水下圓柱殼低頻聲輻射特性及有源控制

第一作者丁少虎男，博士，講師，1980年生

通信作者李雙男，副教授，1976年生

水下圓柱殼低頻聲輻射特性及有源控制

丁少虎1,2，陳克安1，李雙3

(1.西北工業大學航海學院， 西安710072； 2.北方民族大學機電工程學院，銀川750021；3.蘇州大學城市軌道交通學院，江蘇蘇州215006)

摘要：利用振動模態及聲輻射模態分析水下有限長圓柱殼低頻模態輻射特性。計算各階周向振動模態對輻射聲功率貢獻；將各階周向模態下軸向振動模態分為奇、偶模態組，分析低頻范圍內振動模態組與聲輻射模態對應關系；以主導聲輻射模態聲功率為目標函數對水下有限長圓柱殼低頻聲輻射進行有源控制。結果表明，低頻范圍內水下簡支圓柱殼受徑向點力激勵時，僅前幾階周向振動模態對輻射聲功率有貢獻；同一周向振動模態下軸向為奇(偶)振動模態組產生的聲功率與具有相同周向階數而軸向為偶(奇)聲輻射模態產生的聲功率對應。通過控制前幾階主導聲輻射模態即可完成對水下有限長殼體低頻輻射噪聲抑制。

關鍵詞：水下圓柱殼；振動模態；聲輻射模態；有源控制

基金項目：國家自然科學基金(51375321);寧夏自然科學基金項目(NZ15103)

收稿日期：2014-07-17修改稿收到日期：2014-09-25

中圖分類號:TB533

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.031

Abstract:The radiation characteristics of a submerged finite cylindrical shell at low frequencies were investigated based on its vibration modes and acoustic radiation modes. The contribution of each circumferential vibration mode to the radiated sound was observed. Then, under a certain circumferential mode, axial vibration modes were divided into an axial odd-mode group and an axial even-mode group, and the correspondance relationships between each vibration mode group and acoustic radiation modes at low frequency were inspected. The results show that at low frequencies, only the first few circumferential vibration modes contribute to the sound power radiated from a submerged finite cylindrical shell excited by radial point forces; under a certain circumferential mode, the sound power radiated by the odd (even) axial vibration modes group corresponds to the acoustic radiation mode with the same circumferential mode and even (odd) axial modes. The sound power radiated from a submerged finite cylindrical shell can be restrained by controlling the sound power of the dominant radiation modes.

Low frequencies radiation characteristics of a submerged cylindrical shell and its active control

DINGShao-hu1,2,CHENKe-an1,LIShuang3(1. School of Marine Science and Technology, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China；2. College of mechatronic engineering, Beifang University of Nationalities, Yinchuan 750021, China；3. School of Urban Rail Transportation, Soochow University, Suzhou 215006, China)

Key words:submerged cylindrical shell; vibration mode; acoustic radiation mode; active control

水下結構噪聲源于殼內部機械設備激勵殼體振動，從而向流體介質輻射噪聲。在控制或降低輻射噪聲前需進行結構振動輻射特性研究。圓柱殼作為潛艇、魚雷及艙段的主要結構形式，對其在流體負載時的聲-振特性進行研究具有重要理論價值及實際意義。對振動輻射低頻噪聲，結構聲有源控制[1](Active Structural Acoustic Control，ASAC)能取得較好效果，關鍵及難點在于次級力源布放及控制策略(目標函數)選取, 即使在實驗室中次級力源布放及優化難度亦相當大[2]，而通過確定結構聲功率的低頻模態特性可為水下結構振-聲響應主、被動控制提供高效手段[3]。

結構振動模態與聲輻射模態分析是研究結構聲輻射兩種不同方法[4]，但結構各階振動模態的聲輻射并非獨立，即相互間存在耦合[5]，致采用振動模態進行結構聲輻射分析困難。自從Borgiotti[6]提出聲輻射模態理論后，此方法很快用于聲功率計算及結構外部聲場特性分析[7-9]。聲輻射模態方法實質為形成一組相互獨立的表面速度分布，對輻射聲功率有貢獻且彼此獨立，因而廣泛用于結構振動聲輻射分析及控制，尤其結構聲有源控制[10-15]。

