小學數學教學中建模思想的培育策略

李星云

數學建模作為數學教育的一個重要主題，自20世紀70年代開始逐步成為一門獨立的學科分支。近20年來，其不僅成為英、美等國數學教育界一項重點研究課題，還成為國際數學教育大會討論的熱點之一。緊隨國際數學教育發展的步伐，我國自20世紀80年代中期在借鑒英、美等國經驗的基礎上，逐步開設了“數學建模”課程并組織開展有關數學建模競賽活動，但是對于數學建模思想的應用與探究大多聚焦于高等教育階段，義務教育階段的相關研究相對較少。建模作為連接數學與現實世界的橋梁，是實施“數學現實化”教育思想的重要手段之一?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）明確指出：“在向學生展示知識與技能的數學答案的同時，應重視學生已有的認知經驗，使學生可以感受到從實際生活背景中抽象、概括出來的數學問題、建構數學模型、求解結果和問題答案的過程?！盵1]可以看出，我國新一輪課程改革已將“數學建?！彼枷霛B透到中小學數學課程中，重視與現實生活情境的結合，倡導建構數學模型并學會應用數學，而不僅僅是套用公式獲得答案。由于建模本身的難度以及教師缺乏相關培訓等原因，許多一線教師對于如何在數學教學中通過構建數學模型把數學知識應用于生活中感到比較陌生。在此，筆者對數學模型的概念、構建數學模型的意義及策略等問題進行分析闡述，期望為一線教師提供理論與實踐層面的借鑒。

一、數學模型的基本概況

（一）數學模型的概念

數學模型的概念比較寬泛，它是指用準確的數學語言，包括公式，描述和表達現實問題中的等量關系、空間圖形等，其特點是用數學語言的形式將生活中客觀事物或現象的核心特征、關系大概地或近似地呈現出來，形成一種數學模型。從外延上說，數學知識就是數學模型，一切數學教科書中所涵蓋的概念、公式、方程式、函數及相應的計算系統都可稱為數學模型。[2]

簡單來說，數學模型就是那些能夠反映、刻畫客觀事物本質屬性與內在規律的數學結構，如數學符號、公式、圖表等。小學數學涉及的數學結構較為簡單，因而小學階段所建構的數學模型，是指用課堂上所學的數字（1～10）、字母（a、b等）及各種不同的數學符號排列組合而成的公式等，學生所學的平面幾何圖形等都是數學模型。

數學建模即建構數學模型解決現實情境問題的求解過程。如我們將所考察的生活中的實際問題轉化為數學知識的求解，建構出相應的數學模型，通過對數學模型進行求解，使得原來生活中的實際問題得以解答，這種解題方法叫做建構數學模型的方法，也就是數學建模。[3]

（二）構建數學模型的意義

《標準》指出，小學階段的主要任務是培養小學生的數學建模思想，鍛煉數學建模能力，使學生學會把所學的數學理論知識應用于生活實踐中。有效的建?；顒硬粌H有利于發展學生的思維，還能激發學生學習數學的興趣，培養學生的探究意識和學習主動性?？梢?，數學建模思想在日常教學的有效融入，對提升小學生的數學核心素養起著非常關鍵的作用。

1.有利于培養學生運用數學思維的方法觀察分析生活中的問題

建構數學模型，即教師引導學生運用所學的數學知識、語言文字來描述和表達生活情境中的問題，將所學的理論知識運用到實際生活中解決真實的問題，深化“數學源于生活，又應用于生活”的理念內涵。數學建模不同于傳統意義的應用題，它是對實際的復雜問題進行分析，并在發現其中的規律與數學關系的基礎上運用數學知識解決問題。這個過程本身為學生提供了自我學習、獨立思考、綜合應用分析的機會，學生從不同的問題中探索出問題的本質，從而豐富了學生的想象力，提高了洞察力和創新思維能力。同時，“數學模型的組建依賴于建模者對實際問題的理解，并需要一定的創造性和想象力將有關的變量按照實際問題的要求組合在一起”[4]，且對于同一問題，學生能夠建立出多種不同的模型，因而在開放的構建模型過程中，有助于提高學生的創新意識和創新能力。

2.有利于培養學生的合作探究能力

數學建模作為一種新型的數學學習方式，為學生相互合作、主動探究提供了平臺。不管是日益成熟的中國大學生數學建模競賽（CUMCM），還是逐步興起的美國中學生數學建模競賽（HIMCM），均以團隊為單位參賽，3—4人為一組，在規定的時間內共同解決問題。在這個過程中，學生不僅需要具備扎實的數學基礎，還要具有較強的合作精神和探究意識。因此，將數學建模融入日常數學教學時，教師引領學生通過小組合作學習的方式，在小組內彼此交流思想、集思廣益，共同探究出問題的答案，同樣鍛煉了學生的探究與合作學習的能力。正如《標準》中所提出的：“數學教學理念必須創設有意義的教學情境，激發學生學習的興趣，調動學生學習的欲望，引發學生學會動腦筋思考問題；尤其對低年段的小學生要注重培養學生養成良好的學習習慣、掌握有效的學習方法和技巧。”[5]學生的學習生活應當是充滿創造性和歡樂的過程，除傳統教學觀所提倡的學生接受學習的方式外，教師應當鼓勵學生動手實踐、探究，讓學生學會與同伴合作探討的自主學習方式。此外，教師還應給予學生充足的時間和空間，使學生可以經歷假設、判斷、推理等探索過程。

