考慮多間隙耦合關系的齒輪系統(tǒng)非線性動力學分析

第一作者張慧博男，博士生，1985年生

通信作者趙陽男，博導， 教授，1968年生

考慮多間隙耦合關系的齒輪系統(tǒng)非線性動力學分析

張慧博，王然,陳子坤,魏承,趙陽,游斌弟

(哈爾濱工業(yè)大學航天工程系，哈爾濱150001)

摘要：建立了一種新的考慮徑向間隙與動態(tài)齒側間隙耦合的齒輪轉子系統(tǒng)動力學模型,分析了徑向間隙與齒側間隙的耦合關系及其對系統(tǒng)動力學特性的影響。在系統(tǒng)動力學模型中，建立了考慮徑向間隙的接觸碰撞模型；通過推導齒輪中心距與齒側間隙之間的函數(shù)關系，建立了考慮動態(tài)齒側間隙的齒輪扭轉振動模型。進而利用該模型對多間隙齒輪系統(tǒng)的動力學特性進行分析。給出了一對直齒輪副的數(shù)值仿真結果，分別分析了徑向間隙大小和齒側間隙大小對齒輪系統(tǒng)動力學特性的影響規(guī)律，分析結果對含間隙齒輪轉子系統(tǒng)的研究具有重要的理論與工程價值。

關鍵詞：動態(tài)齒側間隙；徑向間隙；多間隙耦合；齒輪轉子系統(tǒng)；動力學特性

基金項目：國家重點基礎研究發(fā)展計劃(973計劃)(2013CB733000);“十二五”裝備預先研究項目(51320030201)

收稿日期：2014-09-01修改稿收到日期：2014-11-20

中圖分類號:TH113文獻標志碼：A

Nonlinear dynamic analysis of a gear-rotor system with coupled multi-clearance

ZHANGHui-bo,WANGRan,CHENZi-kun,WEICheng,ZHAOYang,YOUBin-di(School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin150001, China)

Abstract:The dynamic behavior and the coupling relationship between radial clearance and backlash of a gear-rotor system with multi-clearance were investigated here. A new dynamic model of the gear-rotor system with coupled multi-clearance was developed including nonlinearity associated with radial clearance and dynamic backlash. In the dynamic model, the contact impact model considering radial clearance was established using the nonlinear contact force model. And the torsional vibration model with dynamic backlash was established using the geometrical relationship between gear center distance and backlash. And then, the dynamic characteristics of the gear-rotor system were analyzed based on the new dynamic model with coupled multi-clearance. The numerical simulation results for a spur gear pair with multi-clearance were presented and discussed. The effects of radial clearance size and initial backlash size on the system dynamic characteristics were analyzed, respectively. The conclusions had important theoretical and engineering values for gear-rotor systems with clearances.

Key words:dynamic backlash; radial clearance; coupled multi-clearance; gear-rotor system; dynamic characteristics

對于齒輪系統(tǒng)的動力學建模一直是人們關注的焦點，也取得了大量的研究成果。早期，齒輪系統(tǒng)的動力學模型為線性模型。如Winter等[1]利用分段線性化的方法研究含齒側間隙的齒輪系統(tǒng)。Galhoud[2]也利用同樣的方法建立了考慮齒側間隙的兩自由度齒輪系統(tǒng)動力學模型，并發(fā)現(xiàn)了嚙合力的諧波響應現(xiàn)象。然而，線性模型并不能反映混沌、分岔等非線性現(xiàn)象。為了考慮齒輪系統(tǒng)的非線性行為，逐漸發(fā)展出考慮齒側間隙和時變嚙合剛度的非線性模型。Kahraman[3]首次考慮了時變嚙合剛度和齒側間隙的影響，建立了3自由度齒輪系統(tǒng)動力學模型。Ozguven[4]建立了考慮齒側間隙引起的齒背沖擊作用的齒輪系統(tǒng)動力學模型。張鎖懷等[5-7]建立了考慮脫齒、擠齒和齒背接觸等因素的影響，齒輪系統(tǒng)動力學模型，并分析了轉速對系統(tǒng)動力學特性的影響。為了進一步考慮齒輪-轉子系統(tǒng)中齒輪和軸承的振動沖擊特性，又發(fā)展出了多間隙模型。Kahraman[8]首先提出了考慮齒側間隙和徑向間隙的齒輪-轉子-軸承系統(tǒng)非線性模型。隨后，他又繼續(xù)完善模型，分析齒輪轉子系統(tǒng)的非線性動力學特性，同時開展實驗研究[9-12]。Theodossiades[13]研究非線性齒輪嚙合力與非線性油膜力共同作用下齒輪系統(tǒng)的動態(tài)響應，分析了外部扭矩、不平衡質量、靜態(tài)傳動誤差和軸承參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)行為的影響。Farshidianfar等[14]則利用多間隙模型分析齒輪系統(tǒng)的混沌和分岔現(xiàn)象。但是這種多間隙模型是在動力學模型中分別考慮徑向間隙與齒側間隙，并沒有描述徑向間隙與齒側間隙的耦合關系。但事實上，徑向間隙處轉子的跳動會導致齒側間隙的大小發(fā)生變化，齒側間隙的變化又會影響轉子的徑向跳動。而當前還沒有考慮這種耦合關系的研究。