作為一種表達方式，聲輻射模態并不表示實際振動模態，卻能有效將振動模態集中到一起。因此研究結構聲輻射模態可直接獲得結構振動對聲輻射的貢獻[16]。文獻[9]基于輻射聲功率的二次型表達式，采用Rayleigh積分及數值法對板與加肋板振動聲輻射分別進行振動及聲輻射模態分析研究；文獻[12]通過研究板結構振動模態與聲輻射模態的對應關系給出主導聲輻射模態概念，并用于平板結構聲有源控制。然而，關于模態分析研究大多針對平板結構，對殼類結構研究較少。姜哲[17]針對球形聲源、旋轉體聲源及立方體聲源給出聲輻射模態與聲場分布模態的幾何圖案。和衛平等[18]利用矩陣論對稱向量關系給出空氣中有限長圓柱殼振動模態與聲輻射模態關系，但具體不夠明確，不能確定低頻主導聲輻射模態。

本文利用振動、聲輻射模態兩種方法分析水下圓柱殼低頻模態輻射特性。據水下圓柱殼模態輻射周向解耦特性，計算各階周向模態對輻射聲功率的貢獻；將各階周向模態的軸向振動模態分為奇、偶模態組，利用低頻范圍內振動、聲輻射模態對應關系分析各階周向模態輻射聲功率，通過對比可確定水下圓柱殼聲輻射貢獻最大模態。對有源結構聲控制而言，有助于選擇對輻射聲功率起主要貢獻的聲輻射模態進行控制。通過分析水下圓柱殼體低頻模態輻射特性，可有效設計、選擇需少量誤差傳感器或對傳感器位置不敏感又能提供較大降噪量的目標函數。

1水下有限長彈性圓柱殼聲輻射特性

1.1水下彈性圓柱殼聲輻射理論

有限長圓柱殼結構及坐標系見圖1。圖中深色部分表示剛性障殼，淺色表示彈性殼體。有限長彈性圓柱殼長為L，半徑a，厚度h，兩端簡支在無限長剛性圓柱障殼上，采用柱坐標系，坐標原點位于彈性圓柱殼左端。

圖1　有限長彈性圓柱殼體及坐標系 Fig.1 Baffled finite cylindrical shell and coordinate system

設殼體周圍流體靜止、無粘性，考慮流固聲振耦合下利用模態展開法求解圓柱殼在流體中的運動方程[19]，即

(1)

式中：E為殼體材料楊氏模量；v為泊松比；ρs為材料密度；[LD]為Flugge算子；[I]為單位矩陣；U為圓柱殼體表面位移向量，表達式為

(2)

兩端簡支圓柱殼體結構振型函數可表示為

(3)

將式(2)代入式(1)，利用圓柱殼體模態正交特性，得模態方程為

(4)

本文只考慮圓柱殼受徑向激勵情況，圓柱殼廣義模態激勵力及表面模態聲壓可分別據模態振型函數展開為

(5)

(6)

式中：fr=F0δ(z-z0,θ-θ0)為激勵力，F0，(z0,θ0)分別為徑向點力復幅度及作用位置；εn為Numann因子，n=0時εn=1，n>0時εn=2；Zmpn為有限長圓柱殼輻射阻抗[20]，表示流體引起的軸向振動模態(m，p)間耦合，具體形式為

(7)

式中：ρ0為流體密度；Hn，Hn′分別為n階第一類漢克爾函數及導數。

將式(6)代入式(4)，可求得有限長彈性圓柱殼表面模態位移幅值，從而獲得圓柱殼的輻射聲功率，即

(8)

式中：“*”表示復共軛。

分析式(7)、(8)可知，圓柱殼聲輻射中不同周向振動模態間相互解耦，可對每個周向振動模態單獨求解輻射聲功率。輻射聲功率表達式為

(9)

