古箏弦振動及琴碼的動力學(xué)分析

第一作者鄧小偉男，碩士生，1989年生

通信作者余征躍男，高級工程師，碩士生導(dǎo)師，1969年生

古箏弦振動及琴碼的動力學(xué)分析

鄧小偉1，余征躍1，姚衛(wèi)平1，陳民杰2

(1.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240；2.上海民族樂器一廠，上海201101)

摘要：將古箏弦振動簡化為有界弦振動模型，分別對撥弦和掃弦狀態(tài)下弦的振動進行動力學(xué)分析。以撥弦為例，建立了弦振動通過琴碼傳遞到古箏面板的動力學(xué)模型，并利用Matlab數(shù)值計算和實驗測量進行驗證。為古箏的弦振動和琴碼傳遞過程的分析建立了理論模型，解決了古箏振動聲學(xué)特性分析中的結(jié)構(gòu)模型簡化問題，為古箏的進一步的研究提供了參考。

關(guān)鍵詞：古箏；有界弦振動；琴碼；動力學(xué)模型；動力響應(yīng)分析；實驗驗證

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11132007，11272203)

收稿日期：2014-11-03修改稿收到日期：2015-01-13

中圖分類號:O329;TB532文獻標志碼：A

Dynamic analysis on Guzheng string vibration and bridge transmission

DENGXiao-wei1,YUZheng-yue1,YAOWei-ping1,CHENMin-jie2(1. School of Naval Architecture, Ocean & Civil Engineering, Shanghai Jiaotong Universty, Shanghai 200240, China; 2. Shanghai National Musical Instrument Factory, Shanghai 201101, China)

Abstract:The Guzheng string vibration was simplified into a bounded string vibration, and the vibrations during plucking and sweeping strings were dynamically analysed. A dynamic model of the process that the string vibration passes from the bridge to the Guzheng panel was built. The accuracy of the model proposed was verified through the comparison between the numerical results by using the Matlab simulation and the experimental data. The work of this paper provides a reliable theoretical model for the analysis of the string vibration and the bridge transmission process. The simplification of the structural model in analyzing the Guzheng vibro-acoustic characteristics was achieved and it will provide more or less support and guidance for the improvement of future Guzhengs.

Key words:guzheng; bounded string vibration; bridge; dynamics model; analysis of the dynamic response process; experimental verification

古箏是中國最古老的樂器之一，其音域?qū)拸V，音色清亮，表現(xiàn)力豐富，是可與鋼琴相媲美的弦樂器，既承載了傳播中國民族文化的重任，又能實現(xiàn)在未來得到很好的普及。而琴弦、琴碼作為古箏聲學(xué)系統(tǒng)中重要的振動和傳導(dǎo)系統(tǒng)，其對古箏結(jié)構(gòu)的振動聲學(xué)特性有著重要的影響[1]。但由于其振動模型復(fù)雜，而對相關(guān)民族樂器的研究本就很少，所以對于古箏琴弦和琴碼的研究一直沒有受到重視。為了更好地了解古箏的發(fā)聲機理，系統(tǒng)地分析古箏的振動聲學(xué)特性，為古箏的結(jié)構(gòu)聲學(xué)設(shè)計提供理論依據(jù)，并最終實現(xiàn)品質(zhì)可控古箏的批量化生產(chǎn)，對于古箏琴弦和琴碼的研究顯得尤為重要。總結(jié)相關(guān)樂器的弦振動研究，李云芳[2]利用弦振動的基本方程推導(dǎo)分析了使用平面錘、凸面錘和細棒敲擊揚琴弦時的振動方程，通過分析n次諧波衰減的快慢，得出不可使用細棒；楊健[3]回顧了琴弦研究的發(fā)展，討論了達朗貝爾的弦振動方程，用理想撥弦模型分析了撥弦振動的軌跡、觸弦點對音色和音量的影響等；Aramaki等[4]對相近的兩根鋼琴弦列的耦合作用進行了分析，并通過數(shù)字波導(dǎo)模型的耦合對其進行了聲音重建；Taguti[5]利用弦振動方程建立了sawari的弦振動模型，分析了弦端在振動中觸弦點變化致使發(fā)出獨特音色的理論依據(jù)。

