基于相移陷波器的磁軸承不平衡振動(dòng)全頻自適應(yīng)控制

第一作者崔培玲女，博士，副教授，1975年4月生

基于相移陷波器的磁軸承不平衡振動(dòng)全頻自適應(yīng)控制

崔培玲1,2，趙光再1,2，房建成1,2，李海濤1,2

(1. 北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京100191； 2. 慣性技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100191)

摘要：為全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)消除磁懸浮轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量產(chǎn)生的不平衡振動(dòng)力，提出基于相移陷波器的不平衡振動(dòng)全頻自適應(yīng)控制方法。直接以構(gòu)造的軸承力作為相移帶通濾波器輸入，將濾波器輸出反饋至控制系統(tǒng)構(gòu)成相移陷波器，達(dá)到消除振動(dòng)力目的。該過(guò)程無(wú)需考慮功放低通特性對(duì)同頻成分影響；通過(guò)對(duì)系統(tǒng)靈敏度函數(shù)理論分析，在不同轉(zhuǎn)速下自適應(yīng)調(diào)節(jié)相移角，實(shí)現(xiàn)全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)系統(tǒng)穩(wěn)定。結(jié)果表明，該方法能在全頻范圍內(nèi)有效地消除同頻軸承力。

關(guān)鍵詞：磁懸浮轉(zhuǎn)子；不平衡振動(dòng)；相移陷波器；全頻

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然基金(61121003, 61203112)；國(guó)家民用航天預(yù)研項(xiàng)目

收稿日期：2014-04-18修改稿收到日期：2014-09-16

中圖分類(lèi)號(hào):TH133

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.004

Abstract:The mass unbalance of high-speed magnetically suspended rotor causes unbalance force, which induces synchronous vibration. To suppress the vibration effectively within the operating speed range, a method based on a phase-shift notch filter was proposed. The control strategy of the method is that the magnetic bearing force was calculated and taken as the input of the phase-shift band-pass filter and the output of the filter was fed back to the original system, in which the low-pass characteristic of power amplifier doesn’t need to be considered. Meanwhile, based on the theoretical analysis on the sensitivity function of the overall control system, a stable system in the rotating speed range was achieved based on the adaptive adjustment of phase shift in the band-pass filter with respect to rotor speed. The experimental results show the effectiveness of the proposed approach, which can reduce the synchronous magnetic bearing force within the whole frequency range.

Adaptive control of unbalance vibration for magnetic bearings based on phase-shift notch filter within the whole frequency range

CUIPei-ling1,2,ZHAOGuang-zai1,2,FANGJian-cheng1,2,LIHai-tao1,2(1. School of Instrumentation Science and Optoelectronics Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China；2. Science and Technology on Inertial Laboratory, Beijing 100191, China)

Key words:magnetically suspended rotor; unbalance vibration; phase-shift notch filter; whole frequency range

磁軸承作為無(wú)接觸支承結(jié)構(gòu)，具有無(wú)摩擦、無(wú)需潤(rùn)滑、支承剛度主動(dòng)可控等特點(diǎn)[1-2]在高速電機(jī)、分子泵及航天器姿態(tài)控制等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[3-5]。磁懸浮轉(zhuǎn)子因受限加工精度存在殘余不平衡質(zhì)量在高速旋轉(zhuǎn)下產(chǎn)生的不平衡力通過(guò)基座傳遞到外部機(jī)構(gòu)易引起振動(dòng)、噪聲。利用磁軸承主動(dòng)可控特點(diǎn)可對(duì)該振動(dòng)力進(jìn)行消除，實(shí)現(xiàn)零同頻振動(dòng)控制。