式中：Wn為對應第n階周向振動模態的輻射聲功率。

1.2周向模態對輻射聲功率貢獻

通過算例研究低頻范圍內各階周向振動模態對水下圓柱殼輻射聲功率貢獻。

設水下圓柱殼長L=1.2 m，半徑a=0.4 m，厚h=0.003 m，密度ρs=7 800 kg/m3，楊氏模量E=2.1×1011N/m2，泊松比v=0.3，材料損耗因子η=0.01；取流體密度ρ0=1 000 kg/m3，水中聲速c0=1 500 m/s。本文中材料參數與此一致，不再贅述。設圓柱殼體受徑向點力激勵，為激起更多振動模態，激勵力在軸向位置盡可能避開模態節線，作用于殼體位置為(0.44 m,0°)，復幅度F0=1 N。前幾階周向振動模態下輻射聲功率見圖2。圖中實線表示殼體總輻射聲功率，計算時圓柱殼軸向模態及周向模態分別取m=1～20及n=0～10；虛線表示第n階周向振動模態下殼體輻射聲功率。由圖2看出，徑向點力激勵下在1 500 Hz以內，除n=3的周向振動模態外，在每個共振頻率處前三階周向模態的每階振動模態對聲功率貢獻接近100%，表明對輻射聲功率作貢獻的主要為前三階周向振動模態組，即n=0～2。n=3時殼體輻射聲功率峰值大多低于總輻射聲功率，即周向振動模態下輻射聲功率對殼體總輻射聲功率貢獻較小。圓柱殼部分振動能量儲存在周向振動模式中不能有效輻射。由于流固聲振耦合作用，此現象更明顯，在中低頻范圍內，隨周向振動模態增加，輻射效率逐漸降低。

圖2　前四階周向振動模態對輻射聲功率貢獻 Fig.2 The contributions to the radiated sound power from first four circumferential vibration modes

由以上分析知，水下圓柱殼受徑向點力激勵在低頻范圍內，隨周向振動模態階數增加輻射聲功率逐漸降低，高階周向振動模態對總輻射聲功率貢獻較小。計算低頻輻射聲功率時僅考慮前幾階周向振動模態即可達到計算精度，大幅縮短計算時間。進行有源控制時可針對少量振動模態，誤差傳感策略亦可只檢測某階或前幾階周向振動模態振動信息。

2水下圓柱殼聲輻射模態

2.1聲輻射模態理論

設有限長彈性圓柱殼兩端簡支在無限長剛性圓柱上，將有限長圓柱殼表面均勻劃分為Ne個面元，每個面元的幾何尺寸遠小于聲波長，各面元面積為ΔS，利用近場方法可得有限長圓柱殼總輻射聲功率

W=VHRV

(10)

式中：V為各面元法向振速組成的Ne階列矢量，可通過有限個結構振動模態疊加獲得，即

(11)

式(10)中R=ΔSRe(Z)/2,Z為Ne×Ne階傳輸阻抗矩陣。設各面元為剛性圓柱的矩形活塞，可推導出Z中第(i,j)元素表達式為

(12)

式中：(a,φi,zi)，(a,φj,zj)分別為柱坐標下第i，j個面元中心坐標。

由聲場互易性知R為對稱矩陣，而輻射聲功率恒為正，故R為正定對稱矩陣，其特征值分解為

R=QTΛQ

(13)

式中：Λ為R的特征值λk(k=1,2,…,N)構成的對角陣；Q為R的特征向量qk構成的矩陣。

輻射聲功率可表示為

(14)

yk=qTkV

(15)

式中：yk為第k階聲輻射模態幅度；qk為基于振速的聲輻射模態形狀；λk為第k階聲輻射模態的輻射效率系數。

由上式看出，各階聲輻射模態間彼此相互獨立，總輻射聲功率等于各階聲輻射模態輻射功率之和。

2.2水下圓柱殼振動模態與聲輻射模態之關系

據圓柱殼聲輻射周向振動模態解耦特性，可單獨計算各階周向振動模態下輻射聲功率。據文獻[19]知

(16)

