一道大學物理競賽試題解析

嚴非男 陳俊

摘要：對一道有關質點運動規律的物理競賽題目進行了解析，突出了物理量的矢量性和分量形式，強調了微積分方法在大學物理中的應用，旨在啟發學生規范解題。

關鍵詞：大學物理；競賽試題；微積分

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）02-0180-02

在2013年上海理工大學大學物理競賽中，選取了一道試題，題意如下：已知空間同時存在均勻電場（電場強度為E），均勻磁場（磁感應強度為B）和的重力場（重力加速度為g），且三者方向相互垂直。一質量為m、帶正電荷q的質點在此空間運動，保持速度的大小在運動過程中不變。（1）說明此質點作何種運動（無須求出運動的軌跡方程）。（2）若電場和磁場在某時刻突然同時消失，并且將此時（即電磁場剛要消失時）的動能稱為初始動能，那么，已知該質點在此后的運動過程中的動能最小值為其初始動能的一半，試求在電磁場剛要消失時，質點速度在三個場方向的分量。

當時提供的參考解答如下：

（1）如圖1所示，建立直角坐標Oxyz，其中電場方向沿著Ox軸，磁場方向沿著Oy軸，而Oz軸與重力方向相反。根據洛侖茲力公式 =q × [1]可知，磁場對質點的作用力垂直于磁場方向，位于Oxz平面內；另外，重力方向向下，電場力方向沿著x軸正向，因此在y軸方向質點不受力，由此可知質點沿y方向的分速度（包括大小和方向）不變；依題意，質點速度的大小在運動中是恒定的，故質點在Oxz平面內的分速度大小也一定是恒定不變的；其次，質點速度大小保持不變，意味著合力做功為零，而洛侖茲力對質點不做功，因此，電場力和重力對質點所做的功也為零，由此可推斷質點在Oxz平面內的分速度垂直于電場力和重力的合力，而電場力和重力的合力的方向在運動中是不變的，故此分速度的方向保持不變。綜上所述，質點速度的方向保持不變的，因此質點在給定的三個場中做勻速直線運動，其軌跡在Oxz平面內且垂直于電場力和重力的合力。

（2）設電場和磁場都存在時質點速度大小為v0，題中所要求的速度在三個場方向的分量分別用v0x、v0y和v0z表示。根據問題（1）中的分析，質點作勻速直線運動，這意味著質點所受合力F等于0。將此合力也分解為三個分量Fx、Fy和Fz，則有

F =qE-qv B=0，得v = （1）

F =0，F =-mg+qv B=0，得v = ，v =v -v -v （2）

電場和磁場同時消失后，則粒子僅在重力作用下做拋體運動，因此任意時刻t時質點速度為

v =v ，v =v ，v =v -gt （3）

顯然，當v =0時，粒子的動能最小，為E = m

（v +v ），依題意E = （ mv ），因此有v =2（v +

v ），結合（1）和（2），得

v = （4）

該題也是第25屆全國中學生奧林匹克物理競賽預賽試題[2]。上述解答中，問題（1）是通過說明性的論證來說明質點做勻速直線運動的，比較適合高中學生。而作為大學物理競賽題目，則應更突出學生對質點運動規范解題方法的應用和掌握，即從定義式和基本定理出發，突出物理量的矢量性和分量形式，突出微積分方法的應用，以利解決更復雜的問題。這也是大學物理教學中的重點和難點，因此，本文從這個角度，用解析的方式來解答這個問題，這對于學生用矢量和微積分方法規范解題不失為一個好的練習。

根據圖1所示的電場、磁場和重力場的方向假設，以及電場力和洛倫茲力公式，由牛頓第二定律，可列出質點動力學方程

q ×B +qE -mg =m =m （5）

在圖1所示的直角坐標系下，分解為分量形式

qE-qBv =m （6）

m =0 （7）

m =qBv -mg （8）

由式（6）和（8）得

m =-qB =-qB ，m =qB =qB ，

整理得 + = ， + =

求解上述微分方程[3]，可得

v = +A cos（ t+φ ），v = +A cos（ t+φ ） （9）

根據題意，質點速度大小保持不變，即v +v +v =常數，由式（7）可知v =常數，因此v +v =常數，根據式（9），必有A =A =0，即v = =常數，v = =常數。由于v ，v ，v 均為常數，所以質點作勻速直線運動。

參考文獻：

[1]袁艷紅.大學物理學（下）[M].北京：清華大學出版社，2010：80.

[2]第25屆全國中學生物理競賽預賽試題及解答[J].物理教學，2008，30（12）：34-40.

[3]朱健民，李建平.高等數學（上）[M].北京：高等教育出版社，2007：423.