本文重點研究在考慮徑向間隙與齒側間隙的耦合關系時，徑向間隙大小和齒側間隙大小對齒輪系統(tǒng)動力學特性的影響。通過推導齒輪中心距與齒側間隙之間的函數(shù)關系，建立考慮徑向間隙的接觸碰撞模型，和考慮動態(tài)齒側間隙的齒輪扭轉振動模型，進而建立考慮多間隙耦合的齒輪—轉子系統(tǒng)動力學模型。并利用數(shù)值仿真分析徑向間隙大小、齒側間隙大小對齒輪系統(tǒng)動力學特性的影響規(guī)律，分析結果對含間隙齒輪系統(tǒng)的研究具有重要的理論與工程價值。

1齒輪系統(tǒng)動力學建模

在一般齒輪系統(tǒng)中，包括由軸承、轉子組成的傳動軸系和齒輪嚙合副兩個主要部分，如圖1所示。在傳動軸系中，由于軸承間隙和傳動軸的安裝、制造誤差，導致齒輪系統(tǒng)產(chǎn)生徑向間隙；在齒輪嚙合副中也會存在齒側間隙，同時由于徑向間隙的存在，齒輪在傳動過程中會產(chǎn)生徑向跳動，進而導致齒輪實際中心距發(fā)生變化，引起齒側間隙的改變，因此齒側間隙在齒輪系統(tǒng)的運動過程中是動態(tài)變化的。

圖1　齒輪軸承轉子系統(tǒng) Fig.1 Generic geared rotor-bearing system

為了建立考慮徑向間隙與動態(tài)齒側間隙耦合的齒輪系統(tǒng)動力學模型，首先提出以下假設：

(1)假設單對齒輪系統(tǒng)為平面系統(tǒng)，將軸承處的徑向跳動等效為在齒輪回轉平面內(nèi)的兩自由度平移運動，將齒輪的扭轉振動等效為回轉平面內(nèi)的單自由度轉動。

(2)假設齒輪的軸承—轉子系統(tǒng)為剛性系統(tǒng)，不考慮傳動軸的彈性變形，僅考慮由于軸承間隙引發(fā)的徑向跳動對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。

(3)假設輪齒為剛性輪齒，不考慮輪齒在接觸碰撞過程中的塑性變形。

圖2　齒輪轉子系統(tǒng)動力學模型 Fig.2 Dynamic model of gear-rotor system

在圖2中，齒輪系統(tǒng)中主要由主動輪(p)和從動輪(g)兩部分組成。其中，齒輪i(i=p,g)的半徑為Ri，轉動慣量為Ii，角位移為θi，壓力角為α，驅動轉矩為Tp，Ori為轉子中心，Obi為軸承中心，eri為轉子中心矢量，ebi為軸承中心矢量，ebri為間隙矢量，epg為主、從動輪中心距矢量，bt為齒側間隙，Kt為齒輪時變擬合剛度，Ct為嚙合阻尼。在動力學模型中考慮了徑向間隙和動態(tài)齒側間隙，首先分別建立考慮徑向間隙的接觸碰撞模型和考慮動態(tài)齒側間隙的扭轉振動模型，在此基礎上建立考慮徑向間隙和動態(tài)齒側間隙的齒輪系統(tǒng)動力學模型。

