車橋耦合數值模擬橋梁沖擊系數隨機變量的概率分布

第一作者沈銳利男，博士，教授，1963年生

車橋耦合數值模擬橋梁沖擊系數隨機變量的概率分布

沈銳利，官快，房凱

(西南交通大學土木工程學院，成都610031)

摘要：把橋梁和車輛看作車橋耦合振動體系的兩個分離子系統，基于ANSYS軟件建立了車輛和橋梁的有限元模型。使用三角級數疊加以及離散傅里葉逆變換模擬了橋面不平度，采用分離迭代算法計算了車橋耦合系統的動力響應。通過對一簡支梁橋車橋耦合振動的數值模擬，引入一種新的沖擊系數計算方法，采用數理統計的方法得到橋梁沖擊系數的概率分布及置信度為0.05的沖擊系數。結果表明：橋面不平度對沖擊效應的影響明顯；使用三角級數疊加法計算路面不平度得到的沖擊系數樣本概率分布上服從正態分布，而離散傅里葉逆變換法獲得的沖擊系數樣本服從極值Ⅰ型分布；離散傅里葉逆變換獲得的沖擊系數小于三角級數疊加法得到的，兩者計算得到的沖擊系數均大于規范計算數值。

關鍵詞：公路橋梁;分離迭代算法;橋面不平度;車輛模型;沖擊系數;概率分布

收稿日期：2014-04-24修改稿收到日期：2014-09-01

中圖分類號:U448.21+6文獻標志碼：A

Probability distribution of random variables of impact coefficient in numerical simulation of vehicle-bridge coupled vibration

SHENRui-li,GUANKuai,FANGKai(College of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Abstract:The bridge and vehicle were treated as two separated sub-systems, and a FEM model for vehicle-bridge coupled vibrations was established with resorting to the ANSYS software. The trigonometric series iteration and inverse discrete Fourier transform were used to simulate the deck roughness. The dynamic response of vehicle-bridge coupled system was solved by using the separated iterative algorithm. A new method was introduced to calculate the impact coefficient in the numerical simulation of the vehicle-bridge coupled vibration on a simply supported beam bridge. The mathematical statistics method was used to get the probability distribution function of impact coefficient and the impact coefficient was obtained with a confidence coefficient of 0.05. The results indicate that: the deck roughness has a significant influence on the impact effect of bridge; the sample probability of impact coefficient obtained by using trigonometric series iteration is normally distributed and that obtained by using inverse discrete Fourier transform obeys the extreme-I probability distribution; the impact coefficient got by using inverse discrete Fourier transform is larger than that by using trigonometric series iteration, and both of them are larger than those of using the methods stipulated in the Specification.

Key words:highway bridge; separated iterative algorithm; deck roughness; vehicle model; impact coefficient; probability distribution

重型車輛通過橋梁時，其動力作用將使結構發生大幅振動，導致結構出現損傷從而增加維護成本并縮短使用壽命。近年來，由于橋梁結構輕型化，車輛噸位不斷增加，車速逐漸提高，車輛對橋梁的慣性作用不斷增大使得橋梁的動力效應在橋梁的整體效應中的比重越來越大，由車輛荷載引起的橋梁結構振動問題甚為嚴重。車輛荷載引起橋梁橋面板的損傷、疲勞已成為交通安全中的重大隱患。

