經典力學與量子力學中自由度概念的比較與分析

經典力學與量子力學中自由度概念的比較與分析*

韓文娟劉 海

(六盤水師范學院物理與電子科學系貴州 六盤水553004)

黃 敏

(六盤水師范學院數學系貴州 六盤水553004)

*貴州省教育廳“貴州省高校優秀科技創新人才支持計劃項目，項目編號：黔教合KY字[2013]146號

摘 要：對經典力學與量子力學中的自由度作比較與分析.首先簡述《經典力學》與《量子力學》中自由度的特點，再比較分析《經典力學》、《量子力學》中的“自由度”異同點,最后指出《經典力學》、《量子力學》中自由度的研究意義.

關鍵詞：力學量子力學自由度比較分析

作者簡介：韓文娟(1975-)，女，碩士，教授,從事量子多體理論的研究.

收稿日期：(2014-10-27)

1引言

在分析力學中，自由度指的是單純地確定某一力學體系的運動狀態所必需的、互相獨立并可自由變動的物理量的數目[1].

自由度在不同學科中異中有同，同中有異.筆者在實際物理教學中發現,學生只對《經典力學》教材中的自由度稍熟悉但認識粗淺，很難深入理解《量子力學》中的自由度.鑒于此，筆者通過討論《力學》與《量子力學》教材中的自由度，讓學生深化對自由度的認識,以便其在學習中能正確確立物體自由度的個數及種類，從而提高其正確分析物理問題的能力.

2經典力學中的自由度

經典力學中，自由度的概念是指決定物體在空間位置所需的獨立坐標數目,其特點如下:

(1)被研究物體的自由度與坐標系的選取無關.被研究物體的自由度不因坐標系的選取不同而變,在同類參考系中不因參考系的動或靜而有別,如一個質點的三維空間運動，在任何類(如球、極、直角)坐標系與靜、動慣性參考系中，質點自由度的種類、名稱及數目都一樣(均為3).

(2)同一被研究物體,其自由度隨其所在的“空間”不同而異.如質點在設定不變的一條直線和曲線上的自由度為1，在設定不變的一個平面上的自由度為2，在設定不變的空間中自由度為3.

(3)自由度的疊加性.物體的總自由度等于物體本身運動具有的自由度與其所處“空間”(其形狀改變或運動時)具有的自由度的疊加,如小球沿定長的直桿運動[2]，桿又在平面內做定軸定速轉動，若小球視為質點，桿的“半徑”很小可忽略，則小球總自由度=小球在直桿上運動的1個自由度+直桿在平面內做定軸轉動的1個自由度=2.

(4)經典力學中一些常見客體的自由度.經典力學中質點自由度為3，剛體自由度為6，非剛體除反映物質整體運動的6個自由度外,還有3N-6個反映物質內部質點“振動”的自由度(姑且認為質點間相互聯系導致質點“振動”).

(5)宏觀上觀察物體運動時，物體自由度越多，受約束越少，物體越自由.

3《量子力學》中的自由度

3.1《量子力學》中的自由度定義

3.2《量子力學》中常見客體的自由度與力學量完備集

常見客體的自由度與力學量完備集見表1.

表1　常見客體的自由度與力學量完備集

4比較分析經典力學與量子力學中自由度的異同點

4.1經典力學與《量子力學》中自由度的共同點

(1)對應關系

量子系統的力學量完備集里的力學量個數對應經典力學系統的自由度，在完備集里力學量的數目一般與體系自由度的數目相等，如經典力學中自由粒子的自由度為3,而在《量子力學》中三維粒子要完全確定它的狀態需3個力學量，即力學量完備集中有3個力學量.經典力學與量子力學中的自由度都助于描述、確定物理客體的狀態.

(2)都與所取表象無關

經典力學中一個矢量可以在不同坐標系中描寫而且被研究物體的自由度卻不因坐標系的選取不同而異；同樣,《量子力學》中描寫體系狀態的波函數[4]既可在坐標表象中描寫即Ψ(x,y,z)，又可在動量表象中描寫即φ(p)，在不同表象中，波函數形式不同，但它們描寫同一個態,不因表象不同而不同.

(3)線性組合性

經典力學中選取坐標系后，確立一套完備基矢量，所有的空間矢量元素均可用它們進行線性展開，如經典力學中空間位矢

r=xi+yj+zk

式中i,j,k是笛卡爾坐標系中x,y,z方向的單位矢量，它們構成完備基；同樣，《量子力學》中力學量完備集的本征函數Ψn(n=0,1,2,…)構成體系的一組正交完備函數組，體系任何一個態φ均可用它們展開，即

an為體系處于態Ψn的概率.