消除磁懸浮轉(zhuǎn)子振動(dòng)力已有諸多研究，主要有兩種實(shí)現(xiàn)方式：①以轉(zhuǎn)子慣性主軸為控制目標(biāo)，使轉(zhuǎn)子繞慣性主軸轉(zhuǎn)動(dòng)，消除不平衡振動(dòng)力；②直接以同頻振動(dòng)力或力矩為目標(biāo)，通過(guò)消除同頻力或力矩實(shí)現(xiàn)。第一種需辨識(shí)出轉(zhuǎn)子慣性軸相對(duì)參考坐標(biāo)系位置[6]，抑制效果主要取決于慣性主軸位置的辨識(shí)精度。不平衡量較小時(shí)傳感器安裝及檢測(cè)誤差會(huì)使其抑制效果不明顯。第二種通過(guò)在磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制回路中加入算法，消除控制電流、位移中同頻成分。Shi等[7]采用最小均方(Least Mean Square, LMS)算法，通過(guò)產(chǎn)生等增益、反相位的同頻信號(hào)，前饋補(bǔ)償同頻電流，實(shí)現(xiàn)同頻電流剛度力消除，但該方法未考慮位移剛度力產(chǎn)生的振動(dòng)，且因LMS算法步長(zhǎng)固定，無(wú)法兼顧系統(tǒng)穩(wěn)定性及收斂速度要求，僅適用某特定轉(zhuǎn)速范圍。Bi等[8]用重復(fù)學(xué)習(xí)算法通過(guò)自適應(yīng)調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)增益，雖能實(shí)現(xiàn)大轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)對(duì)同頻電流的抑制，但僅消除同頻電流剛度力，未消除同頻位移剛度力，近似零同頻振動(dòng)控制。劉彬等[9]在電流環(huán)中加入同頻位移剛度力補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)同頻振動(dòng)力消除，并在低轉(zhuǎn)速下用高轉(zhuǎn)速辨識(shí)出的轉(zhuǎn)子慣性軸位置消除低轉(zhuǎn)速的同頻振動(dòng)力，達(dá)到整個(gè)工作頻率范圍內(nèi)對(duì)同頻力的有效抑制；但該文獻(xiàn)并未考慮功放的低通特性對(duì)同頻位移剛度力前饋補(bǔ)償效果影響。而轉(zhuǎn)速會(huì)存在檢測(cè)誤差，開(kāi)環(huán)補(bǔ)償?shù)南辔徽`差會(huì)隨時(shí)間逐漸積累，補(bǔ)償效果逐漸降低。針對(duì)功放的低通特性，魏彤等[10]通過(guò)離線測(cè)試獲得磁軸承功放參數(shù)，在恒定工作轉(zhuǎn)速下對(duì)位移剛度力前饋補(bǔ)償中功放導(dǎo)致的同頻成分幅值衰減及相位滯后進(jìn)行補(bǔ)償。而功放幅值、相位隨轉(zhuǎn)速變化，且隨溫度等環(huán)境影響產(chǎn)生系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)，在全轉(zhuǎn)速下采用功放離線模型難以精確補(bǔ)償因同頻位移剛度力產(chǎn)生的振動(dòng)[11]。

對(duì)此，本文提出基于相移陷波器的磁軸承不平衡振動(dòng)全頻自適應(yīng)控制方法。直接以同頻振動(dòng)力為控制目標(biāo)，將構(gòu)造的軸承力輸入至相移帶通濾波器，該濾波器輸出反饋至原控制系統(tǒng)電流環(huán)構(gòu)成相移陷波器，其中相移陷波器為對(duì)傳統(tǒng)陷波器的改進(jìn)。通過(guò)在傳統(tǒng)陷波器中引入相移角對(duì)定義系統(tǒng)靈敏度函數(shù)相位進(jìn)行有效補(bǔ)償，可解決傳統(tǒng)陷波器影響系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題。該陷波器中包含功放環(huán)節(jié)，能對(duì)功放低通特性進(jìn)行自適應(yīng)補(bǔ)償，且無(wú)需考慮功放對(duì)同頻成分影響，達(dá)到有效消除同頻振動(dòng)力目的，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的有效性。