在考慮車輛作用對橋梁的影響時，我們通常采用沖擊系數的形式來描述。隨著車輛-橋梁耦合振動問題研究的不斷深入，大多數學者采用1/2車輛模型，也有部分研究者運用更加符合實際的復雜三維車輛模型進行模擬[1]。對車橋耦合振動的研究主要有數值模擬、試驗研究及兩者相結合的方法，近期大部分相關研究都將路面不平度考慮進去[2-3]。然而由于試驗方法耗費較大的人力和物力，而隨著計算機方法的引入以及高度發展的有限元分析技術，使車橋耦合振動問題的數值模擬方法得到很好的發展[4]。在數值模擬分析時我們應考慮各項因素的隨機性，如車速大小、橋梁幾何尺寸及材料的隨機性，因而數值模擬分析得到的沖擊系數是一個隨機變量[5]。根據過去的研究發現：較之車速和梁截面，車輛質量和橋面不平度對橋梁動力性能影響更大。但是在以往的理論研究中把橋面的平整度作為一個半確定的數列來進行分析，忽略了其隨機性對沖擊系數的影響[6]。此外大部分研究采用單一的三角級數疊加法來獲得橋面不平度，不能全面地模擬路面的起伏情況。因此在車-梁耦合振動數值模擬時應將計算機取值的隨機性考慮進去以貼近實際情況。本文采用數理統計的方法將概率概念引入沖擊系數的研究之中，以此更好地適應近似概率設計法的應用。用新的方法分析了兩種不同模擬路面不平度的方法對沖擊系數大小的影響。

1車橋耦合振動方程

1.1車輛模型

車-橋耦合振動系統的簡化1/2三軸車輛模型(見圖1)。車輪與橋梁作用位置x1、x2、x3相應的接觸點變形為y1、y2、y3，將車輛的振動方程統一寫成矩陣形式：

(1)

圖1　車輛-橋梁耦合系統車輛簡化模型 Fig.1 Simplified vehicle model of vehicle-bridge coupled vibration system

1.2車橋動力相互作用力

假設汽車行駛過橋時，車輪與橋面始終保持接觸，則車輛與橋梁接觸點的位移應包含橋梁的動態位移yq(x，t)和橋面不平度r(x)兩個部分。假定車輛在橋梁上的行使速度為v，則在任意時刻t，與橋面接觸的第i個車輪接觸點豎向位移yi(x，t)為：

yi(x，t)=yq(x，t)+r(x)|x=xi，i=1，2，3

(2)

式中:yq(x，t)為橋梁的豎向動態位移；r(x)為橋面不平度函數值。因此車輛系統的外力fci(i=1，2，3)可以由下式求得：

(3)

式中：

(4)

第1項表示車輪所在位置橋梁振動的豎向速度，第2項表示由于荷載的移動，使其在橋梁振動過程中產生的附加速度，對于一般的橋梁和現行的車速，此項可忽略；

fci=fcri+fcyi=[cir′(x)v+kir(x)]+

(5)

式中:fcri和fcyi分別表示橋面不平度和車-橋耦合振動產生的對車輛系統的外力，當車輪不在橋上時，令方程(5)后面一項為0即可。于是車輛系統的外力可分為兩項，即：fc=fcr+fcy。

1.3隨機路面不平度

路面不平度也稱為路面平整度，指的是橋梁表面對于理想平面的偏離，它具有影響車輛動力性、行駛質量和橋梁動力荷載三者的數值特征[7]。

路面平整度也是路面使用性能指標之一，1960年AASHTO道路試驗研究表明大約95%的路面服務性能來自于道路表面的平整度[8]。眾多相關研究表明我們對路面平整度的復雜性認識還不夠，大多情況是根據經驗從施工角度控制路面不平整度，而對路面不平整度引發路-車相互振動的影響等理論研究較少，故無法掌握路面不平整度的發展規律，也就無法真正控制路面平整度。目前世界各國路面平整度的測定方法與指標各異，至今都沒有得到一個統一的指標與測定方法[9]。

1.3.1路面不平度的數學描述

1972年ISO/TC108制訂了以路面不平度的功率譜密度表達式模型和分等方法，1986年由長春汽車研究所起草制定的“車輛振動輸入路面平度的表示方法”標準之中，作為汽車振動輸入的路面不平度，主要采用路面位移功率譜密度描述其統計特性，路面不平度的時間歷程可以視作滿足零均值的穩態高斯隨機過程[9]。根據這兩個文件的建議，路面位移功率譜密度可采用冪函數形式作為擬合表達式：

