非對稱層合梁瞬態響應回傳射線矩陣法解

第一作者繆馥星女，博士，碩士生導師，1980年2月生

郵箱：aifxmiao@gmail.com

非對稱層合梁瞬態響應回傳射線矩陣法解

繆馥星1，孫國鈞2

(1.寧波大學機械工程與力學學院，浙江寧波315211； 2.上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院，上海200240)

摘要：用回傳射線矩陣法分析計及一階剪切變形效應的層合復合材料梁瞬態動力響應；給出速度瞬態響應的回傳射線矩陣法計算公式；計算分析軸向-彎曲-剪切耦合效應對層合梁瞬態動力響應影響。結果表明，回傳射線矩陣法可求解計及一階剪切變形效應時層合梁瞬態動力響應，且與有限元法解一致；橫向(軸向)加載可引起明顯的軸向(橫向)響應，隨鋪層角增大軸向-彎曲-剪切耦合效應增加，沿不同方向加載下軸向、橫向速度響應幅值明顯增加。

關鍵詞：一階剪切變形效應；軸向-彎曲-剪切耦合效應；瞬態動力響應；回傳射線矩陣法；層合梁

基金項目：國家自然科學青年基金(11302109)；爆炸科學與技術國家重點實驗室開放基金(KFJJ13-7M)；教育部博士點基金新教師類(20133305120001)；浙江省教育廳項目(Y201327004)；寧波市自然科學基金(2013A610052)；浙江省重中之重學科項目(zj1221)

收稿日期：2014-06-03修改稿收到日期：2014-09-25

中圖分類號:O.347.4

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.001

Abstract:The method of reverberation-ray matrix (MRRM) was extended to the transient dynamic response analysis of laminated composite beams based on the first shear deformation theory (FSDT). A theoretical model of laminated composite beam based on the MRRM and first shear deformation theory was established. The velocity responses of a laminated composite cantilever beam under smoothed triangular pulse force load were investigated. The results show their good agreement with those obtained by finite element method (FEM). The effect of ply-stacking sequence on transient dynamic response was also illustrated. It is concluded that the MRRM can solve accurately the dynamic response of laminated composite beams. The axial-bending-shear coupling effects in asymmetrically laminated beams were analyzed by the MRRM. It is found that the axial (transverse) load can cause transverse (axial) dynamic response with the increase of the axial-bending-shear coupling coefficient and the amplitude of the coupled response also increases with the increase of coupling coefficient apparently.

Transient dynamic response analysis of asymmetric laminated composite beam by using the reverberation-ray matrix method

MIAOFu-xing1,SUNGuo-jun2(1. Department of Mechanical Engineering and Mechanics Science, Ningbo University, Ningbo 315211, China；2. Department of Engineering Mechanics, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China)

Key words:first-order shear deformation effect; axial-bending-shear coupling effect; transient dynamic response; reverberation-ray matrix method; laminated composite beam

復合材料懸臂構件大量用于轉子系統、嵌入有微型傳動裝置、傳感器及電子器件智能復合材料裝置。對各向異性梁及結構而言，因其拉伸模量與橫向剪切模量之比較高，剪切效應明顯存在，橫向剪切變形不可忽略；另外，鋪層順序也會改變其行為，當鋪層關于中面非對稱時軸向-彎曲-剪切耦合效應明顯存在。因此，用經典層合梁理論 (CLBT)[1]進行瞬態動力響應分析不夠精確，尤其高階頻率下[2-3]。

計及剪切變形研究成果較多，主要以有限元法分析為主。Chen等[4]用有限元法分析考慮剪切變形時層合梁中自由振動頻率。計及層合復合材料梁一階剪切變形效應及慣性矩時，Chandrashekhara等[5]計算分析剪切變形影響依賴梁的長細比(l/h)表明，對細梁(l/h>100)，考慮一階剪切變形及旋轉矩影響時動力響應與經典層合梁理論結果一致；Abramovich等[6-7]對基于Timoshenko梁方程的對稱層合梁考慮軸向、橫向位移、剪切變形及慣性矩影響，分析認為耦合效應在復合材料結構動力分析中不可忽略，并進一步討論非對稱鋪層復合材料梁中的耦合效應。Mahapatra等[8]用譜單元法分析探討層合梁中軸向-彎曲-剪切耦合效應對其波傳播影響。然而，無論有限元法或譜單元法，在求解系統矩陣方程時均存在奇異性問題。Pao等[9-11]的回傳射線矩陣分析法用Neumann級數展開，能有效消除矩陣方程求解中的奇異性問題，且已用實驗證明能精確計算框架結構的瞬態動力響應。繆馥星等[12-14]已將此法擴展到基于經典層合梁理論的層合復合材料梁及框架瞬態動力響應分析。本文用此法分析計及一階剪切變形效應的層合復合材料梁瞬態動力響應。