1.1　考慮徑向間隙的軸承接觸碰撞模型

徑向間隙cri(i=p,g)用于描述齒輪軸承徑向方向的間隙，可將其簡化為轉子與軸套之間的徑向偏移，偏移量可用間隙矢量來描述，如圖2所示，間隙矢量ebri可表示為：

ebri=eri-ebi

(1)

而轉子與軸承的潛在碰撞點即在間隙矢量ebri所指向的方向上。同時，可以利用嵌入量δi描述轉子與軸承在碰撞過程中的狀態(tài)，δi可表示為間隙矢量與徑向間隙的函數(shù)：

(2)

根據(jù)Hertz接觸理論，碰撞力與碰撞體的材料屬性、幾何特性以及碰撞速度等因素相關。本文利用Lankarani-Nikravesh模型建立軸承處的碰撞力模型。Lankarani-Nikravesh模型是基于Hertz接觸理論和恢復系數(shù)的非線性彈簧阻尼模型，并經(jīng)過試驗驗證，在計算徑向間隙時較為準確[15]。轉子的徑向接觸碰撞力Fri其表達式可表示為：

(3)

其中，Kri可以利用兩球體的碰撞試驗獲取，可表示為：

(4)

式中，υbi和υji分別為軸承與轉子的泊松比，取0.3；Ebi和Eji分別為軸承與轉子的彈性模量，取206 GPa。

在式(3)中，阻尼系數(shù)Cri[15]可表示為：

(5)

1.2　考慮動態(tài)齒側間隙的扭轉振動模型

齒側間隙用于描述輪齒沿嚙合線方向上的間隙。齒輪在設計、加工和裝配過程中會產(chǎn)生初始齒側間隙bo。而由于徑向間隙的存在，齒輪轉子會產(chǎn)生徑向跳動，使得中心距發(fā)生改變，進而導致齒側間隙的變化。因此，齒側間隙在齒輪運動過程中是動態(tài)變化的，其變化量與齒輪的徑向跳動相關。由圖2可知，主、從動齒輪的實際中心距AR可表示為間隙矢量ebri的函數(shù)，如下所示。

(6)

圖3　中心距與齒側間隙幾何關系 Fig.3 Geometrical relationship between center distance and backlash

根據(jù)齒輪傳動的幾何關系，可以給出實際中心距與齒側間隙的函數(shù)關系，進而得到動態(tài)齒側間隙的函數(shù)。

在圖3為一對標準齒輪的嚙合關系，當P點嚙合時，主動齒輪上的N點和從動齒輪上的M點重合。由于軸承處徑向跳動的影響，實際中心距AR不等于理想中心距A0，又由于初始齒側間隙bo的存在，因此在P點嚙合時，N、M兩點不重合，而N、M點間的距離即為動態(tài)齒側間隙bt。根據(jù)齒輪嚙合的幾何關系可知，圖中P、N、M三點都在主、從動齒輪基圓的內(nèi)公切線上，則bt可表示為：

(7)

根據(jù)漸開線幾何關系可知，在考慮初始齒側間隙bo的情況下，動態(tài)齒側間隙bt可表示為：

(8)

(9)

根據(jù)式(8)和(9)，可得齒側間隙關于實際中心距的函數(shù)：

bt=2A0cos(α0)(inv(α′)-inv(α0))+bo

(10)

進一步建立考慮動態(tài)齒側間隙的扭轉振動模型，在圖2中，以兩齒輪的回轉中心為坐標原點，定義坐標系Orp和Org，則兩坐標系在平面內(nèi)有三個自由度，即x，y方向的平移運動和繞z軸的回轉運動。其中，Orp在x，y方向的平移運動可表示為間隙矢量ebrp在x，y方向上的分量ebrpx和ebrpy；同理Org在x，y方向的平移運動可表示ebrgx和ebrgy；Orp和Org繞z軸的回轉角度分別為θrp和θrg。則主、從動齒輪沿嚙合線方向的相對位移可表示為：

(ebrpx-ebrgx)sinα′+(ebrpy-ebrgy)cosα′

(11)