總結(jié)上述的琴弦振動研究，結(jié)合弦振動的基本理論[6-7]，本文對古箏的弦振動進行了分析，分別建立了撥弦和掃弦狀態(tài)下弦振動的動力學(xué)模型[8-9]。對撥弦狀態(tài)下琴碼的傳遞作用做了理論分析，建立了振動從琴弦到琴碼再到面板的動力學(xué)模型，并進行了Matlab數(shù)值計算和驗證性實驗測量，對比驗證了理論結(jié)果。

1簡化古箏弦振動模型

古箏的琴弦是以兩端固定，中間利用琴碼頂在古箏面板上的，演奏者一般通過撥弦或掃弦的形式讓琴弦獲得初始狀態(tài)后自由振動，再由琴碼將振動以力的形式傳遞到古箏面板上。雖然琴碼在弦振動的過程中會有位移，但相對弦的振動幅度屬于微小位移，琴碼可視為固定，可將其弦振動簡化為有界弦的振動[10]。

設(shè)有效弦長為L，以弦的左端固定點為原點，琴碼端為終點，建立直角坐標系，弦長方向為x軸，弦的振動方向為u軸，彈撥點在x=x0處，簡化模型(見圖1)。

圖1　古箏弦振動簡化模型 Fig.1 A simplified model of Guzheng string vibration

2弦振動的動力學(xué)建模分析

古箏演奏中最常用到的彈奏技法就是撥弦和掃弦，其中撥弦包括托、勾、抹、打等指法，它們都是在彈撥中給予弦初始狀態(tài)后自由振動，但它們所給予的初始狀態(tài)卻有所不同，下面將分別對這兩種情況進行力學(xué)分析。

2.1撥弦x=x0點

由于撥弦中各指法的撥弦角度不同，這里假設(shè)撥弦角度垂直向上，且忽略手指寬度，則整個弦的初始位移在u軸方向成線性變化。設(shè)彈撥點弦的初始位移為u0，之后弦開始自由振動，則撥弦的振動可歸結(jié)為定解問題(1)：

(1)

式中：a2=T/ρ，T為弦張力，ρ為弦的線密度。

利用分離變量法，以傅里葉級數(shù)表達其定解為：

(2)

式中：

(3)

(4)

將式(3)、式(4)代入定解式(2)得：

(5)

式(5)為撥弦時的振動方程，其中n為正整數(shù)，n=1的部分為基波，其它每一個n代表一個諧波成分。當x取定值且t=0時，由式(5)可知各階諧波的相位都為π/2，所以此處弦振動方程的各階諧波成分的初始相位都相同且與基頻的初始相位一致。

2.2掃弦x=x0點

在掃弦過程中假設(shè)掃弦的手指寬度為p，則掃弦區(qū)間為x0-p/2≤x≤x0+p/2，弦的初始狀態(tài)除了呈線性變化的初始位移外，還在掃弦區(qū)間內(nèi)有初始速度。設(shè)彈撥點弦的初始位移為u0，在掃弦區(qū)間的初始速度為v0，之后弦開始自由振動，則掃弦時的振動可歸結(jié)為定解問題式(6)：

(6)

其定解同式(2)，其中：

(7)

(8)

將式(7)、式(8)代入定解式(2)得：

(9)

式(9)為掃弦時的振動方程，其各階初始相位與n有關(guān)，為：

(10)

式中：

根據(jù)式(10)可知其振動中各階諧波的初始相位都與n有關(guān)，相互之間存在著一定的相位差。

2.3對比分析撥弦與掃弦時的弦振動

本文通過Matlab數(shù)值計算的方法以古箏21號弦為例對比分析撥弦與掃弦下的弦振動情況。經(jīng)過對傳統(tǒng)古箏的測量，得到其有效弦長L=950 mm，利用Tensometric-Combi-490張力測量儀測得琴弦張力T=400 N，線密度ρ=20.57 kg/mm，彈撥位置取常用演奏位置x0=1/7L處[3]，最大初始位移u0=4 mm，利用polytec激光測振儀測得最大初始速度v0=1000mm/s，手指寬度p=15 mm。

分別對21號弦撥弦和掃弦時撥弦點即x=x0點的振動進行數(shù)值計算，其中取n=10，計算時長t=1 s，時間間隔為Δt=0.000 04 s.對比式(5)與式(9)，發(fā)現(xiàn)掃弦狀態(tài)下正好比撥弦狀態(tài)下多出了初始速度引起的振動項，為：

(11)

