基于MIMO信號降噪的模態參數識別研究

基于MIMO信號降噪的模態參數識別研究

包興先1，熊叢博2，李翠琳3，田玉芹4

(1.中國石油大學(華東) 石油工程學院，山東青島266580； 2.國家海洋局第一海洋研究所，山東青島266061；3.中國科學院海洋研究所中國科學院海洋地質與環境重點實驗室，山東青島266071； 4.青島黃海學院交通與船舶工程學院,山東青島266427)

摘要：發展了一種基于多輸入多輸出(MIMO)信號降噪的模態參數識別方法。首先對實測的MIMO脈沖響應數據構建block-Hankel矩陣，然后通過模型階次指標確定矩陣的秩，進而基于結構矩陣低秩逼近(SLRA)計算得到降噪后的信號，最后通過多參考點復指數法(PRCE)識別結構的模態參數。數值算例和模型實驗結果表明，該方法對實測MIMO信號有很好的降噪作用，識別效果較好。

關鍵詞：多輸入多輸出；模型階次；低秩逼近；block-Hankel矩陣；模態參數識別

中圖分類號:TU317

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.025

Abstract:A modal identification scheme based on denoising MIMO signals was proposed here. With this scheme, the measured MIMO impulse response data were firstly used to construct a block-Hankel matrix, and the rank of the matrix was determined based on the model order indicator, then the structured low rank approximation (SLRA) method was implemented to achieve the denoised data. Finally, the modal parameters were estimated by using the PRCE method from the denoised MIMO signals. The effectiveness of the proposed scheme was verified with numerical examples and model test results.

基金項目：國家自然基金項目(41272321);烏魯木齊市應用開發研究計劃(Y131320008) 國家高技術研究發展計劃(2008AA05A302)

收稿日期：2014-12-03修改稿收到日期：2015-04-17 2015-02-15修改稿收到日期：2015-04-23

Modal parameters identification based on denoising MIMO signals

BAOXing-xian1,XIONGCong-bo2,LICui-lin3,TIANYu-qin4(1. School of Petroleum Engineering, China University of Petroleum (East China), Qingdao 266580, China；2. The First Institute of Oceanography, State Oceanic Administration, Qingdao 266061, China；3. CAS Key Laboratory of Marine Geology and Environment, Institute of Oceanology, Chinese Academy of Sciences, Qingdao 266071, China；4. School of Commumications and Ship Engineering, Qingdao Huanghai University, Qingdao 266427, China)

Key words:MIMO; model order; low rank approximation; block-Hankel matrix; modal parameters identification

對于大型復雜結構的模態測試，如橋梁、海洋平臺等，單點激勵往往能量不夠，且在傳遞過程中損耗很大，離激勵點較遠的地方，響應信號較弱，信噪比較小。若加大激勵力，則容易產生局部響應過大，造成非線性現象。若激勵點正好處于某階模態的節點位置，對該階模態來說，系統將成為不可控和不可觀的，就會發生漏失模態的現象。20世紀80年代起，陸續出現了一些多輸入多輸出(MIMO)的模態參數辨識方法，以彌補單點激勵的缺點，如多參考點復指數法(PRCE)、特征系統實現算法(ERA)等[1]。然而，由于實測信號不可避免地受到測試環境、電子設備等背景噪聲的干擾，因此識別結果通常包含虛假模態[2-3]。

為了區分真實模態和虛假模態,目前大多采用穩定圖方法。由于計算采用的模型階次高于真實的模型階次，從而容許了噪聲模態的存在[1]。而通過穩定圖法并不能完全排除噪聲模態，特別是隨著模型階次的升高，一些虛假模態往往容易趨于穩定，用穩定圖很難正確識別出結構的真實模態參數[4-5]。而且穩定圖法在很大程度上依賴于使用者的經驗判斷，當信號的信噪比低的時候，如何區分大量的虛假模態和真實模態將變得很困難。近年來，有學者發展了基于信號降噪的模態參數識別方法，即對響應信號先進行降噪處理，然后再進行模態參數識別，該方法能夠提高模態參數的識別效率和精度。信號降噪的方法一般分為兩類：一類是小波去噪方法，如陸秋海等[6]采用小波去噪方法來提高ERA/DC的識別精度，湯寶平等[7]基于小波去噪和HHT進行模態參數識別，以改善模態參數識別的精度等。但小波函數及其閾值的選取對模態參數識別的效果影響較大。另一類是奇異值分解(SVD)的方法，如練繼建等[8]對時域振動響應信號采用奇異熵定階降噪的方法對水工結構進行模態識別，Sanliturk等[9]對頻響函數首先進行SVD降噪，然后再進行模態識別等。而通常采用的SVD降噪的方法，只對原始信號進行一次“分解-重構”，導致降噪效果沒有達到最優。近年來，線性數學中的結構矩陣低秩逼近(Structured Low Rank Approximation，SLRA)方法被引入到模態參數識別中[3,10-11]。該方法基于SVD對脈沖響應函數進行迭代降噪，可以優化降噪效果，目前主要針對單點響應信號，若應用于多點響應信號，就需要對每一信號分別進行降噪，這顯然會降低計算效率。