為了描述齒側間隙在齒輪傳動過程中的作用，Kahraman[16]提出了間隙函數(shù)的概念，當沿嚙合線方向的相對位移gt大于等于0時，齒輪處于正常嚙合狀態(tài)；當相對位移gt小于0大于-bt時，齒輪出現(xiàn)脫齒現(xiàn)象；當相對位移gt小于等于-bt時，出現(xiàn)齒背接觸，因此齒側間隙函數(shù)fg(t)可表示為：

(12)

齒輪在嚙合傳動過程中，動態(tài)嚙合力Ft(t)由齒側間隙函數(shù)fg(t)決定，包括嚙合彈性力和嚙合阻尼力

(13)

(14)

Ct(t)為非線性阻尼，為了防止碰撞過程中阻尼力的不連續(xù)，避免線性阻尼模型在臨界接觸狀態(tài)時碰撞力不為零的現(xiàn)象，非線性阻尼力可表示為[17]：

(15)

式中，fg(t)為齒側間隙函數(shù)，即齒輪嚙合時嵌入量；Cm為最大阻尼系數(shù)；d為最大嵌入深度，取0.1 mm；β為嵌入比，β=fg(t)/d。由式(12)可知，當齒側間隙函數(shù)fg(t)<0，阻尼為0；當0≤fg(t)

1.3　考慮多間隙耦合的齒輪系統(tǒng)動力學模型

根據(jù)以上分析，建立了考慮徑向間隙的軸承接觸碰撞模型和考慮動態(tài)齒側間隙的扭轉振動模型，在此基礎上建立考慮徑向間隙與動態(tài)齒側間隙的齒輪系統(tǒng)的動力學方程，可表示為：

(16)

(17)

2計算與仿真分析

在考慮徑向間隙和動態(tài)齒側間隙后，動力學方程為高維非線性微分方程，直接求解析解非常困難，本文采用Newmark法對動力學方程進行求解，對圖2所示的多間隙耦合齒輪轉子系統(tǒng)進行動力學仿真，其結構參數(shù)如表1所示。

表1　齒輪結構參數(shù)

2.1　徑向間隙對系統(tǒng)動力學特性的影響

在考慮徑向間隙與齒側間隙耦合的情況下，分析從動輪的徑向間隙大小對齒側間隙變化和對系統(tǒng)動力學響應的影響規(guī)律。取徑向間隙大小分別為0.05 mm，0.10 mm，0.15 mm和0.20 mm，初始齒側間隙為0.10 mm，為了使齒輪嚙合頻率與徑向振動頻率較為接近，更好地研究扭轉振動與徑向振動相互耦合對系統(tǒng)動力學特性的影響，取轉速為20 r/min，對齒輪系統(tǒng)進行數(shù)值仿真，計算結果如下：

圖4 不同徑向間隙下間隙矢量Fig.4Clearancevectorfordifferentclearancesize圖5 不同徑向間隙下軸承接觸力Fig.5Contactforceofbearingfordifferentclearancesize圖6 不同徑向間隙下轉子振動的頻率譜Fig.6Frequencyspectrumofrotorvibrationfordifferentclearancesize

碰撞力的波動次數(shù)也隨之減少，說明徑向間隙的增大使得轉子與軸承發(fā)生大幅碰撞的次數(shù)減少，轉子更多情況是與軸承處于連續(xù)接觸或小幅振動情況。

為了進一步說明徑向間隙大小對軸承間隙處運動狀態(tài)的影響規(guī)律，對圖4中數(shù)據(jù)進行FFT變換，給出不同徑向間隙下轉子振動的頻率譜，如圖6所示。圖中，橫坐標為頻率，縱坐標為幅值，反映該頻率下的振動程度。圖6中曲線主要峰值一共有a、b兩處，在2 Hz到5 Hz處曲線達到第一個峰值a，a處的頻率為連續(xù)接觸狀態(tài)下的振動頻率，從這段曲線中可以看出，不同徑向間隙的曲線峰值所對應的頻率基本一致，但曲線峰值隨著間隙的增大而增大，這說明隨著間隙的增大，軸承處的連續(xù)接觸狀態(tài)越來越多，碰撞與自由運動狀態(tài)變少。5 Hz到10 Hz處的峰值b為軸承處的碰撞頻率，從這段曲線中可以看出，由于徑向間隙變大，碰撞程度增大，而碰撞頻率降低。同時，間隙較大的情況下，曲線的小幅波動更多，這是受到齒輪扭轉振動的影響而產(chǎn)生的波動，在分析齒輪扭轉振動特性時做具體分析。綜上所述，徑向間隙大小對齒輪徑向碰撞的影響較為明顯，隨著間隙的增大軸承處的運動狀態(tài)趨于連續(xù)接觸狀態(tài)，但仍然存在碰撞現(xiàn)象，碰撞程度隨之增大，碰撞頻率降低。