(6)

由于功率譜理論在信號處理領域中已經非常成熟，因此在道路不平度模型中較早就采用了功率譜進行分析。對于不同等級的路面之間的區別主要表現在粗糙度的不同，通常我們采用譜密度函數來表達不同粗糙度的路面，以給出車輛系統的輸入激勵。根據1982年道路不平度分級的建議將不平度等級分為很好(A級)、好(B級)、中等(C級)、不好(D級)和很不好(E級)。

國家標準GB7031-86根據路面功率譜密度把路面按不平度分為8級，表1為部分等級路面標準。表中規定了各級路面不平度系數G0(n0)的范圍及其幾何平均值。

表1　部分路面分級標準

對于路面不平度的研究，各國學者提出了不同形式的功率譜密度表達式模型。本文介紹后續將要用到的兩種生成路面不平度的方法：三角級數法、離散傅里葉逆變換法。

1.3.2三角級數法路面不平度

理論上講，任意一條路面軌跡均可由一系列離散的正弦波疊加而成。假如已知路面頻域模型，那么每個正弦波的振幅可由相應頻率的頻率譜密度獲得，相位差由隨機數發生器產生[10]。隨機諧波有正弦和余弦兩種，本文采用正弦波來進行隨機諧波疊加計算。

由于車輛的平順性能評價是在時域上進行，所以路面的輸入也應根據相應的路面等級用時域表示。三角級數法路面不平度可寫為：

(7)

式中：x為汽車前進的縱向位移；θi為在[0,2π]上的隨機數，滿足標準正態分布。在建立實際的路面模型時，需要選擇的參數有路面等級G0(n0)、有效空間頻率范圍(n1,n2)以及頻率區間劃分份數m。G0(n0)值為表1中的對應路面等級的幾何平均值。空間頻率所對應的時間頻率范圍(f1,f2)應該包括汽車振動的有效固有頻率。三角級數法尤其適用于實測道路譜的時域模擬，該算法數學基礎嚴密，使用路面范圍廣，這對于在非標道路和非等級公路上行駛汽車的平順性研究具有重要意義(見圖2)。通過式(7)，根據不同等級的不平度譜密度取值模擬了5級橋面不平度。

圖2　三角級數法路面不平度 Fig.2 Road Surface Irregularity by Trigonometric Series Iteration

1.3.3離散傅里葉逆變換法路面不平度

由于汽車隔振系統的作用，使得汽車對某些頻率路面激勵的位移或加速度響應極小，所以在進行路面不平度計算時，可以不考慮這些頻率成分的影響。僅需考慮的路面有效空間頻率，其上、下限分別為nu=3 m-1、n1=0.01 m-1，全橋跨度為L，距離采樣間隔為Δl，則所需的總采樣點數為N=L/Δl，則其離散傅里葉變換為：

(8)

式中：φk可以在[0，2π]內隨機選取。對Xk進行離散傅里葉逆變換便得到路面不平度Xm：

(9)

由于上述獲得路面不平度的過程是其計算功率譜密度的逆過程，所以理論上可以保證所得路面不平度的功率譜密度與給定的功率譜密度準確一致[11]。運用式(9)，根據不同等級的不平度譜密度取值模擬了5級橋面不平度序列(見圖3)。

圖3　逆變換法路面不平度 Fig.3 Road surface irregularity by inverse discrete fourier transform

1.4橋梁的運動方程

橋梁模型采用有限元方法進行離散，橋梁的運動方程為：

(10)

式中：Mq、Cq和Kq分別為橋梁系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Fq為外荷載向量。

1.5車橋耦合振動方程的求解

Fq=Fqg+Fqc

(11)

式中：Fqg和Fqc分別為作用在橋梁上的車輛自重和由于車輛行駛慣性對橋梁產生的作用力。Fqg與橋梁和車輛的運動無關，Fqc則隨著車輛在橋梁上的移動而不斷變化。

車輛與橋梁在接觸點的位移協調條件由式(2)表示，車橋相互作用力協調條件可由下式表達：

Fqci=ki[zi-yq(x,t)-r(x)]+

(12)