本文將單點響應信號的SLRA降噪方法擴展到MIMO信號統一降噪，然后進行模態參數識別。與傳統的MIMO模態參數識別方法直接采用實測信號進行模態分析不同，該方法首先采用實測的MIMO脈沖響應信號構建block-Hankel矩陣，然后進行模型定階及SLRA計算，以獲得降噪信號，最后利用PRCE法對降噪信號進行模態參數識別。文中將通過質量-彈簧-阻尼系統的數值算例和導管架式海洋平臺的物理模型實驗驗證該方法的有效性。

1基于MIMO信號降噪的模態參數識別

1.1構建block-Hankel矩陣

一個N自由度的動力系統在p點施加脈沖激勵得到q點的脈沖響應函數可以表示為：

(1)

當實測結構的脈沖響應函數hpq(t)中包含未知的M階模態，并以采樣間隔Δt表示成離散形式時，則tk=kΔt時刻的脈沖響應函數矩陣可表示為：

hk=WZkΦT

(2)

式中，hk∈RNin×Nout，W∈RNin×2M ，Φ∈RNout×2M ，Z=diag{es1Δt ,…,es2MΔt }為對角矩陣，k=0,1,2,…。R代表實數矩陣，其上標代表矩陣維數。

基于hk構建mNin×nNout維的block-Hankel矩陣HmNin×nNout。其中，矩陣HmNin×nNout中每一個獨立的塊(block，即hk)都是由tk時刻對應Nin個激勵點Nout個響應點的脈沖響應信號構建成的Nin×Nout維的矩陣，mNin,nNout≥2M，x=m+n-2。

(3)

1.2模型定階

應用SVD確定矩陣HmNin×nNout的秩，即

HmNin×nNout=UΣVT

(4)

式中，U∈RmNin×mNin，VT∈RnNout×nNout是正交矩陣，其上標T代表矩陣的轉置，Σ∈RmNin×nNout是對角矩陣，其對角元素為降序排列的奇異值。而Σ可分解為g個非零奇異值子矩陣Σg和幾個零子矩陣：

(5)

這一分解表明矩陣HmNin×nNout的秩是g。

1.3SLRA

理論上，對于本文脈沖響應信號的降噪技術，屬于線性數學中的SLRA范疇，即通過獲得Frobenius范數意義下的最佳逼近結構矩陣來降低噪聲[13]。

當hpq受到隨機噪聲的干擾時，可以寫成：

(6)

(7)

步驟(1)和(2)交替迭代，直到滿足收斂標準。

1.4模態參數識別

基于上述步驟確定的模型階次以及降噪后的MIMO脈沖響應信號，采用PRCE法進行模態參數識別。PRCE法是近年來廣泛應用的MIMO模態參數識別方法，該方法的理論推導過程在此不再贅述，讀者可參閱相關文獻[1]等。綜上，基于MIMO信號降噪的模態參數識別方法的流程圖如下：

圖1　基于MIMO信號降噪的模態參數識別方法流程圖 Fig.1 The flow chart of MIMO modal parameters identification method based on noise rejection

2數值算例

2.1數據的模擬

建立一個五自由度的質量-彈簧-阻尼系統的數值模型見圖2。單元的質量、剛度和阻尼系數分別為mn=50 kg、kn=2.9×107N/m、cn=1000 N·s/m。通過特征值分析，得到模態頻率的理論值為：34.499 Hz、100.70 Hz、158.730 Hz、203.880 Hz、232.520 Hz；模態阻尼比的理論值為：0.0037374、0.010909、0.017197、0.022092、0.025198。

圖2五自由度質量-彈簧-阻尼系統
Fig.2 A 5-DOF mass-spring-dashpot system

采用Matlab編制程序，分別在m1、m2兩處施加脈沖激勵，采樣頻率500 Hz，各得到m1、m2、m3、m4、m5五處脈沖響應信號，共10個。每個響應信號包含1024個采樣點，取前500個采樣點進行后續分析。脈沖響應函數經傅里葉變換可得到頻率響應函數。

通過對10個精確的(不含噪聲的)響應信號統一疊加10%的高斯白噪聲來模擬含噪聲的響應信號。噪聲水平10%，代表白噪聲的標準差和精確信號的標準差之比為10%。以m1處激勵，m1處響應的信號為例，精確信號和含噪信號的頻率響應函數圖見圖3。

