磁懸浮隔振系統非線性動力學建模與仿真

第一作者武倩倩女，博士生，1988年12月生

通信作者劉榮強男，教授，博士生導師，1965年7月生

磁懸浮隔振系統非線性動力學建模與仿真

武倩倩1，陳尚2，陳永強2，岳洪浩1，劉榮強1

(1.哈爾濱工業大學機電工程學院，哈爾濱150001； 2.中國運載火箭技術研究院研究發展中心，北京100076)

摘要：進行適用于空間微環境的磁懸浮六自由度隔振系統動力學研究，設計磁懸浮隔振平臺結構，借助有限元軟件分析振源中隔振平臺定子模態；分析磁懸浮隔振平臺不同擾動力作用下系統耦合非線性特性，建立面向控制的非線性動力學模型；通過仿真研究系統對不同激勵擾動下的動力學響應。該研究為控制算法設計提供理論基礎及依據。

關鍵詞：磁懸浮；微振動；模態分析；動力學建模

基金項目：國家自然科學基金(51475117)；高等學校學科創新引智計劃(B07018)；機器人技術與系統國家重點實驗室(哈爾濱工業大學)自主研究課題(SKLRS201301B)

收稿日期：2014-12-11修改稿收到日期：2015-03-11

中圖分類號:TB535;TP273

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.027

Abstract:A six degrees of freedom maglev vibration isolation system was designed and analysed. The structure of the maglev vibration isolation platform was designed, and the stator of the vibration isolation platform, locating at the vibration source, was analyzed by using finite element software. By analyzing the coupling characteristics of the system under the influences of different disturbing forces, a nonlinear dynamic model for control was established and nonlinear dynamics behaviors of the system were simulated. The results provide a basis for the design of control algorithms.

Nonlinear dynamics modeling and simulation of maglev vibration isolation system

WUQian-qian1,CHENShang2,CHENYong-qiang2,YUEHong-hao1,LIURong-qiang1(1. School of Mechatronics Engineering Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;2. China Academy of Launch Vehicle Technology Research and Development Center, Beijing 100076, China)

Key words:magnetic levitation; micro vibration; modal analysis; dynamics modeling

空間低頻微振動對高分辨率指向精度、精密有效載荷使用及空間站科學實驗結果的準確性影響較大[1-3]。傳統被動隔振方法不能隔離低頻范圍內的振動，需采取主動隔振技術實現低頻微振動有效隔離[4]。磁懸浮隔振技術用于低頻微振動隔離，為材料、流體、燃燒等基礎學科實驗提供理想的微重力環境[5-7]。磁懸浮隔振平臺在超靜平臺、精密制造、精密定位等領域應用廣泛[8-11]。磁懸浮主動隔振原理即利用電、磁產生的懸浮力抵消擾動力達到隔振目的。該原理主要為洛倫茲力原理及電磁力原理。基于洛倫茲力原理，驅動力與電流的關系可近似為線性，大大簡化控制方法；而電磁力原理具有明顯的非線性，影響平臺的穩定性能。因此，本文以空間有效載荷在軌低頻微振動為對象，用洛倫茲力原理實現振動隔離與抑制。

Muller等[12]建立的三自由度主動隔振系統動力學模型，僅描述豎直方向運動；Beadle等[13-14]利用線動量、角動量守恒建立六自由度運動微分方程，用局部剛度及阻尼表示浮子、定子關系Zenga[15]研究主動隔振平臺的動力學模型，卻未考慮線纜影響；Hampton等[16]利用牛頓-歐拉方程建立磁懸浮隔振平臺的六自由度運動微分方程，但動力學模型較復雜，并無針對隔振平臺非線性動力學行為的仿真驗證。任維佳等[17]用相同方法建立定子坐標系下六自由度運動微分方程，但在設計控制算法時需進一步轉化。本文建立慣性坐標系下的六自由度非線性運動微分方程，為平臺非線性特性控制器設計提供理論基礎。

1磁懸浮隔振平臺結構設計及模態分析

磁懸浮隔振平臺包括浮子、定子及由矩形線圈、永磁體組成的作動器等，見圖1。洛倫茲力作動器作為實現隔振的主要單元均具有一個自由度，為實現空間六自由度隔振，配8個作動器共同作用。在外界擾動下定子發生六自由度移動及轉動；帶線圈的浮子通過洛倫茲力作用懸浮于定子上方，因定子與浮子間存在供電電纜與信號線纜，定子的振動通過線纜傳遞給浮子，據測量系統獲得浮子、定子的振動，通過調節線圈電流控制每個作動器輸出的洛侖茲力，消除浮子振動，實現振動隔離。

圖1　磁懸浮隔振平臺結構示意圖(單位：mm) Fig.1 Schematic diagram of maglev vibration isolation platform

為提高隔振平臺結構剛度，減小平臺質量，支撐板采用剛度大、質量小的蜂窩鋁板材料。由于隔振平臺的定子位于擾動源中，定子的基頻需大于隔振頻率范圍，磁懸浮隔振平臺設計頻率為0.1～100 Hz。為驗證定子結構是否滿足要求，建立蜂窩鋁板結構的三維模型，借助有限元軟件分析獲得定子前三階模態，見圖2。