(4)都有某種確定性

(5) 都有一定的疊加性

4.2經典力學與量子力學中自由度的區別

(1)《量子力學》中的一些“自由度”在經典力學中不含有

如電子在《量子力學》中有自旋這個自由度，而在經典力學中卻沒有.

(2)經典力學與量子力學中自由度的空間與維數不同

(3) 自由度不同導致經典力學的Hamilton方程和《量子力學》的Heisenberg方程形式不是簡單比擬[7]

如果在量子力學體系與經典力學中的Hamilton陳述形式之間的確存在一種純粹的“比擬”關系，那么由于經典力學中的哈密頓方程需要定義于粒子系統的“廣義坐標”、 “廣義動量”所張的空間中，量子力學的相關形式表述也只能定義在由同樣的“坐標”和“動量”所共同構造的廣義空間之中

n=1,2,∧,3n

式中n為粒子系統中的粒子數目，對于n粒子所構造的粒子系統，與經典力學哈密頓系統構成邏輯關聯的量子力學基本方程，必須相應存在于6×n自由度的狀態空間之中，但人們熟知在量子力學的經典陳述系統中，無論是通常所說的“位置表象”或“動量表象”，相關的形式表述只能定義在3×n自由度的狀態空間中，即

n=1,2,∧,3n

或

n=1,2,∧,3n

這樣，對于由經典力學哈密頓系統比擬得到的運動方程以及量子力學中直接定義在位置空間或動量空間中的運動方程，它們盡管表面上似乎完全一致，但由于定義域或者自變量集合完全不同，所有表觀一致的形式量實際上完全不同，乃至不具可比性.

5研究經典力學與量子力學中“自由度”的意義

(1) 能提高學生正確解決物理問題的能力

《經典力學》中研究物體運動時，在正確分析物體自由度的前提下，能更清晰地分析物體的位移、受力投影等問題，學生在此基礎上熟悉、掌握《量子力學》的自由度并深化思維，從而能更好、更準確地去定量、定性分析討論量子客體的狀態及物理規律.

(2)可找求解量子問題的突破口

如果《量子力學》中的力學量算符與經典力學中的力學量對應, 可先尋找經典的哈密頓函數并在《量子力學》中找到與經典函數對應的哈密頓算符從而進行問題的相關求解.

(3)能加深學生對自由度絕對性和統一性的理解

同一客體的自由度不因參考系和表象不同而異,體現自由度的絕對性，在經典力學與量子力學中研究客體的自由度時，所定格的“約束”與“自由”元素須正確統一，否則會產生錯誤的分析，此結論推廣至《熱學》、《光學》、《原子物理學》及跨學科的《數學》、《統計學》的自由度分析同樣成立.

參 考 文 獻

1中國大百科全書物理學編輯委員會.中國大百科全書 物理學.北京：中國大百科全書出版社，1987.1 279

2秦允豪.熱學習題思考題解題指導. 北京：高等教育出版社,2004.75

3曾謹言.量子力學導論 . 北京： 北京大學出版社,1998.106,106,107,236，252，226，226

4周世勛.量子力學. 北京： 高等教育出版社,1979.197

5莫周文.量子力學. 貴陽：貴州科技出版社,1993.167

6梁紹榮. 量子力學教程. 北京：高等教育出版社,2008.76

7楊本洛.量子力學形式邏輯與物質基礎探析[EB/OL]. 上海:上海交通大學出版社,http://www.mtn.com. cn/liangzi/06.htm

Comparison and Analysis on the Degree of Freedom

in Classical Mechanics and Quantum Mechanics

Han WenjuanLiu Hai

(Dept of Physics and Electronics of Sciences, Liupanshui Normal College, Liupanshui,Guizhou553004)

Huang Min

(Dept of Mathematics,Liupanshui Normal College, Liupanshui,Guizhou553004)

Abstract:The analyse and comparison of the degree of freedom in classical mechanics and quantum mechanics are talked. The same and different characters of the degree of freedom are introduced in the field of mechanics and quantum mechanics are the following .Finally, the studying significance of the degree of freedom of mechanics and quantum mechanics is showed.

Key words: mechanics；quantum mechanics；degree of freedom ；analysis and comparison；approach of actual teaching and analyse