圖3　m 1處激勵，m 1處響應的精確信號和 含10%噪聲信號對比 Fig.3 The comparison of noise free signal and signal with 10% noise with respect to input m 1 and output m 1

2.2模型定階和信號降噪

分別對精確信號和含噪信號構建block-Hankel矩陣H40×2405(即HmNin×nNout，m=20，n=481，Nin=2，Nout=5),對其進行SVD計算，得模型階次指標MOI，見圖4。可以看出，受噪聲的影響，MOI最大值由精確信號的7500，減小到含噪信號的2.7，而對應的模型階次都為10，說明信號中都包含5階模態。模型定階后，對含噪信號構建的block-Hankel矩陣進行SLRA降噪計算。

圖4　精確信號和含10%噪聲信號的模型階次指標 Fig.4 Model order indicators of noise free signal and signal with 10% noise

2.3模態參數識別

式中，f(n)，ξ(n)和φ(n)分別代表階次為n時識別的頻率、阻尼比和模態向量。當由相鄰階次識別的頻率、阻尼比和模態向量同時滿足上式時，可認為識別結果為穩定的，否則為不穩定。

從圖5可以看出，由于噪聲的干擾，傳統的PRCE方法未能識別出穩定的第一階模態。而且隨著階次的增大，在170Hz和240Hz附近有趨于穩定的虛假模態出現。從圖6可以看出，采用本文方法能夠很好地識別出穩定的5階模態。基于含噪及降噪信號的識別結果見表1和表2。通過與理論值對比發現，由降噪信號識別的頻率和阻尼比的誤差范圍分別為0～0.90%和0.06%～5.73%，均小于由含10%噪聲識別的頻率和阻尼比的誤差。

圖5　傳統的PRCE方法識別結果的穩定圖 (*：穩定，°：不穩定) Fig.5 Stability diagram obtained from implementing the traditional PRCE method (*: stable, °: unstable)

模態理論含噪誤差/%降噪誤差/%134.499--34.5400.902100.70100.790.09100.7003158.73158.870.09158.750.014203.88203.960.04203.920.025232.52232.690.07232.560.02

表2　采用含10%噪聲信號和降噪信號識別的阻尼比(%)

圖6　基于MIMO信號降噪的PRCE方法識別 結果的穩定圖(*：穩定，°：不穩定) Fig.6 Stability diagram obtained from implementing the proposed method (*: stable, °: unstable)

2.4不同激勵組合下的模態參數識別

在不同激勵組合情況下驗證本文方法的有效性。組合1：如前所述，m1、m22處激勵，各5處響應；組合2：m3、m42處激勵，各5處響應；組合3：m1、m2、m33處激勵，各5處響應；組合4：m1、m2、m3、m44處激勵，各5處響應。組合2、3、4的分析步驟同組合1。各組合的含噪信號經模型定階確定階次均為10。對含噪信號構建的block-Hankel矩陣進行SLRA降噪計算。采用傳統的PRCE法(基于含噪信號)及基于MIMO信號降噪的PRCE法分別進行模態參數識別，組合2的識別結果的穩定圖見圖7和圖8，組合3的識別結果的穩定圖見圖9和圖10，組合4的識別結果的穩定圖見圖11和圖12。

從圖7、圖9、圖11可以看出，由于噪聲的干擾，各組合情況下，傳統的PRCE方法均未能識別出穩定的第一階模態。而且隨著階次的增大，在170Hz和240Hz附近均有趨于穩定的虛假模態出現。從圖8、圖10、圖12可以看出，采用本文方法能夠很好地識別出穩定的5階模態。篇幅所限，識別的頻率和阻尼比值從略。同樣，從組合1、2、3、4的傳統方法的識別結果(圖5、7、9、11)可以發現，要獲得穩定的識別結果(第一階除外)，需要的最小矩陣多項式階次分別為：10、9、6、4，而采用本文方法各組合(圖6、8、10、12)要獲得穩定的5階識別結果，需要的最小矩陣多項式階次分別為：6、6、5、3。這表明，隨著組合中響應數據增多，要獲得穩定的識別結果，需要的最小矩陣多項式階次也減少。對同一組合，要獲得穩定的識別結果，本文方法所需的最小矩陣多項式階次小于傳統方法。