圖7 不同徑向間隙下動態(tài)齒側間隙曲線Fig.7Dynamicbacklashfordifferentclearancesize圖8 不同徑向間隙下齒輪嚙合相對位移Fig.8Relativegearmeshdisplacementsfordifferentclearancesize圖9 不同徑向間隙下齒輪嚙合力Fig.9Themeshforcefordifferentclearancesize

圖8中，橫坐標為時間，縱坐標為齒輪沿嚙合線方向的相對位移，初始齒側間隙bo=0.1 mm。圖9的橫坐標為時間，縱坐標為齒輪嚙合力。從圖8中可以看出，雖然初始齒側間隙都為0.01 mm，但由于徑向間隙的不同，相對位移gt有很大差別，根據(jù)式(11)可知，gt的取值不但與bo有關，還與bt相關，從數(shù)值上看gt≤bo+bt，隨著徑向間隙的增大，gt的波動幅值增大，圖9中的齒輪嚙合力也隨之增大，齒側碰撞更加劇烈。由此可知，徑向間隙對齒輪系統(tǒng)的傳動精度和齒輪嚙合力影響很大，徑向間隙越大，傳動精度越低，碰撞越劇烈。通過對圖8中的數(shù)據(jù)進行FFT變換，給出齒輪嚙合相對位移gt的頻率譜，如圖10所示，進一步說明徑向間隙對齒輪嚙合過程的影響。

圖10　不同徑向間隙下齒輪扭轉振動的頻率譜 Fig.10 Frequency spectrum of torsional vibration for different clearance size

圖10中，利用gt頻率譜分析齒輪的嚙合振動規(guī)律，橫坐標為頻率，縱坐標為幅值。fm為齒輪的嚙合頻率，從圖中可以看出，由于受到齒側間隙和徑向間隙的耦合作用影響，在徑向間隙為0.15 mm時出現(xiàn)了分頻和倍頻振動，這說明徑向間隙的變化，會引發(fā)齒輪系統(tǒng)的諧振現(xiàn)象。同時，隨著徑向間隙的增大，振動幅值增大，嚙合振動越來越劇烈。因此，徑向間隙對齒輪嚙合傳動影響很大，徑向間隙越大，嚙合振動越劇烈，系統(tǒng)穩(wěn)定性越差。

綜上所述，徑向間隙大小對齒輪系統(tǒng)的動力學響應影響很大。從軸承處的運動狀態(tài)可以看出，徑向間隙增大，導致軸承處的徑向位移和碰撞力波動范圍增大，但波動頻率降低，齒輪軸與軸承逐漸趨向于連續(xù)接觸狀態(tài)。同時，徑向間隙的變化對齒側間隙影響很大，有可能引發(fā)諧振，且徑向間隙增大，齒側間隙的波動幅值變大，進而導致齒輪沿嚙合線方向的相對位移波動增大，傳動精度降低，齒輪嚙合力也隨之增大，嚙合振動也越來越劇烈，系統(tǒng)穩(wěn)定越來越差。

2.2　齒側間隙對系統(tǒng)動力學特性的影響

進一步分析齒側間隙大小對系統(tǒng)動力學響應的影響規(guī)律。取初始齒側間隙大小分別為0.05 mm，0.10 mm，0.15 mm和0.20 mm，徑向間隙為0.10 mm，轉速為20 r/min，對齒輪系統(tǒng)進行數(shù)值仿真，計算結果如下：