計算撥弦和掃弦時的時域曲線與Δu(x0,t)的時域曲線，見圖2。

圖2　琴弦振動時x 0點的位移時域曲線 Fig.2 Time domain curve of x 0 point of string vibration displacement

圖2(a)和圖2(b)分別給出了撥弦和掃弦時0.1 s內(nèi)弦振動x0點的位移時域曲線，對比發(fā)現(xiàn)兩曲線的趨勢基本一致，最大位移也基本相同，大概在3.5～4.0 mm，由此可說明古箏在撥弦和掃弦時的振動幅度基本一樣。圖2(c)給出了掃弦中初始速度引起的振動項Δu(x0,t)的時域曲線，發(fā)現(xiàn)其振動幅度相對撥弦狀態(tài)下的屬高階微小量，可知初始速度對于弦的振動幅度影響較小，即撥弦與掃弦時的振動幅度基本相同。根據(jù)前面分析的撥弦時各階諧波成分的初始相位都與基頻一致，而掃弦時各階諧波的初始相位與n相關(guān)，存在相位差，可見初始速度對于弦振動的初始相位有影響。

3琴碼傳遞作用的建模分析與實驗驗證

古箏演奏中琴弦的振動通過琴碼傳遞到古箏面板，其傳遞過程主要是弦振動時弦的形態(tài)產(chǎn)生變化，使琴弦張力以及琴弦與琴碼法相的夾角產(chǎn)生變化，這種變化使得通過琴碼向下傳遞到面板的力不斷改變，迫使古箏結(jié)構(gòu)做強迫振動，從而發(fā)聲。

3.1琴碼作用的動力學(xué)建模分析

假設(shè)琴弦的有效振動弦長為L，琴碼的作用高度為h，琴弦振動時弦張力為時變函數(shù)TL(t)，而琴碼向下傳遞給面板的力為時變函數(shù)F(t)，琴碼在傳遞作用時的位移忽略不計，只考慮力的作用，琴碼右邊的按弦部分作用也忽略，可得到琴碼傳遞的簡化模型見圖3。

圖3　古箏琴碼傳遞簡化模型 Fig.3 A simplified model of transfer function of the Guzheng bridge

根據(jù)所給出的簡化模型圖3，進行受力分析可知琴弦張力為：

(12)

式中：A=πd2/4，d為裸弦直徑，Δl為弦振動時的形變量，E為弦芯鋼絲的彈性模量，T為靜態(tài)的弦張力。

根據(jù)撥弦時的弦振動方程(5)分析弦的形變可知：

(13)

式中：

ux2(x,t)=(T(t)X′(x))2=

根據(jù)數(shù)學(xué)極限公式可得：

(14)

將式(14)代入式(13)有：

Δls(t)+Δlc(t)

(15)

這里將弦的形變量表示為各階弦振動形變的疊加項Δls(t)與相互間的耦合項Δlc(t)之和，其中：

(16)

(17)

分析琴弦與琴碼的位置關(guān)系和受力情況，得到其左半弦(振動部分)簡化模型(見圖4)。

圖4　古箏琴碼傳遞理論模型 Fig.4 The theoretical model of the transmission function of Guzheng bridge

根據(jù)圖4對琴碼做受力分析，可知琴碼傳遞力為：

F(t)=TL(t)sin(α-β)≈TL(t)(sinα-sinβ)=

(18)

因為弦振動的位移相對弦長為小量，其中α、β都為小角度，所以有：

sin(α-β)≈sinα-sinβ，而sinβ=-ux(L,t)

將式(12)代入式(18)可得：

(19)

根據(jù)撥弦時推導(dǎo)的弦振動方程(5)可得：

(20)

受力分析靜止狀態(tài)下琴碼對面板向下的力為：

(21)

所以可知琴弦振動通過琴碼向下傳遞的力為式(18)減去式(21)：

FL(t)=F(t)-F0≈

(22)

式中：

3.2琴碼作用力的Matlab計算和實驗測量驗證

對于上面推導(dǎo)的理論結(jié)果，本文通過Matlab數(shù)值計算與實驗測量對比分析。以古箏21號弦為例，所涉參數(shù)同“2.3”，另弦有效內(nèi)徑為d=0.6 mm，彈性模量E=220 GPa，阻尼系數(shù)為ξ=0.35，彈撥位置取x0=1/7L處，琴碼與弦固定端垂直距離h=45 mm。計算中取前10階即n=10，計算時長t=1 s，時間間隔為Δt=0.000 04s。其琴碼向下傳遞力的計算結(jié)果(見圖6)。