式中：Fqci和fci分別為第i個接觸點車輛對橋梁的作用力和橋梁對車輛的作用力。

通過車輛和橋梁的運動方程式(1)～式(5)和式(10)～式(12)，采用HHT方法求解車輛和橋梁的振動方程式(1)、式(10)，補充兩者之間的位移協調方程式(2)以及受力協調方程式(12)，考慮橋面不平度序列方程式(7)和式(9)(產生兩組)，采用分離迭代法進行運動方程的求解。

本文采用橋梁模型參數為：L=45.7 m，mb=1.824×104kg/m，EI=4.227×1011N·m2。本文采用文獻[1]中三軸車輛的軸重及剛度、阻尼參數進行計算：前軸重m1=500 kg，中軸重及后軸重m2=m3=725 kg，車體重M=28 500 kg；前輪剛度k1=3 146 kN/m，中間及后輪剛度k2=k3=4 724 kN/m，前懸架剛度k4=1 577 kN/m，后懸架剛度k5=4 724 kN/m；前輪阻尼c1=13 300kNs/m，中間及后輪阻尼c2=c3=10 000 kNs/m，前懸架阻尼c4=11 200 kNs/m，后懸架阻尼c5=33 420 kNs/m。車輛模型前軸與中軸間距為4 m，后軸與中軸間距為1.4 m，前懸架與后懸架的間距為4.7 m。車輛行駛速度為v=20 m/s。車輛橋梁結構采用Rayleigh阻尼，阻尼比取0.02。

2沖擊系數的影響因素分析

2.1沖擊系數的定義

根據我國《公路橋涵設計通用規范》(JTG D62-2004)關于沖擊系數的表述，橋梁結構在汽車荷載的作用下位移沖擊系數由下式定義：

(13)

式中:ydmax分別為效應時間歷程曲線上最大動力撓度；yjmax為時間歷程曲線最大靜力撓度。

在較早車橋振動沖擊系數的研究中，一般將車輛荷載作用下橋梁結構的振動認為是確定性的。實際當中在車輛荷載作用下的橋梁振動具有較大的隨機性[12](見圖4)。即使是對于同一座橋梁，也會因為其上的汽車荷載以及路面條件的變化而產生不同的振動，因此，將車輛荷載作用下的橋梁振動按統計方法進行分析處理更能切合實際情況。

圖4　橋梁跨中位移時程 Fig.4 Displacement time history of bridge in mid-span

世界各國的橋梁設計規范中相關沖擊系數的計算，大都是基于移動的汽車荷載與橋梁結構產生“共振”求得，這樣得到的沖擊系數(1+μ)是極大值。用極大值來代表車輛對橋梁的影響不能充分體現橋梁自身的功能，此類設計方法類似于允許應力法，對于結構的強度和材料不能充分的利用，忽略了極大值出現的概率很小這個事實。

為適應概率極限狀態設計法的應用，公路橋梁沖擊系數研究也應該引入可靠度理論。影響橋梁沖擊系數的因素大致可歸納為三個方面：

(1)汽車的因素，如汽車軸重、行駛速度、車流量大小；

(2)橋梁的因素，如混凝土強度、配筋率、鋼筋強度、橋面平整度；

(3)汽車橋梁兩者相互聯系的因素，如汽車行駛頻率與橋梁自身頻率、輪胎與橋面相對剛度、車道位置。

以上影響因素都將對橋梁的沖擊系數產生影響，其影響程度有大有小。而且可以看出，上述影響因素都帶有一定的隨機性，對于影響程度較大的因素，其離散性越大將導致沖擊系數的離散性越大。由此我們可得出：公路橋梁沖擊系數是反映諸多影響因素隨機組合產生動力效應的一個綜合性系數，具有明顯的隨機性。另外，公路橋梁沖擊系數與時間沒有明顯的關系，它的取值充滿了某一實數區間，不能用一個有限或無限數列表示。因此，本文把公路橋梁沖擊系數用連續隨機變量概率模型進行研究。

