物理問題中神奇的臨界條件——共速

物理問題中神奇的臨界條件——共速

韋中燊

(北京市大興第一中學北京102600)

周 蕊

(首都師范大學物理系北京100048)

摘 要：臨界問題是諸多物理問題中很值得重視的一類.解決臨界問題的關鍵是找出臨界條件.仔細關注一下諸多的臨界問題之后，會有一個很有意思的發現，就是“共速”是許多臨界問題中的臨界條件.

關鍵詞：臨界問題臨界條件共速

收稿日期：(2015-04-02)

1追及與相遇問題中的共速

追及與相遇類問題是運動學中的一個難點問題，涉及到兩個研究對象，物理量之間的關系相對較為復雜.在追及與相遇類問題中就有很多的臨界問題，其中涉及的臨界條件正是“共速”.這里討論下面兩種情況.

第一種：恰好追上(相撞)或追不上(撞不上)

在諸多追及(相撞)問題中，有勻減速直線運動物體追及(相撞)勻速直線運動物體和勻減速直線運動物體追及(相撞)勻加速直線運動物體這兩種情形.這兩種情形中，前者恰好能夠追上(相撞)后者的臨界條件，正是共速.因為，如果當兩者速度相同的時候，前者還不能追上(相撞)后者，那么在這個時刻之后，前者的速度將會小于后者的速度，再也不可能追上(相撞)后者.

第二種：兩者之間距離最大或者最小

追及問題中，如果是勻速直線運動的物體追及勻加速直線運動的物體，在兩者速度相同時，如果前者還沒有追上后者，就會出現兩者之間距離最小的情況.因為在此時刻之前，前者的速度比后者大，相同時間內前者的位移比后者大，兩者之間的距離會隨時間縮短.在此時刻之后，前者的速度比后者小，兩者之間的距離又被拉大.

如果是勻減速直線運動物體追及勻速直線運動物體，在速度相等時刻前者沒有追上后者，也會出現兩者距離最小的情形.

如果是一個勻速直線運動的物體去追及一個勻減速直線運動的物體，而且后者的初速度比前者的速度大，在兩者速度相等的情況下，就會出現兩者之間距離最大的情況.因為，在此時刻之前，前者的速度比后者小，相同時間內的位移前者小于后者，兩者之間的距離會隨著時間變大，當兩者速度相等時這個距離達到最大.

同樣，一個初速度小的勻加速直線運動物體追及一個初速度大的勻減速直線運動物體時，也會在兩者速度相同時出現兩者距離最大的情況.

2“板塊(車塊)”模型中的共速

【例1】如圖1所示，質量m1=0.3 kg 的小車靜止在光滑的水平面上，車長L=1.5 m，現有一個質量m2=0.2 kg可視為質點的物塊，以水平向右的速度v0從小車左端開始滑行.物塊與車平面間的動摩擦因數μ=0.5，取g=10 m/s2，求要使物塊不從小車右端滑出，物塊位于小車左端的速度v0就不能超過多少？

圖1

分析：物塊在小車上滑行時，受到水平向左的滑動摩擦力，做勻減速直線運動，小車受到水平向右的滑動摩擦力，做勻加速直線運動，要使物塊恰好不從小車上滑出，需物塊到小車右端時與小車有共同的速度v.然后，在此基礎上，只要根據動量守恒定律和功能關系就可以很順利地解決此問題了.

3“子彈擊打木塊”模型中的共速

【例2】如圖2所示，質量為M的木塊放在光滑水平面上，現有一質量為m的子彈向右以速度v0射入木塊中．設子彈在木塊中所受阻力不變，且子彈未射穿木塊．試求：子彈、木塊相對靜止時的速度v.

圖2

分析：兩個物體之間處于相對靜止狀態的特征就是兩者速度相等.對于子彈擊打木塊模型，只要子彈最終留在了木塊中，擁有共同速度將是必然的結果.在此基礎上，利用動量守恒定律和功能關系就可以解決相關問題了.

