對導體棒在勻強磁場中極限速度的討論

對導體棒在勻強磁場中極限速度的討論

葛曉東余杰成

(浙江省杭州第二中學浙江 杭州310053)

摘 要：在中學物理教材中有這么一類變加速的問題,定性判斷的結果是物體最終要做勻速運動,但是在通過對導體棒在磁場中運動情況進行嚴密的數學推導后得出了一個和常規理解不同的結論:勻強磁場中切割磁感線的導體棒有可能無法達到勻速的狀態, 對這一熟知的結論進行了修正,并且將該結論推廣到高中其他類似的問題模型中去,比如在機車啟動中的極限速度問題．

關鍵詞：安培力電磁感應極限速度

收稿日期：(2015-05-12)

1題目

近日做到一道電磁感應方面的綜合題:兩條水平虛線之間有垂直于紙面向里，寬度為d，磁感應強度為B的勻強磁場．質量為m，電阻為R的正方形線圈邊長為L(L

A．線圈可能一直做勻速運動

B．線圈可能先加速后減速

圖1

這個解釋乍一看很有道理，但不難看出它只進行了定性分析．于是筆者抱著懷疑的態度進行了定量運算，證明了它的謬誤并得到了一些副產物．

由于只研究線圈進入磁場時的運動情況，所以本文將此過程一般化，即轉化為一根導體棒在勻強磁場內運動的情況．

2引理

先證明一個引理．

引理：在有限的時間內，一個加速度a數值和速度v數值始終成正比的減速直線運動的速度不可能減為零．

引理的證明：

設a=-kv，其中k為大于零的常數．記初速度為v0(v0>0)．運用數學歸納法：

a=-kv≥-kvn

故

順帶一提，此運動的位移是有上界的，證明如下：

于是位移

故位移有上界．

從而易得位移的最小上界

但這不在本文的探究范圍內.

由于只研究線圈進入磁場時的運動情況，所以本文將此過程一般化，即轉化為一根導體棒在勻強磁場內運動的情況．

3討論

3.1導體棒不受安培力以外的力

如圖2，足夠長的水平導軌寬度為L，質量為m的導體棒電阻為R，導軌間充滿磁感應強度為B的勻強磁場．t=0時刻，導體棒開始以初速度v0向右運動．

圖2

記某時刻速度為v，則

感生電動勢

ε=BLv

感應電流

安培力

加速度

可見導體棒的加速度與其速度成正比！

由引理，導體棒在有限的時間內一直做減速運動．

導體棒的速度圖像如圖3所示,為指數曲線,無限趨近于零．

圖3

3.2導體棒受恒定外力

如圖4，足夠長的水平導軌寬度為L，質量為m的導體棒電阻為R，導軌間充滿磁感應強度為B的勻強磁場．t=0時刻，導體棒開始以初速度v0向右運動，同時給導體棒施加一個水平向右的恒定外力．

圖4

記某時刻速度為v，分3類情況討論：

感生電動勢

ε=BLv0

感應電流

安培力

故導體棒受力平衡，做速度為v0的勻速運動．

感生電動勢

ε=BLv0

感應電流

安培力

加速度

可見加速度與v′成正比．

由引理，v′在有限時間內不能減為零，故導體棒一直做減速運動．

通過計算可得

及位移

若時間足夠長,其速度圖像如圖5所示,為指數曲線,無限趨近于

圖5

感生電動勢

ε=BLv0

感應電流

安培力

加速度

可見加速度與v′成正比．

由引理，v′在有限時間內不能減為零，故導體棒一直做加速運動．

通過計算可得

及位移

若時間足夠長,其速度圖像如圖6所示,為指數曲線,無限趨近于

圖6

綜合上述討論，可知在有限時間內，導體棒的運動情況只可能為一直加速、一直減速或一直勻速．

4結論

以上過程證明了導體棒在勻強磁場中的運動情況不可能為先變速后勻速，故原題中線圈進入磁場時的運動情況在有限時間內不可能是先減速后勻速，所以選項C是錯誤的．

額外的，我們發現一些題干中有“導體棒經過時間t后變為勻速運動”或“受恒力的導體棒位移x后變為勻速運動”的高中物理題目從嚴格意義上說均是錯題．

這可真是個有意思的結論．而且這個結論應該也可以適用機車恒定功率加速的模型中,按照本文的引理可以知道,機車只能無限靠近恒速,但是無法達到最終的勻速運動,感興趣的讀者可以加以證明．