古箏琴碼對面板作用力的測量。利用KD3001力傳感器黏貼在處理過的琴碼的左右碼腳上，并保證其整體高度與原琴碼一致，將傳感器連接到AVANT-MI-2004調(diào)理放大器，信號通過9234采集卡連接至計算機，并利用LabVIEW進行實驗測量，測試框圖(見圖5)。其中KD3001力傳感器成圓環(huán)形，外徑為φ16 mm內(nèi)徑為φ5 mm，且底面為平面，其測量范圍在1～5 kN，自身固有頻率在70 kHz，使用頻率在20 kHz。

實驗時，現(xiàn)場將弦的發(fā)音調(diào)至規(guī)定值，即21號弦所對應(yīng)音名D的頻率73.4 Hz，然后在弦1/7處進行撥弦，同時記錄下弦振動時琴碼左右碼腳力變化的數(shù)據(jù)。將測量結(jié)果按照左右碼腳對應(yīng)時間軸相加即琴碼整體向下作用的力，畫出最終的琴碼向下傳遞力實驗結(jié)果曲線(見圖6)。

圖5　琴碼傳遞力測試框圖 Fig.5 The measurement test schematic diagram of transfer force of the bridge

圖6　琴碼向下傳遞力的理論值與實驗值時域曲線 Fig.6 The theoretical calculation and experimental time curves of bridge downward transfer force

根據(jù)時域曲線通過Matlab對其進行FFT變換得到理論值和實驗值的頻譜曲線(見圖7)。

圖7　琴碼向下傳遞力的理論值與實驗值頻響曲線 Fig.7 The theoretical calculation and experimental curves of bridge downward transfer force

圖6描述的是0.1s內(nèi)琴碼作用力理論值與實測值時域曲線的對比，可以看出兩者曲線形狀相似，其中理論值范圍從-10～3 N，而實驗值為-10.5～2.5 N(力值為負值是因為琴碼初始狀態(tài)就有受壓力，壓力減小即為負)，理論值與實測值基本相近，其主要的峰值出現(xiàn)的時間差也相近。圖7描述了理論值和實驗值頻譜曲線的對比，可知理論值與實測值的幅值變化趨勢相似，其中理論值基本接近實驗值，第二階理論值小于實驗值，相對誤差較大，第7階的理論值與實測值都接近為0。表1給出了前四階的具體數(shù)值對比和相對誤差。

表1　琴碼向下傳遞力理論值與實驗值對比

總體來說琴碼向下傳遞力的理論數(shù)值計算結(jié)果與實測值具有較好的一致性，考慮理論簡化以及數(shù)值計算和實驗測量的誤差，可見理論計算的結(jié)果基本可信，琴碼向下傳遞力的模型可行。其中頻響結(jié)果中第二階相對誤差較大，可能是忽略了面板與琴弦、琴碼的耦合作用導(dǎo)致的，因為在古箏結(jié)構(gòu)振動實驗中，古箏主結(jié)構(gòu)的二階固有頻率為138.13 Hz，正好與21號弦的二階諧波頻率146.8 Hz接近，可見其耦合作用較大，為此理論計算和實驗測量都有待進一步的完善。而其中第7階幅值都接近于0是由于彈撥時彈撥位置取了x0=1/7L時使得第7階以及7的倍數(shù)階諧波無法激起，故振幅為零。

4結(jié)論

通過對古箏在撥弦和掃弦時的弦振動進行動力學(xué)建模分析，分別得到了其弦振動方程，對比發(fā)現(xiàn)掃弦時相對撥弦時多出了初始速度引起的弦振動項，其對弦振動的振幅影響較小，而對初始相位影響較大，其中撥弦時各階諧波的初始相位都一致，而掃弦時各階諧波都有不同的初始相位與n相關(guān)。建立了琴碼傳遞作用的動力學(xué)模型，并通過Matlab數(shù)值計算與動力學(xué)測試分別得到了理論與實測的琴碼傳遞力曲線以及頻響曲線，對比發(fā)現(xiàn)琴碼向下傳遞力的理論數(shù)值計算結(jié)果與實測值具有較好的一致性，考慮理論簡化以及數(shù)值計算和實驗測量的誤差，可見理論計算的結(jié)果可信，琴碼向下傳遞力的模型可行。

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