倒立擺系統的模糊控制研究

倒立擺系統的模糊控制研究

周群利

(蕪湖職業技術學院電氣工程學院，安徽蕪湖241006)

摘要：當倒立擺的擺角和擺速在一定范圍內變化時，分別采用三個模糊集“負、零、正”，對倒立擺系統的數學模型方程進行模糊化，得到7條Sugeno型模糊規則，根據系統參數及擺角和擺速的值，得到對應模糊規則下倒立擺系統的數學模型方程，然后對每個區域選擇期望的閉環極點，設計出極點配置狀態反饋控制器，對倒立擺系統進行控制，仿真結果力證了此方法的有效性。

關鍵詞：Sugeno模糊模型；倒立擺；模糊控制

作者簡介：周群利，碩士，講師，蕪湖職業技術學院。研究方向：非線性系統控制。

文章編號：1672-6758(2015)07-0043-3

中圖分類號：TP273`+.4

文獻標識碼：A

Abstract：When the pendulum swing, the angle and swing speed varies in a certain range. Mathematic mo del of inverted pendulum system is blurred with three fuzzy sets "negative, zero, positive". Seven Sugeno fuzzy rules were got. According to the system parameters, the swing angle and swing speed value, the mathematical model equations of inverted pendulum system were got under the condition of the corresponding fuzzy rules. The expectancy of closed loop poles was selected to each region.

倒立擺系統結構簡單、成本低廉、形象直觀、構件組成參數和形狀易于改變，是檢驗各種控制理論的理想模型。倒立擺系統是一種典型的復雜被控對象，具有非線性、多變量、強耦合和自然不穩定的特性。在控制過程中倒立擺系統能有效地反映可控性、魯棒性、隨動性以及跟蹤性等許多控制中的關鍵問題。近年來，學者們對倒立擺系統進行了大量的研究工作，取得了許多成果，其控制方法也已經有經典控制理論方法、現代控制理論方法、智能控制理論方法等，模糊控制和神經網絡控制是智能控制的重要方面，它們在倒立擺系統的控制上也起到了很大的作用。在此本文采用基于Sugeno模糊模型的方法對倒立擺系統進行模糊控制。

1倒立擺系統的數學模型

倒立擺系統的數學模型為：

(1)

式(1)中x1為擺與垂直線的夾角；x2為擺的擺動角速度；g為重力加速度；m為倒立擺擺桿的質量；l為擺桿轉動軸心到桿質心的長度；M為小車質量；倒立擺系統的數學模型中a為與倒立擺質量、小車質量及擺長有關的量，其大小為：a=l/(m+M)。圖1為一級倒立擺系統示意圖。

圖1　一級倒立擺系統示意圖

2Sugeno模糊模型

Takagi和Sugeno于1985年曾經提出了一種T-S模糊模型，后來研究者稱之為Sugeno模糊模型，它是一種本質非線性模型，宜于表達復雜系統的動態特性。Sugeno模糊模型輸出為常量或線性函數，其函數形式為：

y=a或y=ax+b

(2)

取ZR為很小的模糊集，則可得Sugeno型模糊模型規則為：

if x1isZRandx2isZRTHEN

(3)

3基于Sugeno模糊模型的倒立擺模糊控制

當倒立擺系統的擺角和擺速在一定范圍變化時，可分別采用三個模糊集“負、零、正”，即“NG、ZR、PO”對倒立擺系統的數學模型進行模糊化，從而實現非線性系統的局部線性化。

式(1)的數學模型中，在(x1，x2)平面上對倒立擺系統的數學模型方程進行模糊分割，分成3×3的柵格，針對x1和x2，分別取NG，ZR，PO三個模糊集合，可得七條Sugeno型模糊規則,規則如下：

當倒立擺系統的擺角和擺速很小時，sin(x1)→x1，cos(x1)→1，則由(1)式所表示的倒立擺系統的數學模型可近似寫為

(4)

對倒立擺系統模型進行局部線性化，可得到如下5個線性化方程：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

可見，7條Sugeno型模糊規則可以合并為5條模糊規則。取倒立擺系統的參數為：m=2.5kg,M=9kg,l=0.5m，將該參數值及x1和x2的值分別代入式(5)至式(11)，可得到模糊規則所對應的倒立擺系統數學模型的系統矩陣A及輸入矩陣B。

4系統控制仿真

對每個區域選擇期望的閉環極點(-15±8i)，采用u=-Fx的反饋控制，利用matlab軟件中的極點配置函數place(A,B,P),可以得到5個子系統的反饋增益矩陣：

F1=[-4295.8-422.5]；F2=[-4282.8-422.5]；F3=[-4406.7-433.5]；F4=[-4406.7-432.7]；F5=[-4406.7-434.4]。

設系統初值為：x=[0.350.69]T，仿真結果如下圖所示：

圖2　擺角及擺速的狀態響應

圖3　控制輸入信號

圖4　角度和角速度的隸屬函數

從圖2可以看出倒立擺系統的狀態變量擺角和擺動角

速度大約在0.3s可達到穩定，過渡時間較短且超調量也不大，0.3s后系統的狀態變量穩定地收斂于零，由此可知該方法可以實現擺桿的倒立平衡控制，控制效果達到了預定要求。

5結論

采用基于Sugeno模糊模型的倒立擺模糊控制方法，運用多個簡單線性系統控制器通過模糊推理得到全局控制器，從而達到控制倒立擺非線性系統的目的，仿真結果證明了該方法的有效性，同時該方法體現了良好的全局控制性能和設計方法的靈活性。

參考文獻

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Study of Fuzzy Control of the Inverted-pendulum

Zhou Qunli

(School of Electrical Engineering, Wuhu Vocational College of Technology, Wuhu, Anhui 241006, China)

Then pole assignment state feedback controller was designed to control the inverted pendulum system. The simulation results prove the effectiveness of the proposed method.

Key words：Sugeno fuzzy model; inverted pendulum; fuzzy control

Class No.:TP273+.4Document Mark：A

(責任編輯：鄭英玲)