圖7 組合2:傳統的PRCE方法識別結果的穩定圖(*:穩定,°:不穩定)Fig.7Case2:stabilitydiagramobtainedfromimplementingthetraditionalPRCEmethod(*:stable,°:unstable)圖8 組合2:基于MIMO信號降噪的PRCE方法識別結果的穩定圖(*:穩定,°:不穩定)Fig.8Case2:stabilitydiagramobtainedfromimplementingtheproposedmethod(*:stable,°:unstable)圖9 組合3:傳統的PRCE方法識別結果的穩定圖(*:穩定,°:不穩定)Fig.9Case3:stabilitydiagramobtainedfromimplementingthetraditionalPRCEmethod(*:stable,°:unstable)

圖10 組合3:基于MIMO信號降噪的PRCE方法識別結果的穩定圖(*:穩定,°:不穩定)Fig.10Case3:stabilitydiagramobtainedfromimplementingtheproposedmethod(*:stable,°:unstable)圖11 組合4:傳統的PRCE方法識別結果的穩定圖(*:穩定,°:不穩定)Fig.11Case4:stabilitydiagramobtainedfromimplementingthetraditionalPRCEmethod(*:stable,°:unstable)圖12 組合4:基于MIMO信號降噪的PRCE方法識別結果的穩定圖(*:穩定,°:不穩定)Fig.12Case4:stabilitydiagramobtainedfromimplementingtheproposedmethod(*:stable,°:unstable)

3模型實驗

一鋼質導管架式海洋平臺物理模型見圖13，主腿尺寸為Φ25mm×2.5mm，橫撐及斜撐尺寸均為Φ15mm×1.5mm。將模型底部固定，在各層關鍵節點(如點1、2)布置各向加速度傳感器，采用力錘在甲板角(點3、4)處分別施加X向和Y向的脈沖激勵，采樣頻率200 Hz，得到兩節點(點1、2)處的X、Y向響應信號，約45s。后續分析取各信號的一段，512個數據點。基于m=20，n=493，Nin=2，Nout=4構建block-Hankel矩陣H40×1972。由模型階次指標MOI(見圖14)確定模型階次為6，說明信號中包含3階模態。由于激勵位置位于甲板角，因此模型的X、Y向平動模態和扭轉模態都可能被激勵出來。確定模型階次后，對由實測信號構建的block-Hankel矩陣H40×1972進行SLRA降噪計算。

圖13　導管架式海洋平臺模型 Fig.13 Jacket offshore platform model

圖14　實測信號的模型階次指標 Fig.14 Model order indicators of measured signal

采用傳統的PRCE法(基于實測信號)及基于MIMO信號降噪的PRCE法分別進行模態參數識別，識別結果的穩定圖見圖15和圖16。可以看出，基于實測信號只能識別出穩定的第一階模態。第二、三階模態因為受噪聲影響未識別出穩定的結果。采用本文方法能夠很好地識別出信號中包含的3階模態。基于實測及降噪信號的識別結果見表3。盡管無法得到物理模型的真實模態參數，但是可以通過比較兩種方法識別結果的穩定圖，以及有限元模型的頻率參考值來評價識別效果。結果表明，與傳統的PRCE法相比，本文方法識別效果較好。

圖15　傳統的PRCE方法識別結果的穩定圖 (※：穩定，○：不穩定) Fig.15 Stability diagram obtained from implementing the traditional PRCE method (※: stable, ○: unstable)

圖16　基于MIMO信號降噪的PRCE方法識別結果的 穩定圖(※：穩定，○：不穩定) Fig.16 Stability diagram obtained from implementing the proposed method (※: stable, ○: unstable)

模態有限元實測信號降噪信號頻率頻率阻尼比頻率阻尼比117.20717.4730.102617.4710.1216221.381--21.5980.1768326.150--26.3200.1425

4結論

(1)本文發展了一種基于MIMO測試信號統一降噪的模態參數識別方法。該方法首先對測試的MIMO響應數據構建block-Hankel矩陣，通過模型階次指標確定矩陣的秩，進而基于SLRA方法得到降噪后的信號，最后通過PRCE方法識別結構的模態參數。

(2)5自由度質量-彈簧-阻尼系統數值算例的結果表明，與傳統的直接采用實測信號進行MIMO模態參數識別的方法相比，本文方法的識別精度較高，而且能識別出傳統方法遺漏的第一階模態。此外，隨著模態識別中采用的響應數據增多，要獲得穩定的識別結果，需要的最小矩陣多項式階次也減少。對相同的響應數據組合，要獲得穩定的識別結果，本文方法所需的最小矩陣多項式階次也小于傳統方法。

(3)通過導管架式海洋平臺物理模型實驗進一步驗證本文方法的有效性。結果表明，與傳統方法相比，本文方法的識別效果較好，能夠識別出傳統方法因噪聲影響而遺漏的模態。

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通信作者張繼春男，博士,教授,博士生導師，1963年生

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通信作者劉占生男，教授,博士生導師，1962年生