由于隨機模擬汽車流、橋梁激振及汽車行駛位置對沖擊系數的綜合效應較為復雜，本文僅從單一影響因素入手，探討路面不平度對沖擊效應的影響。

在數理統計學中，一切關于母體的結論總是以樣本提供的相關信息為依據。因此我們對沖擊系數數據進行處理，得到適當的概率模型來吻合公路橋梁沖擊系數隨機變量。為使樣本信息具有典型性、代表性，我們在獲得沖擊系數的樣本時，充分考慮了每個個體之間在概率意義下的相互獨立性。橋梁沖擊系數隨機變量概率模型的選擇需解決：①找到合適的概率分布以表征公路橋梁沖擊系數隨機變量的統計規律；②確定已選概率分布的各項參數值。

以往對于車橋耦合振動數值模擬沖擊系數研究文獻中，通常忽略了路面不平度系列的隨機性。對于相同等級的路面，由于計算機數列的隨機性，每一次產生的隨機路面不平度系列不盡相同，因而同等級路面進行計算機模擬時也將產生不同大小的沖擊系數。相關研究常用的處理方式是生成多組同等級不平度系列而后取其平均值，使用這個路面不平度均值系列進行沖擊系數的計算。這種處理方式忽略了路面不平度的隨機性，籠統的將其隨機性用均值的方式進行處理，這樣不能很好的模擬真實路面不平度的不確定性。

計算機進行隨機橋面不平順時域模型仿真時，由于計算機自身特性，其產生的隨機數列是有規律的，是一組偽隨機數列。計算機的每列隨機數列都分別對應一個數(稱之為種子)，也就是說產生的隨機數列是根據“種子”推導計算出來的，確定了種子那么隨機數列就是確定的。本文使用計算機隨機數“種子”生成相應的橋梁結構沖擊系數隨機樣本，用概率與數理統計的方法來研究公路橋梁沖擊系數的統計規律。

在計算機程序設計里面4 294 967 295表示無符號整數的十進制最大值，所以有效的隨機“種子”取值范圍為[0，4 294 967 295]，在各項參數確定的三角級數法或者離散傅里葉逆變換法進行路面不平度生成的時候，最多能產生4 294 967 295+1=4 294 967 296個隨機數列。每個隨機數列對應了一個車橋致振的最大位移值，以此對應一個沖擊系數。從[0，4 294 967 295]的種子取值區間選擇適當數量的種子(本文選取51個)，分別使用三角級數和離散傅里葉逆變換不平度計算模擬方法獲得相應路面不平度數列。

采用“2”介紹的迭代計算方法求得橋梁在各路面不平度系列下跨中最大位移，并計算出橋梁在相應靜力荷載作用下的跨中最大位移。根據我國 《公路橋涵設計通用規范》(JTG D62-2004)中的公式(式13)進行各沖擊系數的計算，得到相應沖擊系數樣本(見圖5)。從圖5可知，選取同等級路面不平度，不同“種子”計算出的位移沖擊系數有很大的差別，具有明顯的離散性。

圖5　同等級路面不同種子的沖擊系數 Fig.5 Impact coefficient of same level pavement in different seeds

根據得到的沖擊系數樣本，分別使用數理統計的方法進行統計分析，確定樣本所屬母本的概率分布類型以及相應分布的各項參數值。

2.2三角級數法路面不平度沖擊系數

通過對各隨機路面不平度生成的沖擊系數概率分布的優度擬合檢驗，發現對于采用三角級數法獲得的路面不平度樣本，公路橋梁沖擊系數的概率為正態分布。其樣本頻率直方圖(見圖6)，對沖擊系數樣本使用正態分布進行擬合得到其最優擬合概率分布函數為：