基于一階剪切變形理論(First-order Shear Deformation Theory, FSDT)建立層合復合材料梁瞬態動力響應的回傳射線矩陣分析方法，分析非對稱層合復合材料梁在沖擊載荷作用下的速度瞬態響應，建立層合復合材料梁的散射、回傳射線矩陣；計算光滑三角脈沖力作用下懸臂梁速度響應，并用文獻[8]有限元結果進行驗證；通過計算不同鋪層角的層合懸臂梁在半正弦波力脈沖下的速度響應，分析梁中軸向-彎曲-剪切耦合效應及長細比l/h=100懸臂梁在懸壁端沿軸向、橫向分別施加半正弦脈沖力時速度響應，并與經典層合梁理論的軸向、橫向速度瞬態響應分析對比。

1理論分析

1.1控制方程

對圖1層合復合材料梁，坐標系選擇及標記方式同文獻[8]。設層合梁每層均關于梁材料主軸正交各向異性，據一階剪切變形層合梁理論，層合梁軸向、橫向位移場可寫為

(1)

線性應變為

(2)

式中：U，W分別為復合材料纖維層任一點處軸向、橫向位移；u0，w，z分別為x-y-z坐標系下沿中性面軸向、橫向位移及z向坐標值；〈·〉,x為x偏微分。

設層合梁共有n層，第k層厚度用hk(k=1,2,…,n)表示，則層合梁中第k纖維層向本構關系為

(3)

聯立式(2)、(3)得

(4)

(5)

圖1　層合梁單元 Fig.1 Laminated composite beam element

本文主要分析平面應變假設情形。據Hamilton原理，計及一階剪切變形層合梁頻域內控制微分方程為

(6)

式中：A11,B11,D11,A55為剛度系數；I0,I1,I2為慣性矩項相系數。

頻域內軸力、剪力、彎矩可表示為

(7)

與剛度系數有關的軸向-彎曲耦合因子r與材料非對稱性相關的軸向-彎曲耦合因子s2及彎曲-剪切耦合因子s1分別為

(8)

頻域內非耦合軸向波、彎曲波、剪切波波數分別為

(9)

(10)

式中：ca,cb，cs為軸向波、彎曲波、剪切波波速。

1.2一階剪切變形層合梁回傳射線矩陣法公式

(11)

(12)

顯然，αj，βj為剛度系數、波數及頻率的函數。

聯立式(7)、(11)，軸力、剪力、彎矩可寫為

(13)

式中：Sij(i=1,2,3,j=1,2,…,6, )見文獻[16]。

層合材料懸臂梁見圖2，固定端頻域內位移為

(14)

圖2　層合懸臂梁與局部坐標系示意圖 Fig.2 The sketch of lanminated composite beam and its local coordinate

(15)

將每個節點方程組裝后可得整個結構的控制方程，推導求解后獲得出射波波幅矢量，表示為

{d(ω)}=[I-R(ω)]-1{s(ω)}

(16)

式中：[R(ω)]為一階剪切變形層合復合材料梁回傳射線矩陣；s(ω)為源矢量。

將{I-R(ω)}-1展開成Neumann級數形式為

{I-R}-1=I+R+R2+…+Rn+…

(17)

求出整體系的出射波矢量g0gggggg及入射波矢量{a}后代入控制方程及內力方程，可得頻域內位移、內力等矢量；進而求得層合梁相關物理量的瞬態響應。再用Fourier逆變換獲得其在時域內響應。懸臂梁任意位置處橫向加載時懸臂端頻域軸向速度與橫向速度響應分別為

(18)

(19)

2算例

2.1層合懸臂梁速度響應

為檢驗考慮一階剪切變形效應層合梁瞬態動力響應分析的回傳射線矩陣法理論，以AS/3501-6石墨-環氧纖維層合復合材料懸臂梁為例,材料特性為：E1= 144.48 GPa，E2=9.632GPa，G12=4.128GPa，ν12=0.3，ρ=1 389 kg/m3；梁長l=1.0 m,度b=0.01m,厚h=0.01 m。選時間單位t0=13.385 80 μs，長度單位l0=0.1 m。則層合梁無量綱化總厚度、寬度均為0.1，長度為10。梁長細比l/h=100，計算非對稱鋪層[05/905](軸向-彎曲-剪切耦合因子r=0.757,s1=3.338×10-4)。將整個層合梁視為具有2個節點、2個回傳射線矩陣單元、在懸臂端分別沿軸向、橫向施加光滑三角脈沖荷載，見圖3，其中嵌套圖為頻譜圖。懸臂端軸向、橫向加載時回傳射線矩陣法與有限元法速度瞬態響應比較見圖4。由圖4看出，回傳射線矩陣法(MRRM)軸向、橫向速度瞬態響應與有限元法吻合良好。

