數字電感轉換器的一種自適應數據擬合方法

（西安郵電大學 通信與信息工程學院，西安 710061）

數字電感轉換器（以下簡稱傳感器）是一種新型的電渦流傳感器，其輸入值為導體相對線圈的位移量x，輸出值為線圈系統的并聯諧振阻抗的變化值經傳感器內置模數轉換模塊轉化而來的數字量y。傳感器的輸出值因與導體相對線圈的位移量的不同而不同，可以表示為位移量x的一元多項式，并采用多項式回歸[1]來建立數學模型。

為了獲得模型系數，典型的做法是在確定了多項式的階數后采用最小二乘法求出系數[2]。然而，模型階數的選擇卻沒有一個很好的解析方法。從理論上說，階數越高，得到的擬合曲線越完美。但是，如果多項式的階數過高，雖然擬合效果好，但由于高階多項式Runge現象[3]的存在，導致擬合后的曲線不能很好地反映數據點變化的統計規律，對于新的觀測點而言，它的預測功能就會變弱。而階數選擇過小，則會影響擬合效果。因此采用多項式模型進行數據擬合[4-6]時存在一個合理選擇階數的問題。

有人提出自適應最小二乘法來確定模型階數[7]，求解多項式系數。用最小二乘法求解系數是假設樣本的自變量是非隨機的，而樣本因變量y由于受到隨機擾動量的影響而隨機波動，即認為散點之所以偏離線性方程完全是因為散點在因變量的方向上下波動而不是由于在自變量和因變量2個方向上波動所共同造成的。鑒于此，提出一種基于幾何距離準則[8-9]下的自適應數據擬合方法求取散點的最佳擬合曲線。

1 幾何距離準則下的自適應數據擬合

1.1 幾何距離準則

假定傳感器測量數據組（x，y）所滿足的n階多項式的模型形式為

令 x1=x，x2=x2，…，xn=xn，則式（1）可變為以下超平面：

對數據組（x，y）擬合的實際問題變為在n維空間中采用以上超平面進行擬合數據。采用超平面的選擇標準為數據到超平面的距離平方和最小。

定義數據點到超平面的距離：

為數據點到超平面的幾何距離。

定義數據擬合的評價函數：

稱min J為幾何距離和最小準則，簡稱為幾何距離準則。

1.2 算法步驟

采用多項式進行數據擬合前，為了使測量數據不影響擬合曲線的特性，在擬合前需對測量數 據進行重構。 設數據對為原始數據（xi，yi）經過重構后的數據，其中i=1，2，…，N。

1.2.1 算法思路

對于給定n階多項式模型，先在幾何距離準則下求取模型參數，文獻[5]給出了在幾何距離準則下求取模型參數的方法，這里不再贅述。對得到的擬合數據進行自適應迭代，當迭代達到一定次數時，計算擬合數據與原始數據的RMS值，RMS越小，擬合數據與原始數據越接近，擬合效果越好[10]。逐階執行這一過程。選擇RMS最小時的n作為數據的最佳擬合曲線的階數。實際中，高階多項式不穩定，所以此算法中n的取值在2～10之間。綜合以上思路，給出算法基本流程如圖1所示。

圖1 算法流程Fig 1 Flow chart of algorithm

1.2.2 自適應過程

2 仿真實驗

2.1 數據采集

根據傳感器工作原理可知，位移量的變化引起傳感器中并聯諧振阻抗變化，這種變化經過傳感器自帶的LDC1000模數轉換后保存在寄存器中。本次數據采集設定傳感器線圈為默認線圈，由于傳感器可感應的最大感應距離為傳感器線圈的直徑，因此設定導體相對線圈位移量變化范圍為0～3 mm，每次測量調整位移間隔量為0.1 mm，記錄軟件顯示穩定時的y值。來回反復測量50組，取平均值后記錄如表1所示。

表1 測量數據的平均值Tab.1 Average of the measurement data

表1中，x為導體相對線圈的位移量，單位mm；y為傳感器穩定后對線圈系統的并聯諧振阻抗經模數轉換后的顯示值，無量綱。傳感導體材料為鐵，形狀為頂面螺旋上升的柱體。受趨膚效應的影響，導體在感應點x=0.0 mm、0.1 mm、0.2 mm及3.0 mm 4個點處所記錄的數據誤差比較大，該誤差為實際誤差，為了數據的可靠性，剔除這4個位移量的測量數據。其余所給出的測量數據為可靠數據，可用于數據擬合。

2.2 算法仿真

算法仿真基于Matlab軟件仿真平臺，選取參量T 分別為 1，10，40，70，100， 多項式次數 n 取 2～10。仿真結果如表2所示。

表2中，實際仿真程序采用了2～10次多項式擬合。其中n=7，9，10的情況，不符合擬合條件，故認為數據不適合采用該多項式擬合，故未列出。分析 n=2，3，4，5，6，8 時的情況，除了在 T=1 時，n=2 時RMS值比n=3時RMS值小，其余情況均為n=3時RMS最小?？梢哉J為3次多項式擬合曲線為數據的最佳擬合曲線。

表2 T值與n值不同時擬合數據與測量數據的RMS值Tab.2 RMS value between fifting data and measurement data when T and n is diffent

為進一步分析3次多項式對數據的擬合效果，給出在n=3時不同的迭代次數下擬合曲線圖 （圖2），以及迭代100次時，擬合曲線與原始數據的RMS值的變化圖（圖3）。

圖2 n=3時，不同的迭代次數下的擬合曲線Fig.2 Fitting curve when n=3 and T is different

圖3 n=3 T=100時的RMS散點Fig.3 When n=3 T=100 RMS scatter plot

通過圖3可以看出，隨著迭代次數的增加擬合曲線與原始曲線的RMS值不斷的變小，當在T=100左右的時候，基本趨近于平穩。這種變化在圖2中隨著迭代的增加，擬合曲線與原始數據逐步逼近趨勢相一致。圖2和圖3充分驗證了該算法的可行性，證明了該算法所得到的多項式擬合曲線為最優擬合曲線。

3 結語

本文提出了在幾何距離平方和最小準則下自適應數據擬合方法對傳感器靜態標定數據對進行散點擬合，通過仿真驗證，該算法合理可行，具有較快的收斂速度。

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