1含不平衡質(zhì)量的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

磁懸浮轉(zhuǎn)子模型(文獻(xiàn)[8])見(jiàn)圖 1。設(shè)轉(zhuǎn)子中心面為Π，徑向磁軸承電磁鐵A、B中心面分別為Π1、Π2。A、B的定子中心間連線與Π交于N，轉(zhuǎn)子幾何軸與Π、Π1、Π2分別交于O、O1、O2，轉(zhuǎn)子慣性主軸與Π、Π1、Π2分別交于C、C1、C2。在Π內(nèi)，以N為原點(diǎn)建立慣性坐標(biāo)系NXY，以O(shè)為原點(diǎn)建立以轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度Ω轉(zhuǎn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系Oεη，見(jiàn)圖 2。

圖1　磁懸浮轉(zhuǎn)子示意圖 Fig.1 The diagram of magnetically suspended rotor

圖2　坐標(biāo)系示意圖 Fig.2 The coordinate diagram

設(shè)OC、O1C1、O2C2長(zhǎng)度分別為l、m、n，OC與Oε坐標(biāo)軸夾角為，O1C1、O2C2在Π上投影與Oε坐標(biāo)軸夾角分別為α、β，O1、O2、C1、C2在Π上投影在坐標(biāo)系NXY中的坐標(biāo)分別為(XA,YA)、(XB,YB)、(xA,yA)、(xB,yB)，則有

(1)

(2)

以AX通道為例，徑向磁軸承力FAX在平衡點(diǎn)附近的線性化方程為

FAX=Kh(xAX+ΘAX)+KiiAX[xAX+ΘAX]

(3)

式中：FAX為AX通道徑向軸承力；iAX[xAX+ΘAX]為磁軸承電流；Kh為位移剛度；Ki為電流剛度。

單通道磁軸承控制系統(tǒng)見(jiàn)圖3。該系統(tǒng)由控制器、功放、電磁鐵-轉(zhuǎn)子組成，傳遞函數(shù)分別為Gc(s)、Gw(s)、P(s)。將不平衡質(zhì)量等效為施加于轉(zhuǎn)子位移信號(hào)中的同頻擾動(dòng)信號(hào)d(t)，其拉普拉斯變換為d(s)。

圖3　磁軸承控制系統(tǒng)框圖 Fig.3 The block diagram of magnetic bearing control system

2全頻自適應(yīng)主動(dòng)振動(dòng)控制方法

F(s)=-Kii(s)+KhX(s)=

-KiC(s)[X(s)-Θ(s)]+Kh[X(s)-Θ(s)]

(4)

圖4　位移剛度力補(bǔ)償原理圖 Fig.4 The block diagram of displacement stiffness force compensation

2.1基于相移陷波器的磁軸承不平衡振動(dòng)自適應(yīng)控制原理

圖5　基于相移陷波器的 磁軸承不平衡振動(dòng)抑制原理圖 Fig.5 The block diagram of suppressing unbalance vibration for magnetic bearing based on phase-shift notch filter

為有效解決功放低通特性及傳統(tǒng)陷波器的穩(wěn)定性，提出基于相移陷波器的磁軸承不平衡振全頻自適應(yīng)控制方法。據(jù)式(3)，實(shí)現(xiàn)對(duì)同頻力的抑制需消除電流同頻剛度力Kii[ΘAX]及位移同頻剛度力KhΘAX。通常位移、電流剛度為已知量。本文直接以同頻軸承力為控制目標(biāo)，將構(gòu)造的軸承力F(s)輸入相移帶通濾波器Nf(s)，輸出Kii[ΘAX]+KhΘAX反饋至原控制系統(tǒng)的電流環(huán)構(gòu)成相移陷波器N(s)，見(jiàn)圖 5，其等效原理見(jiàn)圖 6。其中，相移陷波器N(s)為在傳統(tǒng)陷波器基礎(chǔ)上引入相移角，其傳遞函數(shù)為

(5)