由式(16)看出，同一周向振動模態下軸向模態序數奇偶性不同的振動模態間也相互解耦。因此，對某周向振動模態下輻射聲功率，可進一步分為軸向奇模態組及偶模態組輻射聲功率。某周向振動模態下輻射聲功率可表示為

Wn=Won+Wen

(17)

分別計算水下圓柱殼受徑向點力激勵各周向模態下軸向奇、偶振動模態組輻射聲功率與前幾階聲輻射模態輻射聲功率。由于聲輻射模態形狀與振動模態形狀有相似之處，均具有某種形式的對稱、反對稱性，因此用qn1n2表示圓柱殼聲輻射模態，其中n1，n2分別為圓柱殼聲輻射模態的軸向半波數及周向波數。

對比不同周向模態下結構振動模態輻射聲功率及各階聲輻射模態聲功率見圖3、圖4。由兩圖看出，低頻時周向模態n=1下軸向為奇數振動模態組(如(1,1),(3,1),(5,1)…)產生的聲功率與(0,1)階聲輻射模態產生的聲功率吻合。隨頻率升高兩者間差值變大，若考慮(2,1)階聲輻射模態產生的聲功率，則兩種模態下的聲功率基本吻合；周向模態n=1、軸向為偶數振動模態組(如(2,1),(4,1),(6,1)…)產生的聲功率低頻時與(1,1)階完全吻合；周向模態n=2下軸向為奇數振動模態組(如(1,2), (3,2),(5,2)…)產生的聲功率低頻時與(0,2)階基本吻合，而軸向為偶數振動模態組(如(2,2),(4,2),(6,2)…)產生的聲功率低頻時與(1,2)階完全吻合。其余模態以此類推。即低頻時某周向振動模態下各階振動模態輻射聲功率可集中到兩階聲輻射模態中，軸向為奇的振動模態組對應周向階數相同、軸向為偶的聲輻射模態，而軸向為偶的振動模態組對應周向階數相同、軸向為奇的聲輻射模態。通過控制兩階聲輻射模態即可達到控制該輻射聲功率。

圖3　n=1時殼體模態組與聲輻射模態產生的聲功率 Fig.3 The sound power of the vibration modes and corresponding radiation modes under the circumferential vibration modes n=1

低頻范圍內聲輻射模態階數增加輻射效率降低。利用式(8)計算彈性圓柱低頻輻射聲功率時，可只取對輻射聲功率貢獻較大的聲輻射模態。本算例中仿真發現，在1 000 Hz范圍內對聲功率產生貢獻的聲輻射模態主要為(0,1)、(1,1)、(0,2)、(1,2)，見圖5。

因低頻范圍內對輻射聲功率的主要貢獻為前幾階聲輻射模態，而據水下圓柱殼結構振動模態及聲輻射模態對應關系知，振動模態周向階數較低，說明在低頻范圍內隨周向振動模態階數增加輻射聲功率逐漸降低，高階周向模態對總輻射聲功率貢獻減小。

圖4 n=2時殼體模態組及聲輻射模態產生的聲功率Fig.4Thesoundpowerofthevibrationmodesandcorrespondingradiationmodesunderthecircumferentialvibrationmodesn=2圖5 聲輻射模態產生的聲功率Fig.5Thesoundpoweroftheradiationmodes

3基于主導聲輻射模態水下圓柱殼有源控制

通過對比振動模態與聲輻射模態可確定水下圓柱殼低頻聲輻射的主導聲輻射模態。由分析知，當有限長圓柱殼浸沒于水中時，對輻射聲功率起主要貢獻的為前幾階聲輻射模態，因而可針對主導聲輻射模態產生的輻射聲功率進行有源控制。

設作用于圓柱殼的初級激振力有Q個，次級控制力有S個，據疊加原理，殼體各面元振動速度表示為

V=Vp+Vc=TpFp+TcFc

(18)