圖13中，利用gt頻率譜分析齒輪的扭轉振動規(guī)律，橫坐標為頻率，縱坐標為幅值。從圖中可以看出，由于齒側間隙的變化，在初始齒側間隙為0.2 mm時分頻振動的振幅較高，這說明齒側間隙的變化也有可能會引起齒輪系統(tǒng)的諧振現(xiàn)象。同時，隨著初始齒側間隙的增大，曲線幅值增大，齒輪的嚙合振動更為劇烈，降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖11 不同初始齒側間隙下齒輪嚙合相對位移Fig.11Relativegearmeshdisplacementsfordifferentinitialbacklashsize圖12 不同初始齒側間隙下齒輪嚙合力Fig.12Themeshforcefordifferentinitialbacklashsize圖13 不同初始齒側間隙下齒輪扭轉振動的頻率譜Fig.13Frequencyspectrumoftorsionalvibrationfordifferentinitialbacklashsize

圖14 不同初始齒側間隙下轉子中心運動軌跡Fig.14Rotorcentreorbitfordifferentinitialbacklashsize圖15 不同初始齒側間隙下軸承接觸力Fig.15Contactforceofbearingfordifferentinitialbacklashsize圖16 不同初始齒側間隙下轉子振動的頻率譜Fig.16Frequencyspectrumofrotorvibrationfordifferentinitialbacklashsize

綜上所述，齒側間隙大小對齒輪系統(tǒng)的動力學響應影響較大。隨著初始齒側間隙的增大，嚙合線方向上的相對位移波動幅值增大，齒輪傳動精度降低。初始齒側間隙的變化對齒輪的扭轉振動也產(chǎn)生影響，隨著初始齒側間隙的增大，齒輪的嚙合振動更為劇烈，系統(tǒng)穩(wěn)定性隨之降低。同時，齒側間隙的變化對徑向間隙處轉子的運動特性有一定影響，隨著初始齒側間隙的增大，轉子的大幅碰撞次數(shù)增多，碰撞力波動幅值增大，但連續(xù)接觸頻率與小幅碰撞頻率不受影響。

3結論

本文主要建立了一種新的考慮徑向間隙與動態(tài)齒側間隙的齒輪系統(tǒng)動力學模型，并詳細分析了間隙耦合關系、徑向間隙大小、齒側間隙大小對齒輪系統(tǒng)動力學特性的影響。首先，建立了考慮徑向間隙的接觸碰撞模型，通過推導齒輪中心距與齒側間隙之間的函數(shù)關系，建立了考慮動態(tài)齒側間隙的齒輪扭轉振動模型，進而建立考慮徑向間隙與動態(tài)齒側間隙耦合的齒輪轉子系統(tǒng)動力學模型。給出齒輪轉子系統(tǒng)的數(shù)值仿真結果并進行了分析。

分析表明：①徑向間隙與齒側間隙存在耦合關系，轉子的徑向跳動可以使齒側間隙發(fā)生動態(tài)變化，使得齒輪的扭轉振動更為劇烈，非線性特性更為復雜。而齒輪轉子在軸承處的運動也受到齒輪扭轉振動變化的影響，碰撞程度更大。②徑向間隙大小對系統(tǒng)動力學特性有顯著影響，徑向間隙的增大，會導致軸承處的徑向位移波動范圍增大，增大齒輪系統(tǒng)的徑向誤差，但波動頻率降低，齒輪與軸承逐漸趨向于連續(xù)接觸狀態(tài)。同時，徑向間隙的變化有可能引發(fā)諧振，且徑向間隙的增大，還會導致齒輪沿嚙合線方向的位移波動范圍增大，加大了轉角誤差，而齒輪的扭轉振動也越來越劇烈，系統(tǒng)穩(wěn)定性降低。③齒側間隙大小對齒輪系統(tǒng)的動力學特性也有顯著影響，齒側間隙的變化也有可能引起齒輪系統(tǒng)的諧振現(xiàn)象。隨著初始齒側間隙的增大，嚙合線方向上的相對位移波動幅值增大，轉角誤差增大，齒輪嚙合力的幅值也隨之增大，齒輪的扭轉轉動更為劇烈。同時，齒側間隙的變化對軸承處轉子的運動也有一定影響，隨著初始齒側間隙的增大，轉子的大幅碰撞次數(shù)增加，碰撞力隨之增大，但振動頻率基本不變。

參考文獻

[1]Winter H,Kojima M. A study on dynamic of geared system-estimation of overload on gears in system[C]. Proceedings of the International Symposium on Gearing &Power Transmissions, 1981, Tokyo c-12.