據(jù)式(5)得同頻量Kii[ΘAX]+KhΘAX經(jīng)陷波器N(s)后獲得有效抑制，達(dá)到消除同頻振動(dòng)力目的。由于陷波器N(s)中含功放，對(duì)功放低通特性進(jìn)行自適應(yīng)補(bǔ)償，故該過(guò)程無(wú)需考慮功放對(duì)同頻成分影響。以不平衡量d(s)為輸入、軸承力F(s)為輸出，傳遞函數(shù)為

(6)

圖6　磁軸承不平衡振動(dòng)抑制等效原理圖 Fig.6 The equivalent block diagram of suppressing unbalance vibration

2.2全頻穩(wěn)定性分析

據(jù)式(6)得系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

1+KiGc(s)Gw(s)P(s)-KhP(s)+

εKiNf(s)Gw(s)=0

(7)

式(7)可轉(zhuǎn)化為

(8)

定義靈敏度函數(shù)為

(9)

在原系統(tǒng)穩(wěn)定前提下，S(s)極點(diǎn)均位于左半平面。式(8)可簡(jiǎn)化為

s2+Ω2+ε(scosθ-Ωsinθ)S(s)=0

(10)

由式(10)知，ε=0時(shí)存在s=±jΩ。將ε作為自變量、s為應(yīng)變量，ε→0時(shí)對(duì)ε求導(dǎo)可得在s=±jΩ附近s隨ε的變化趨勢(shì)，即

(11)

滿(mǎn)足式(11)可保證閉環(huán)特征根在左半平面。其中，arg[·]為幅角。式(10)兩邊對(duì)ε求導(dǎo)得

(12)

由式(11)、(12)知，使系統(tǒng)穩(wěn)定，須滿(mǎn)足

-90°

(13)

對(duì)靈敏度函數(shù)S(s)，理論上相位在整個(gè)有效頻率范圍內(nèi)從270°變化到-90°，見(jiàn)圖 7，可見(jiàn)無(wú)法滿(mǎn)足全頻穩(wěn)定要求。不同轉(zhuǎn)速下通過(guò)θ不同取值對(duì)靈敏度函數(shù)S(s)相位進(jìn)行自適應(yīng)補(bǔ)償，使其滿(mǎn)足式(13)。θ隨轉(zhuǎn)速自適應(yīng)調(diào)節(jié)表達(dá)式為

(14)

當(dāng)Ω1，Ω2滿(mǎn)足式(15)時(shí)，式(13)成立，系統(tǒng)在整個(gè)有效頻率范圍內(nèi)是穩(wěn)定的。

(15)

圖7　靈敏度函數(shù)相頻特性曲線圖 Fig.7 Phase-frequency diagram of the sensitivity function

設(shè)存在f1，f2，f3使arg[S(jf1)]=180°，arg[S(jf2)]=90°，arg[S(jf3)]=0°，實(shí)現(xiàn)整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的系統(tǒng)穩(wěn)定。由式(15)得

(16)

對(duì)磁懸浮剛性轉(zhuǎn)子，運(yùn)行轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)小于一階模態(tài)，因此高頻特性的未建模動(dòng)態(tài)不予考慮。實(shí)際模型St(s)與理論模型S(s)關(guān)系可表示為

St(s)=S(s)[1+Δ(s)]

(17)

(18)

(19)

式中：k1=(lgf2-lgf1)/90；k2=(lgf3-lgf2)/90。

(20)

式(16)轉(zhuǎn)化為

(21)

由(21)知，Ω1，Ω2的取值范圍變小，為保證一定穩(wěn)定裕度，取

(22)