圖2　定子模態分析結果 Fig.2 Modal analysis results of the stator

2六自由度非線性動力學方程建立

利用牛頓歐拉方程推導磁懸浮隔振平臺浮子的六自由度運動微分方程，為建立面向控制的系統動力學模型，研究受擾動的隔振平臺浮子質心絕對加速度水平及浮子與定子的相對位置，獲得關于控制量表達式。浮子在空間慣性坐標系下的位姿實時變化，動力學方程中需含由線纜傳遞、來自定子的間接擾動及浮子所受直接擾動，具有較強的非線性特性。隔振系統空間幾何模型見圖3。

圖3　隔振系統空間幾何模型 Fig.3 Space geometric model of the vibration isolation system

式中：c=cos()，s=sin()，1=θx，2=θy，3=θz。

據小角度假設簡化得

(2)

坐標系間變換關系為

e=TE

(3)

設浮子的質量為m，作用于浮子的外力F包括直接作用于浮子上的外力Fd，線纜產生的繞動力Fu及作動器產生的主動控制力Fc(c=1，…，8)；浮子的總力矩包括直接作用的外力產生的外力矩Md，線纜產生的力矩Mu及作動器產生的主動控制力矩Mc(c=1,…,8)。浮子的運動微分方程可寫為

(4)

據空間向量幾何關系，浮子質心絕對加速度為

(5)

平臺移動方程可寫成

(6)

慣性坐標系下平臺運動的歐拉方程為

(7)

代入狀態空間變量，合并移動方程與轉動方程，得平臺六自由度剛體運動微分方程為

(8)

圖4　作動器布局 Fig.4 Configuration of actuators

圖4(a)為作動器繞浮子坐標系Z軸逆時針布局，為簡化運動微分方程，設各作動器坐標系與浮子坐標系方位一致，即作動器坐標系方位角相對于浮子坐標系為0°。定義作動器基向量為ec=[icjckc]T(c=1,2,…,8)，則作動器坐標系基向量與浮子坐標系基向量間轉換關系可表示為

ec=Tce=e

(9)

作動器產生的力在慣性坐標系中可表示為

(10)

據圖4(b)的作動力分布定義含力方向意義的作動器各力向量為

(11)

基于洛倫茲力原理，作動器產生的力與電流I、磁感應強度B及線圈有效長度L成正比，因磁場的非線性特性，洛倫茲力亦具有非線性特性，每個作動器產生的作動力在數值上可表示為

Fc=BIL

(12)

式(11)中每個作動力均可表示為式(12)形式。記作動力的方向矩陣為

則8個作動器產生作用于浮子的合力在慣性系中表示為

(13)

(14)

rTE-θT(ruiT)～E

(15)

由線纜產生的擾動力可寫為

(16)

(17)

(18)

(19)

作用于浮子的總力、總力矩可表示為

(20)

(21)

將力、力矩表達式寫成含狀態變量的矩陣形式并代入式(8)，得平臺六自由度動力學方程為

(22)

由式(22)知，系數矩陣隨時間變化，已理論上驗證系統的非線性特性。

3浮子在不同激勵下的動力學響應

基于外部環境擾動特性，據磁懸浮隔振平臺的應用場合，研究不同擾動作用下浮子與定子相對位置響應及浮子質心絕對加速度響應為進一步設計合理的控制器提供理論基礎。仿真所需系統參數為：質量m=16 kg，浮子坐標系下線纜安裝點為[-130，-204，38.09](mm)及[130,204,38.09](mm)；外部繞動力作用點為[51.48,59.31,-49.45](mm)；作動器在浮子坐標系中的安裝位置為[-77.4,191.29,32.91] (mm)；[80.2,192.29,33.31](mm)；[191.1,77.79,32.91] (mm)；[192.1,-79.81,33.31] (mm)；[77.4,-190.71, 32.91](mm)；[-80,-191.71,33.31](mm)；[-190,-77.21, 32.91](mm)；[-191,79.81,33.31](mm)；浮子坐標系下對質心的轉動慣量張量、剛度矩陣及阻尼矩陣為

給定子加沿慣性X軸方向幅值2 mg、頻率6 Hz的正弦加速度激勵，所得浮子受正弦激勵擾動的響應見圖5。通過分析可知，系統的響應與質量、剛度、阻尼、固有頻率及激勵頻率有關，因系統耦合非線性作用，移動運動也會引起系統的轉動運動。

給定子加沿慣性X軸方向的階躍加速度激勵y=0(x<0)及y=1(x≥0)，所得浮子受擾動后響應見圖6，可見轉動響應因系統的耦合非線性作用所致。

給浮子加沿浮子坐標系x軸方向階躍加速度激勵y=0(x<0)及y=1(x≥0)，所得浮子受擾動響應見圖7。圖中轉動響應亦由系統的耦合非線性作用引起。

圖6　浮子對作用于定子的階躍激勵響應 Fig.6 Response of the floater to step excitation of the stator

圖7　直接作用于浮子的階躍激勵響應 Fig.7 Response of the floater to step excitation of the stator

通過系統對不同激勵作用下的動力學響應仿真分析知，系統為耦合非線性作用，為抑制浮子運動狀態，需據所得慣性坐標系下定子與浮子間相對位置及絕對加速度設計合理的控制器。

4結論

通過介紹基于洛侖茲力原理的磁懸浮隔振系統，用有限元法分析定子模態，結論如下：

(1)結構模態不在隔振頻率范圍內，滿足微振動隔振需求。基于牛頓歐拉方法建立面向控制的六自由度非線性動力學模型，可研究不同種類擾動力作用下的動力學響應，驗證動力學模型。

(2)據動力學方程所求浮子質心與定子相對位置及浮子絕對加速度，可作為設計合理的控制策略基礎。

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