[2]Galhoud L E,Masri S F,Anderson J C. Transfer function of a class of nonlinear multidegree of freedom oscillators[J]. Journal of Applied Mechanics, Transactions of the American Society of Mechanical Engineers,1987, 54: 215-225.

[3]Kahranam A, Singh R. Interactions between timevarying mesh stiffness and clearance non-linearities in a geared system[J]. Journal of Sound and Vibration, 1991, 146(1): 135-156.

[4]Ozgurn H N. A non-linear mathematical model for dynamic analysis of spur gears including shaft and bearing dynamics[J]. Journal of Sound and Vibration, 1991, 145(2): 239-160.

[5]張鎖懷，李憶平，丘大謀. 齒輪耦合的轉子—軸承系統(tǒng)非線性動力學特性的研究[J]. 機械工程學報，2001,37(9)：53-61.

ZHANG Suo-huai, LI Yi-ping, QIU Da-mou. Study on nonlinear dynamic characteristics of a geared rotor bearing system[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2001, 37(9): 53-61.

[6]張鎖懷，沈允文，丘大謀. 齒輪耦合的轉子軸承系統(tǒng)的不平衡響應[J]. 機械工程學報，2002,38(6)：51-55.

ZHANG Suo-huai, SHEN Yun-wen, QIU Da-mou. On response of mass unbalance in a geared rotor bearing system[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2002, 38(6): 51-55.

[7]張鎖懷，孫玉杰，沈允文. 齒輪時變系統(tǒng)的強迫振動[J]. 中國機械工程，2002,8(16)：723-728.

ZHANG Suo-huai, SUN Yu-jie, SHEN Yun-wen. Forced vibration of gear system with time-varying mesh stiffness[J]. China Mechanical Engineering, 2002,8(16)：723-728.

[8]Kahraman A, Singh R. Non-linear dynamics of a geared rotor-bearing system with multiple clearances[J]. Journal of Sound and Vibration, 1991, 144(3): 469-506.

[9]Blankenship G W, Kahraman A. Steady state forced response of a mechanical oscillator with conbined parametric excitation and clearance type non-linearity[J]. Journal of Sound and Vibration, 1995, 185(5): 743-765.

[10]Petry-Johnson T T, Kahraman A, Anderson N E, et al. An experimental investigation of spur gear efficiency[J]. Journal of Mechanical Design, 2008, 130(6):523-538.

[11]Ligata H, Kahraman A, Singh A. An experimental study of the influence of manufacturing errors on the planetary gear stresses and planet load sharing[J]. Journal of Mechanical Design, 2008, 130(4):149-158.

[12]Hotait M A,Kahraman A. Experiments on the relationship between the transmission error and the dynamic stress factor of spur gear pairs[J]. Mechanism and Machine Theory, 2013, (70): 16-128.

[13]Theodossiadea S, Natsiavas S. On geared rotor dynamic systems with oil journal bearings[J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 243(4): 721-745.

[14]Farshidian A R, Anooshirv A N. Bifurcation and chaos prediction in nonlinear gear systems[J]. Shock and Vibration, 2014, 1(64):1-8.

[15]BAI Zheng-feng,ZHAO Yang. Dynamic behaviour analysis of planar mechanical systems with clearance in revolute joints using a new hybrid contact force model[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2012, 54(1): 190-205.

[16]Al-shyyab A, Kahraman A. A Non-linear dynamic analysis of a multi-mesh gear train using multi-term harmonic balance method:Sub-harmonic motions[J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 279(2): 417-451.

[17]張慧博，潘冬，陳軍,等. 間隙旋轉鉸接觸碰撞模型固有特性分析 [J]. 機械科學與技術，2012,31(2)：239-243.

ZHANG Hui-bo, PAN Dong, CHEN Jun, et al. Inherentcharacteristic analysis of contact dynamics model of revolute joint with clearance [J]. Mechanical Science and Technonlogy for Aerospace Engineering,2012, 31(2): 239-243.