系統(tǒng)仿真參數(shù)見(jiàn)表 1。據(jù)表1參數(shù)及對(duì)f1，f2，f3的定義，得f1=8.48 Hz，f2=70 Hz，f3=118 Hz。研究對(duì)象靈敏度函數(shù)不確定性可設(shè)為ρ=0.2，得Ω1=2138 r/min，Ω2=5432 r/min。據(jù)式(14)、(16)，轉(zhuǎn)速為0～2138r/min時(shí)陷波器相移θ=-180°；轉(zhuǎn)速為2138～5432r/min時(shí)θ=-90°；轉(zhuǎn)速為5432～8000 r/min時(shí)θ=0°。ε=1，θ不同取值時(shí)關(guān)于Ω2的主導(dǎo)根軌跡見(jiàn)圖8。由圖8知，θ=-180°、轉(zhuǎn)速為0～2138 r/min時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定；θ=-90°、轉(zhuǎn)速為2138～5432 r/min時(shí)穩(wěn)定；θ=0°、轉(zhuǎn)速為5432～ 8000 r/min時(shí)穩(wěn)定，滿(mǎn)足轉(zhuǎn)子整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍的穩(wěn)定。而ε不影響虛軸穿越點(diǎn)，即不影響臨界穩(wěn)定轉(zhuǎn)速。

表1　仿真參數(shù)

圖8　閉環(huán)系統(tǒng)主導(dǎo)根軌跡圖 Fig.8 Dominant root locus of the closed-loop system

3實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

利用北京航空航天大學(xué)研制的磁懸浮控制力矩陀螺樣機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，見(jiàn)圖 9。磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)用DSP+FPGA控制系統(tǒng)，系統(tǒng)采樣頻率為6.67 kHz。

為驗(yàn)證本文方法實(shí)現(xiàn)全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)不平衡振動(dòng)控制的有效性，在三個(gè)轉(zhuǎn)速階段分別以1200 r/min、3600 r/min、6600 r/min進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。位移及電流信號(hào)以電壓形式輸出，通過(guò)示波器采集，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖10。由于所用實(shí)驗(yàn)裝置無(wú)軸承力傳感器，軸承力由采集的位移、電流按式(3)相加等效而成。圖10(a)軸承力幅值由1.2 N減少到0.25 N，減少79.2%；圖10(b)軸承力幅值由0.75 N減少到0.15 N，減少80%。由圖10(a)、(b)看出，軸承力并非完全收斂于零。因?qū)嶋H系統(tǒng)中傳感器檢測(cè)面不均勻及磁軸承非線性等使軸承力含倍頻成分。由圖10(c)看出，高速時(shí)軸承力幅值本身較小，加入相移陷波器后有一定衰減，但衰減不明顯，因此時(shí)同頻軸承力已非幅值最大振動(dòng)力。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明該方法能在整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)有效減少同頻軸承力，其有效性獲得驗(yàn)證。

圖9　磁懸浮控制力矩陀螺樣機(jī) Fig.9 The experimental setup of magnetically suspended control moment gyro

(a) θ=-180°,轉(zhuǎn)速1200r/min(b) θ=-90°,轉(zhuǎn)速3600r/min(c) θ=0°,轉(zhuǎn)速6600r/min圖10 轉(zhuǎn)子位移、電流及軸承力響應(yīng)圖Fig.10Transientresponseofdisplacement,currentandmagneticbearingforce

4結(jié)論

(1)引入相移帶通濾波器構(gòu)成相移陷波器，據(jù)轉(zhuǎn)速自適應(yīng)補(bǔ)償靈敏度函數(shù)相位，實(shí)現(xiàn)整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)消除振動(dòng)力。且通過(guò)設(shè)置三個(gè)不同相移值能保證一定的穩(wěn)定裕度。

(2)與在零同頻電流基礎(chǔ)上加同頻位移剛度力補(bǔ)償方法相比，本文方法自適應(yīng)補(bǔ)償功放的低通特性，無(wú)需考慮功放對(duì)補(bǔ)償效果影響，可簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)過(guò)程。

(3)利用該方法能消除同頻軸承力，但高速情況下效果不明顯。對(duì)其它頻率成分振動(dòng)力的有效抑制尚待研究。

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