3.有利于提高學生的數學素養

數學素養是指學生通過數學學習，在學習過程中逐漸內化而成的數學推斷能力、思考能力及數學品質。[6]小學階段要求學生具備的數學素養，包括數學知識及以數學思維思考問題的意識、解決問題的能力、探索數學的意愿等。數學建模是“從現實生活情境中抽象出數學問題”。發展建模能力一方面可以促進學生認識現實世界，因為數學模型思想主要是培養學生發現問題的意識以及動手實踐的能力。如“用字母列方程來表示數學問題求解中的等量關系”，在這個環節，學生首先要通過分析等量關系中有哪些量是等值的，然后找出題目中等式兩邊的量，最后判斷分析，求得結果。另一方面，豐富的日常生活經驗能夠幫助學生理解數學學習。如學習“數對”，學生需要“在具體情境中，能在方格紙上用數對表示位置，知道數對與方格紙上點的對應”。而在日常生活中，學生購買電影票去電影院看電影的經歷以及通過教室內的座位表確定同學的位置等情境，有助于他們理解“數對”的概念以及“數對”與點之間的對應關系。在數學教學過程中，構建數學模型能夠使學生各方面的能力得到開發，如理解能力、推理能力、發現問題的能力、分析能力等，而學生的數學素養也在不知不覺中獲得了提高。

4.有利于學生真正體會到學習數學的樂趣

數學一直被許多小學生認為是最難的科目，原因是對數學的作用與價值認識不足，學生“不知道為什么要學習數學”“數學學了有什么用處”，這令他們感到數學與生活距離非常遙遠，從而逐步喪失了學習數學的興趣。因此，在教學中，教師需要設計與生活相關的數學活動，鼓勵學生在活動體驗中體會數學與生活的聯系，幫助他們增加對數學應用價值的認識?！稑藴省分赋?，構建數學模型是學生理解數學知識與實際生活相聯系的橋梁。因此，在數學教學中，教師可以通過利用有趣的、與生活相關的問題開展構建數學模型的教學，幫助學生在解決問題中了解數學與生活的聯系，認識到數學在解決問題中的作用，激發學生學習數學的興趣，使學生認識到數學學習與生活息息相關，利用學到的數學知識可以高效地解決問題，進而認識到學習數學的意義。[7]

二、建構數學模型的策略

數學模型的建構對于利用數學知識解決生活中的問題至關重要，但是不同學段對學生掌握建模思想的要求不一樣：第一學段的學生年齡相對較小，主要以具體形象思維為思考方式，要掌握建模的方法困難比較大，因此，教師要引導他們經歷現實生活情境，在情境中抽象出一般的學習規律，總結出一些數學結構，也就是數學建模；第二學段的學生處于從具體形象思維逐漸過渡到抽象邏輯思維的關鍵期，已初步具備抽象—概括的思維能力，但是仍以具體形象思維為主，以抽象邏輯思維為輔，故在教學中應使學生經歷一些具體的生活情境，讓他們自己發現問題，通過獨立思考、合作交流，最終總結出一般的數學模式，如路程、速度、時間的關系式。結合學段教學要求以及小學生的心理發展特點，筆者總結了以下幾種建構數學模型的策略。

（一）創設問題情境，激發學生學習數學建模的興趣

問題作為數學建模教學的載體，其設計合理與否直接影響著學生對數學建模情感的激發與維持。在數學建模教學中，教師首先需要思考所設計的問題是否有趣，能否讓學生具有親切感，能否吸引學生。有趣的、貼近生活的問題不僅容易激發學生學習數學的好奇心，吸引其進一步思考和解決問題，還有助于學生理解問題。因此，教師要為學生創設貼近生活以及學生熟悉的問題情境，激發他們學習的興趣和探索的熱情。

例如，“利息=本金×利率×時間”這一數學結構是小學數學六年級上冊的一個學習內容，結合第二學段數學建模教學對學生的要求以及學生的心理特點，教師在教學中可以這樣做：首先，為學生提供“幫助媽媽選擇銀行存款項目”這一具體生活情境，激發學生的學習興趣和興奮點；其次，教師通過給出不同類型存款方式的利率，鼓勵學生為媽媽選擇一項適合自家理財計劃的存款項目，讓學生身臨其境，感知不同類型存款方式利率的變化、利息的變化，以及如何滿足自家生活開支與理財需求；最后，教師導出“利息”的模型，幫助學生理解利息這一模型的背景及用途。將數學課本中的知識與生活中的具體實例結合在一起，學生可以在體驗中感知和體會數學與生活的關系及作用。