(14)

圖6三角級數法沖擊系數頻率直方圖 Fig.6 Frequency histogram of impact coefficient by trigonometric series iteration

2.3逆變換法路面不平度沖擊系數

通過對逆變換法沖擊系數樣本數據概率分布的優度擬合檢驗，發現對于采用逆變換法獲得的路面不平度樣本，橋梁沖擊系數的概率為極值Ⅰ型分布。其樣本頻率直方圖(見圖7)，對沖擊系數樣本使用極值Ⅰ型分布進行擬合得到其最優擬合概率分布函數為：

f(x)=exp{-exp[-19.065 2(x-1.076 2)]}

(15)

圖7　逆變換法沖擊系數頻率直方圖 Fig.7 Frequency histogram of impact coefficient by inverse discrete fourier transform

3沖擊系數比較

各國對沖擊系數的計算方法各有不同，對于汽車的沖擊系數取值各國規范也使用了不同的簡化公式。本文列舉了四個國家橋梁汽車沖擊系數的計算方法，并與本文計算得到的橋梁沖擊系數作了比較。

3.1中國規范

根據我國《公路橋涵設計通用規范》(JTG D62-2004)里采用的計算方法：

當f≤1.5 Hz時，μ=0.05

當1.5 Hz≤f≤14 Hz時，μ=0.176 7lnf-0.015 7

當f>14 Hz時，μ=0.45

計算得到橋梁模型基頻為3.606 Hz，通過計算可得到其沖擊系數為1+μ=1.211。

3.2美國規范

(1)AASHTO標準公路橋梁設計規范-1996

沖擊系數為跨徑的函數μ=15.24/(L+38.1)，計算可得到本文算例橋梁相應沖擊系數為1+μ=1.1819。

(2)AASHTOLRFD橋梁設計規范-1998

設計荷載包括卡車荷載和車道荷載兩部分，車道荷載不考慮沖擊系數。卡車荷載的沖擊系數為，橋面接縫：所有極限狀態，1+μ=1.75；所有構件：疲勞及斷裂狀態，1+μ=1.15；所有其它極限狀態，1+μ=1.33

3.3英國

BS5400：設計荷載中已包含25%的沖擊效應。

3.4日本(1972 年規范)

μ=20/50+L，計算得到本文算例橋梁相應沖擊系數為1+μ=1.209。

3.5本文介紹計算方法

本文引入數理統計的方法進行計算，按照計算得到的沖擊系數概率分布函數式可計算出某一分位值的沖擊系數，采用上文計算出的兩種概率分布函數式可計算各種保證率的公路橋梁沖擊系數，如通常取保證率為95%的限值作為結構設計的標準。在此本文采用保證率為95%的值作為公路橋梁沖擊系數。

取f(x)=95%計算兩種方法置信度為0.05的沖擊系數值。通過兩式的計算分別得到保證率為95%的沖擊系數為：

三角級數法為1+μ=1.2702；

逆變換法為1+μ=1.232。

4結論

(1)兩種路面不平度方法得到的沖擊系數樣本分布屬于不同的概率分布類型，三角級數法獲得的沖擊系數樣本符合正態分布；離散傅里葉逆變換法獲得的沖擊系數樣本符合極值Ⅰ型分布；

(2)對兩種方法獲得的沖擊系數母本進行保證率為95%的沖擊系數值，結果表明使用三角計數法得到的沖擊系數大于使用離散傅里葉逆變換法獲得的沖擊系數，兩者計算出的沖擊系數均大于各國規范介紹方法得到的沖擊系數；

(3)將數理統計引入計算機模擬車橋耦合振動沖擊系數研究，使沖擊系數在理論計算時候能夠計入所模擬路面不平度的隨機性；

(4)在此方法上可以拓展到多因素隨機性對沖擊系數的影響，采用響應面法使沖擊系數的理論研究更加符合實際測量的沖擊系數。

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