有472個點的非線性控制面表示。

表1　模糊控制規(guī)則表

3數(shù)值仿真研究

以光電層合簡支板為仿真對象，驗證前述控制策略的有效性。取受控板的尺寸參數(shù)為[11]：長Lx=0.8 m，寬Ly=0.6 m，高h=0.001 m；材料屬性為：Y=2.1×1011N/m2，ρ=7.8×103kg/m3，μ=0.3；在板的上下表面對稱粘貼兩對光致伸縮驅(qū)動器貼片，其尺寸均為0.24 m×0.06 m×0.000 4 m,光電驅(qū)動器片在板的位置分布取為文獻[11]遺傳優(yōu)化位置：x1=0.05 m,x2=0.29 m,y1=0.24 m,y2=0.3 m和x3=0.34 m,x4=0.4m,y3=0.06 m,y4=0.3 m。根據(jù)式(4)和式(3a)、(3b)計算得到簡支板的前三階受控模態(tài)頻率和模態(tài)控制因子分別為：

(16a)

(16b)

(16c)

為了便于分析，設各階模態(tài)初始位移均取為0.001 m，且不考慮結(jié)構(gòu)阻尼，即ζ11=ζ12=ζ21=0。LQR控制中，狀態(tài)變量和輸入變量的權(quán)值矩陣和權(quán)值系數(shù)Q和R分別取為：

R=103

(17)

此時得到的最優(yōu)反饋陣為

K=[0.0102-0.0014-0.0833-0.00130.0135-0.0014]

(18)

圖6　利用最優(yōu)模糊控制算法的仿真曲線 Fig.6 Time histories of optimal fuzzy control

模糊控制器的量化因子和比例因子分別取為：Ku=5×104、Kuc=200和KI=0.8×105。仿真采用經(jīng)典Newmark-β數(shù)值方法，仿真步長取為0.000 1 s, 進行15 000次迭代運行，仿真結(jié)果如圖6(a)～(e)所示。圖6(a)～(e)分別為采用最優(yōu)模糊控制策略的板的位移變化、驅(qū)動器控制力變化、光照強度變化、光生電場變化的曲線以及最優(yōu)控制律和其變化率曲線。由圖6(a)可見，三個模態(tài)的位移經(jīng)過1.2 s左右都基本上衰減殆盡，振動得到了很好的抑制；在圖6(b)中，由于三個模態(tài)各自的模態(tài)控制因子不同，因此不同模態(tài)的控制大小不一樣，但變化規(guī)律相同；由圖6(e)可見，最優(yōu)控制律輸入的變化范圍為-4×10-4～4×10-4，其變化率的變化范圍為-0.08～0.08，這為模糊控制器量化因子Ku、Kuc的選擇提供了依據(jù)。在上述仿真中，將最優(yōu)狀態(tài)反饋及其變化率作為模糊控制器的輸入，通過模糊控制器去調(diào)節(jié)光強，使驅(qū)動器的輸出應變盡可能去逼近最優(yōu)控制律，從而有效的抑制板的多模態(tài)振動。

圖7　利用最優(yōu)狀態(tài)反饋直接作用的仿真曲線 Fig.7 Time histories of optimal state feedback control

為了表明模糊控制在克服驅(qū)動器非線性方面的作用，在圖3中將模糊控制環(huán)節(jié)去掉，利用設計的最優(yōu)控制矩陣K直接作狀態(tài)反饋重新進行仿真，即光強寫為：

(19)

光照方向依舊按照控制信號u的符號的變化而變換方向，其仿真結(jié)果如圖7(a)～(d)所示。圖7(a)～(d)分別為板的位移變化、光電驅(qū)動器控制力變化、光強變化以及光生電場變化的曲線。由圖7(a)可見，由于光電驅(qū)動器的非線性驅(qū)動特性，直接用最優(yōu)狀態(tài)反饋的效果并不是非常理想。比較而言，本文提出的最優(yōu)模糊控制能夠有效的克服驅(qū)動器的非線性驅(qū)動特性，成功的實現(xiàn)多模態(tài)振動抑制。

4結(jié)論

本文提出了基于光電層合簡支板的最優(yōu)模糊多模態(tài)主動振動控制算法。首先，基于簡化的系統(tǒng)模型設計了LQR控制，然后通過模糊控制器調(diào)節(jié)光電驅(qū)動器的輸入光強使其光致應變逼近最優(yōu)控制量。研究表明, 和直接最優(yōu)狀態(tài)反饋控制策略相比，最優(yōu)模糊控制可以克服光致驅(qū)動器的非線性驅(qū)動特性，更為有效地實現(xiàn)光電層合板的多模態(tài)振動控制。在最優(yōu)模糊控制策略的設計過程當中，模糊控制器與最優(yōu)控制器設計是分開設計的，相互獨立。這種處理方法可以方便地把模糊控制器與其它的控制算法相結(jié)合，開發(fā)出其他有效的多模態(tài)控制方法。

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