（二）積累表象，培育建構數學模型基礎

數學建模的前提就是學生的頭腦中要有與原認知相關聯的知識。這需要教師為學生創設一個良好的學習情境，刺激學生的感官，使其對所接觸的生活情境形成一定的感知，進行表象的積累，并不斷鍛煉思維敏感性，進而在熟能生巧的感知中自覺找到連接點，為建立數學模型奠定基礎。當然，學生學會建構數學模型，離不開先行組織者的作用，因此，教師要善于應用先行組織者的教育真諦，幫助學生理解新學習的知識與已學知識之間的聯系，使學生能夠快速掌握新知識。

例如，認識平面圖形“圓”，教師引導學生建構不同的模型來認識圓，能夠使學生在頭腦中建立不同的關于“圓”的表象，進而抽象概括出不同模型的連接點，加深對“圓”基本特征的認識。再如，學習“編號”模型，由于學生在生活中對于郵政編碼、學號、飯店房間號等具有一定的了解，教師可以通過對有關編碼中數字含義的解釋，幫助學生構建不同的關于“編號”的表象，在對各種編號的感知過程中建立數與現實生活之間的聯系，引導學生運用數來描述事物的某些特征，進一步體會數在日常生活中的作用。

（三）抽象出生活問題的本質，初步建構數學模型

數學源于生活，在生活中抽象出數學學習的本質，是建構數學模型的有效途徑。具體的生活情境為學生在頭腦中建構數學模型的表象提供了可能，而真正使數學與生活相結合，通過數學模型解決生活問題，學生需要通過現象看到本質，總結出事物的共性。

例如，學習“軸對稱圖形”這一內容，學生已有的生活經驗中常常會碰到有關軸對稱的圖形或圖標、建筑或其他事物，如奧運五環、天安門、蝴蝶等。如果教師僅僅以具體實物告訴學生什么是軸對稱圖形，那么就如心理學中的“魚牛圖”定理一般，由于學生的認知不同，在頭腦中呈現出來的關于“軸對稱圖形”的知識也就不盡相同或不夠全面。因此，教師可以通過出示相關圖片或組織學生分組收集日常生活中看到的圖形，引導他們在對具體事物發現和尋找過程中逐漸抽象出其內涵，進而認識到軸對稱圖形的基本特征——圖形沿著對稱軸折疊能夠互相重合。這樣，學生不僅能夠掌握對稱軸的畫法與簡單軸對稱圖形的補全，還能在這些操作活動中豐富和積累數學活動經驗。

（四）巧妙使用數學教材，擴展數學模型的應用范圍

數學教材作為數學教學活動的核心，是連接課程與教學的橋梁，是師生之間交流互動的重要媒介。各版本數學教材依據《標準》在“教材編寫建議”中提出的“體現‘知識背景—建立模型—求解驗證的過程”這一理念與要求，對教材內容進行了有效編排，以問題為導向，重視對數學建模思想的滲透以及數學模型的建構。因而在教學中，教師要結合教材內容尋找并提煉相關的數學建模問題，以一個數學模型為依托，通過設計不同的問題情境，引導學生在解決問題過程中認清事物的本質，學會靈活處理各種問題并進行有效的遷移。

例如，六年級數學教材中的“植樹”模型，教師可以結合教材內容設計出各種不同的問題，幫助學生理解“植樹”模型的各種情況，如對于兩端都栽樹的棵樹的數學模型，可以以學生熟悉的“手”出發，引導學生理解手指與間隔的關系，同時結合展示“等距的燈籠”“排列整齊的杉樹”的畫面理解“等距”“間隔”“間距”等概念，然后組織學生在動手實踐中建構出模型為“間隔數+1”。小學生的思維以具體形象思維為主、抽象邏輯思維為輔，僅僅教授一種數學模型，他們未必會拓展延伸。因此，在兩頭都栽樹的基礎上，教師可以引導學生繼續探尋樹與間隔的關系，將“植樹”模型進一步擴展為兩端都不栽樹的情況，其數學模型為“間隔數-1”，僅一端栽樹的情況，其數學模型為“間隔數”，并在此基礎上進一步引導學生觀察循環植樹與僅一端植樹之間的關系，啟發學生探尋出其數學模型也為“間隔數”。通過參與探究一系列數學活動實踐，學生對各種不同的“植樹”數學模型有了真正的認識和理解。以教材為依托，教師還可以結合學生熟悉的生活情境，設計以下問題：圍棋盤最外層一共可以擺多少顆棋子？在團體操表演中，四年級學生排成方陣，最外層每邊站12人，最外層一共有多少名學生？進一步擴展其應用范圍，學生通過對一系列層層遞進的問題鏈的學習，做到舉一反三，從而真正理解數學知識，提升運用數學知識解決實際問題的能力。

參考文獻：

[1][5][7]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012：3-4.

[2]陳淑娟.淺談小學數學建模[J].讀與寫，2011（5）：161.

[3]王亞輝.數學方法論[M].北京：北京出版社，2007：38.

[4]李明振.數學建模認知研究[M].南京：江蘇教育出版社，2013：3.

[6]周燕.小學數學教學中數學建模思想的融入[D].上海師范大學，2013.

（作者系南京師范大學小學教育研究所所長，教授、博士生導師，主要從事課程與教學論研究。）

（責編 歐孔群）