圖3 光滑三角力脈沖示意圖Fig.3Impactloadhistoryofthesmoothedtriangularforcepulse.Frequencyspectrumofloadisshownintheinset圖4 一階剪切層合懸臂梁在光滑三角脈沖力作用下響應比較Fig.4ComparisonofFSDTlaminacompositecantileverbeambyMRRMandFEM,undersmoothedtriangularforcepulse

圖5　回傳射線矩陣法懸臂端分別在CLBT及FSDT下響應比較 Fig.5 Comparison of lamina cantilever plate beam predicted respectively based on CLBT and FSDT by MRRM,under semi-sin force pulse

圖5為平面應變假設下長細比l/h=100懸臂梁在懸臂端沿軸向、橫向分別施加半正弦脈沖力時，分別在經典層合梁理論與一階剪切變形理論下回傳射線矩陣法兩向速度響應比較。

2.2軸向-彎曲-剪切耦合效應

為進一步分析軸向-彎曲-剪切耦合效應，計算半正弦波力脈沖作用情形。以T300/5208材料層合懸臂梁為例，材料特性見文獻[16]。選三種鋪層[010]、[03/±304/453]、[05/905]，分別在平面應變、應力假設下軸向-彎曲耦合因子見表1。3種鋪層下軸向波波速分別為10 659.83 m/s、8 488.68 m/s、7 749.14 m/s。在懸臂端分別沿軸向、橫向施加半正弦波力脈沖，所得懸臂梁軸向、耦合速度瞬態響應及橫向速度瞬態響應分別見圖6。

圖6　一階剪切變形層合懸臂梁懸臂端速度瞬態響應 Fig.6 Lamina cantilever plate beam based on FSDT at the cantilever tip due to axial and transverse tip load of semi-sin force pulse, respectively

3結果分析

由圖4看出，計及一階剪切變形效應時，層合復合材料懸臂梁橫向速度響應結果與有限元法一致，尤其軸向速度在響應初期幾乎完全一致。一次反射后回傳射線矩陣法幅值結果大于有限元法。由此，回傳射線矩陣法亦可用于預測一階剪切變形層合復合材料梁的瞬態動力響應。

由圖5看出，分別在CLBT及FSDT下的軸向速度響應、耦合速度瞬態響應幾乎完全一致，與理論上梁的長細比較大結論相符合；而橫向速度瞬態響應初期完全一致，速度振蕩現象在FSDT下出現較晚。反應出剪切變形對橫向速度瞬態響應影響較大，計及剪切變形與否的橫向速度瞬態響應必有差別。即不同理論對層合復合材料梁瞬態動力響應預測亦不同。

表1　T300/5208三種鋪層軸向-彎曲-剪切耦合因子

由圖6看出，①隨鋪層角增大、軸向-彎曲-剪切耦合因子增加，不同方向加載下軸向、橫向速度響應幅值均增加。對端部，力脈沖作用時產生明顯響應；當波傳播到懸臂端時則發生反射、散射。此時端部質點仍有速度響應，加之反射波引起的響應，端部響應幅值較初始響應會略有增加；但隨多次往復反射，外激勵撤消后短時間內響應將趨于動態平衡，幅值不再增加。另外，速度反向時間增長，尤其軸向加載的速度響應，特性更明顯。此因軸向波速隨軸向-彎曲-剪切耦合因子增加明顯減小，即軸向波在梁中傳播所需時間增加，致使端點處速度反射時間延長。②由圖6(b)知，當軸向-彎曲-剪切耦合因子明顯存在時，軸向(橫向)加載可引起明顯的橫向(軸向)速度響應，且耦合因子越大響應幅值越大。③由圖6 (c)知，響應早期，橫向加載下速度響應隨耦合因子增加響應幅值明顯增加，但約0.9 ms后響應幅值增加較少。此因相同頻率下隨軸向-彎曲-剪切耦合因子增加彎曲波速增加較少所致。④相同耦合因子下橫向加載的速度響應幅值較軸向約大一個量級。因彎曲波、剪切波的彌散性引起，在響應時間內軸向波速遠大于彎曲波速。⑤對不同力脈沖，在軸向加載下速度響應與橫向速度響應均明顯不同，橫向加載的軸向速度響應亦不同，但其橫向速度響應較類似。此因低頻的彎曲波速遠小于軸向波速，軸向波較彎曲波對外激勵更敏感。

4結論

(1)本文用回傳射線矩陣法分析計及一階剪切變形效應的層合復合材料梁瞬態動力響應。建立基于一階剪切變形理論的回傳射線矩陣法瞬態動力響應計算公式。用Neumann級數展開法有效解決層合復合材料梁瞬態動力響應的頻域矩陣方程求解中奇異性問題。

(2)層合懸臂梁速度瞬態動力響應計算結果與有限元法一致。通過分析軸向-彎曲-剪切耦合效應知，橫向(軸向)加載可引起明顯的軸向(橫向)響應，鋪層角增大軸向-彎曲-剪切耦合效應增加，沿不同方向加載的軸向、橫向速度響應幅值均增加。

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