式中：Fp=[Fp1…FpQ]T，Fc=[Fc1…FcS]T分別為初級激振力、次級控制力的復幅度向量；Tp，Tc分別對應初級激振力及次級控制力到殼體位移的傳遞函數，可以由式(4)、(10)獲得。

將式(18)代入式(10)，初級激振力、次級控制力共同作用的輻射聲功率可表示為

W=VHQTΛQV=

(TpFp+TcFc)HQTΛQ(TpFp+TpFp)

(19)

以輻射聲功率最小為目標函數，可求出最優次級力源復強度矢量為

(20)

用算例說明控制主導聲輻射模態產生的聲功率以達到降噪目的。取圓柱殼長L=1.2 m，殼體半徑a=0.4 m，厚h=0.003 m，材料參數同前。雖周向模態n=0的各階振動模態輻射效率最高，對本文結構尺寸，周向n=0下對應的各階模態固有頻率較高，在所需頻率范圍內對輻射聲功率貢獻較小，因此，據結構模態及聲輻射模態對應關系，選前四階聲輻射模態(0,1)、(1,1)、(0,2)、(1,2)產生的輻射聲功率為控制目標，在其最小化下獲得次級最優控制力，并計算水下圓柱殼控制前后輻射聲功率。初級激勵力fp=δ(z-z0)δ(φ-φ0)Fp作用于殼體的(0.44 m,0°)處，復幅度Fp=1 N。次級控制力亦采用單個徑向簡諧點力，作用位置由圓柱殼振動模態分布確定。選軸向與初級力關于殼體軸向中間對稱，周向與初級力相差180°，具體坐標為(0.76 m,180°)。圖6(a)為次級控制力幅度隨頻率關系，圖6(b)、(c)中實線為控制前總聲功率，圖6(b)中虛線為控制后前四階聲輻射模態(0,1)、(1,1)、(0,2)、(1,2)產生的輻射聲功率，圖6(c)虛線為在最優控制力作用下總輻射聲功率。由圖6(a)看出，在所給位置處次級控制力幅度均小于初級力幅度，在圓柱殼共振頻率處兩者幅度接近。由圖6(b)看出，通過以低頻主導聲輻射模態(0,1)、(1,1), (0,2)、(1,2)產生的輻射聲功率控制目標獲得最優控制力，在該力作用下4階聲輻射模態產生的輻射聲功率在所有峰值處均顯著下降。計算的初級激勵力與該次級控制力共同作用下水下殼體低頻總輻射聲功率(圖6(c))，在所需頻率范圍內固有頻率處輻射聲功率顯著降低,在130 Hz以下輻射聲功率稍有溢出。此因在此頻率范圍內，對殼體輻射聲功率器起主要貢獻的(1,0)階聲輻射模態未得到控制所致。即，通過控制低頻范圍內主導聲輻射模態可降低水下殼體低頻振動聲輻射。

圖6　以前4階聲輻射模態產生的聲功率為控制目標 Fig.6 The sound power of the first four radiation modes as the control objective

4結論

利用振動及聲輻射模態分析水下圓柱殼低頻模態輻射特性，據水下圓柱殼聲輻射周向模態解耦特性將輻射聲功率分為各階周向振動模態下輻射聲功率疊加，計算各階周向振動模態對輻射聲功率貢獻，結論如下：

(1)計算水下圓柱殼受徑向點力激勵的總輻射聲功率時，僅考慮前幾階周向振動模態即可達到計算精度；將各階周向模態下軸向振動模態分為奇、偶模態組可揭示低頻范圍振動、聲輻射模態的對應關系。

(2)通過對比振動及聲輻射模態可確定對水下圓柱殼低頻聲輻射貢獻最大的振動模態。對有源結構聲控制而言，有助于選擇對輻射聲功率起主要貢獻的聲輻射模態進行控制。

(3)通過分析水下圓柱殼體低頻振動及聲輻射模態輻射特性，可設計、選擇需少量誤差傳感器或對傳感器位置不敏感又能提供較大降噪量的目標函數。

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