4“彈簧模型”中的共速

“彈簧模型”也可以看成一個類子彈打擊木塊的模型，不過在“彈簧模型”中，當兩個物體的速度相同時，會出現彈性勢能最大的情形.對于彈簧來說，彈性勢能最大，意味著彈簧的形變量最大，所以又關聯著一個兩物體之間距離最大或者最小的問題.

【例3】如圖3所示，光滑水平直軌道上有3個質量均為m的物塊A，B，C. B的左側固定一輕彈簧(彈簧左側的擋板質量不計).設A以速度v0朝B運動，壓縮彈簧；當A和B速度相等時，B與C恰好相碰并粘接在一起，然后繼續運動.假設B和C碰撞過程時間極短.求從A開始壓縮彈簧直至與彈簧分離的過程中，彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能.

圖3

解析：在這個問題中，彈簧壓縮到最短時的狀態就是物塊A,B,C三者速度相同的時候.具體解答過程如下.

從A壓縮彈簧到A與B具有相同速度v1時，對A,B與彈簧組成的系統，根據動量守恒定律得

mv0=2mv1

(1)

此時B與C發生完全非彈性碰撞.設碰撞后的瞬時速度為v2，損失的機械能為ΔE.對B,C組成的系統，由動量守恒定律和能量守恒定律得

mv1=2mv2

(2)

(3)

聯立式(1)～(3)得

(4)

由式(2)可知v2

mv0=3mv3

(5)

(6)

聯立式(4)～(6)得

(7)

5電磁感應中雙桿在軌道上滑動類問題中的共速

【例4】如圖4所示，寬為l光滑的導電軌道的弧形部分處于磁場外，軌道的水平部分處于垂直軌道平面向上、磁感強度為B的勻強磁場中，質量為2m的金屬桿cd靜止在水平軌道上，另一質量為m的金屬桿ab，從弧形軌道上h高處由靜止開始下滑.設ab桿和cd桿始終與軌道垂直，且接觸良好，ab桿與cd桿不會相碰，ab和cd桿的電阻均為R，軌道電阻不計，重力加速度為g.求：在ab桿運動的整個過程中可產生的熱量.

圖4

分析：桿ab從弧形軌道上滑下來之后，以某一速度進入水平軌道的磁場區域，開始切割磁感線，使得回路中產生感應電流，同時使得桿ab和桿cd都受到了安培力，其中桿ab開始做減速運動，桿cd開始做加速運動，桿cd運動后也會切割磁感線產生電動勢，這個電動勢會起到削弱桿ab產生的感應電動勢的作用.最終，當桿ab和桿cd的速度大小相等時，回路中感應電流消失，兩桿將保持這個速度開始勻速直線運動.

6結語

共速是指兩個或多個物體速度或者速度的大小相等.共速也是上述諸多問題中的臨界條件.那么，為什么“共速”會成為這么多問題中的重要特征條件呢？

首先，研究物體的運動規律，是高中物理問題的核心之一.描述一個物體的運動規律，主要集中在速度、位移、時間和加速度這4個基本物理量上.在這4個物理量中，加速度是由于物體的受力而產生的，它是其他物體與該物體之間相互作用的具體體現.至于速度，則是反應物體運動快慢和方向的重要物理量，而它的變化快慢則又與加速度有關.

其次，當兩個物體在一起的時候，它們之間可能的相互作用(追及類問題中的兩個物體之間并不存在相互作用)只有力的作用，其他的物理特征量是并不相互干擾影響的，包括速度，也就是說一個物體并不會把自己的速度傳遞給其他的物體.但是，物體之間產生力的相互作用時，又會受到相互速度條件的影響，尤其是當相互作用產生的力是摩擦力時.兩個物體速度相同的時候，兩者處于相對靜止的狀態，摩擦力產生的條件不充分.

所以，關于“共速”，它只是諸多雙體問題中的臨界條件，并不是關聯條件.