改進(jìn)的計(jì)算階比跟蹤及其應(yīng)用

第一作者 明安波 男，博士生，1986年生

改進(jìn)的計(jì)算階比跟蹤及其應(yīng)用

明安波1,2，張煒2，秦朝燁1，褚福磊1

(1．清華大學(xué) 摩擦學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100084；2．第二炮兵工程大學(xué)，西安710025)

摘要：針對(duì)傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤在勻速以及轉(zhuǎn)速變化較小時(shí)存在計(jì)算奇異的問(wèn)題，提出了基于三次樣條插值的改進(jìn)計(jì)算階比跟蹤。該方法根據(jù)累積轉(zhuǎn)角與時(shí)間呈單增函數(shù)關(guān)系，將時(shí)間表示為累積轉(zhuǎn)角的函數(shù)后，采用三次樣條插值方法進(jìn)行求解，可實(shí)現(xiàn)任意工況下等角度重樣時(shí)間的估計(jì)。由仿真信號(hào)和實(shí)驗(yàn)信號(hào)驗(yàn)證了該方法在不同轉(zhuǎn)頻變化時(shí)的有效性。結(jié)果表明：改進(jìn)方法解決了傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤在勻速以及轉(zhuǎn)速變化較小時(shí)存在的計(jì)算奇異問(wèn)題，拓展了計(jì)算階比跟蹤的應(yīng)用范圍，具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：變轉(zhuǎn)速；計(jì)算階比跟蹤；三次樣條插值

收稿日期：2014-01-02修改稿收到日期：2014-03-12

中圖分類號(hào):TH165文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Improved computing order tracking method and its applications

MINGAn-bo1,2,ZHANGWei2,QINZhao-ye1,CHUFu-lei1(1. State Key Laboratory of Tribology, Tsinghua University, Beijing 100084, China；2. The 6th Department, The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China)

Abstract:To overcome the computation singularity problem that the traditional computing order tracking (COT) method is not able to estimate the re-sampling time when a rotor system rotates with an invariable frequency or slow-variable frequency, an improved COT method was proposed based on the cubic spline interpolation. Since the cumulated rotation angle increased monotonically with time passing, the time variable was expressed as a function of the cumulated rotation angle based on the principle that the inverse function of a monotonic function inevitably exists. The cubic spline interpolation method was used to solve the equations and the re-sampling times of equal angles were estimeted under arbitrary rotation condition. Simulated signals and test ones were used to validate the effectiveness of the improved COT method under various rotation conditions. The results showed that the improved COT method can be used to solve the computation singularity probem of the traditional COT method at a constant rotating speed or a slowly-varying one, and it extends the application range of the COT method, so it is more valuabe in engineering applications.

Key words: varying rotating speed; computing order tracking; cubic spline interpolation

振動(dòng)信號(hào)監(jiān)測(cè)是旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷中的重要手段之一，對(duì)設(shè)備的安全、有效運(yùn)行具有極大的保障作用。傳統(tǒng)的振動(dòng)信號(hào)分析方法大多是基于勻轉(zhuǎn)速假設(shè)提出的。以滾動(dòng)軸承的故障診斷為例，現(xiàn)有的診斷方法，如包絡(luò)分析[1-3]，循環(huán)平穩(wěn)分析[4-8]等都只適用于勻速工況下軸承故障特征頻率的提取。變化的轉(zhuǎn)速會(huì)導(dǎo)致這些方法的結(jié)果出現(xiàn)頻率模糊現(xiàn)象，難以提取故障特征。但工程應(yīng)用表明，由于載荷波動(dòng)、轉(zhuǎn)速變化以及瞬態(tài)沖擊等因素的影響，勻轉(zhuǎn)速假設(shè)在大多數(shù)情況下并不適用[9]。但故障特征多與系統(tǒng)轉(zhuǎn)速相關(guān)，而且變速工況比勻速工況更容易誘發(fā)和突顯故障[10]。因此，將傳統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)分析方法推廣到變轉(zhuǎn)速工況，提出適用于任意轉(zhuǎn)速變化的特征提取方法將對(duì)設(shè)備的狀態(tài)監(jiān)測(cè)和故障診斷具有重要意義。

Potter等[11]提出階比跟蹤(Order Tracking，OT)法，對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行等角度重采樣后再進(jìn)行譜分析，可將變轉(zhuǎn)速工況下與轉(zhuǎn)速相關(guān)的信號(hào)成分轉(zhuǎn)化為階比譜上具有較好能量集中性的離散譜線，消除了將原信號(hào)直接進(jìn)行譜分析導(dǎo)致的頻率模糊現(xiàn)象。這種最初的階比跟蹤需要通過(guò)光電脈沖角度編碼器或鎖相倍頻電路等鍵相裝置實(shí)現(xiàn)信號(hào)的等角度采樣，不僅成本高、系統(tǒng)復(fù)雜，而且在轉(zhuǎn)速變化較快時(shí)還易出錯(cuò)。Fyfe等[12-13]通過(guò)增加鍵相脈沖信號(hào)的方式，提出計(jì)算階比跟蹤(Computing Order Tracking，COT)。該方法先按等時(shí)間間隔采集振動(dòng)信號(hào)，然后根據(jù)鍵相脈沖信號(hào)估計(jì)出等角度重采樣對(duì)應(yīng)的時(shí)間，并采用插值的方法得到等角度重采樣的振動(dòng)信號(hào)，有效地改善了階比跟蹤的應(yīng)用效果。發(fā)展至今，計(jì)算階比跟蹤已分為有鍵相信號(hào)與無(wú)鍵相信號(hào)兩大類。無(wú)鍵相信號(hào)的計(jì)算階比跟蹤需要先從振動(dòng)信號(hào)中估計(jì)出轉(zhuǎn)速的變化，隨后根據(jù)該轉(zhuǎn)速曲線計(jì)算等角度重采樣的時(shí)間[14-16]。但一般情況下，鍵相信號(hào)對(duì)轉(zhuǎn)速變化的描述比從信號(hào)中估計(jì)的結(jié)果更準(zhǔn)確，且大多數(shù)重要設(shè)備都具有轉(zhuǎn)速監(jiān)測(cè)功能，客易得到轉(zhuǎn)速脈沖。因此，有鍵相信號(hào)的計(jì)算階比跟蹤在工程實(shí)際中廣泛應(yīng)用。

無(wú)論是否具有鍵相信號(hào)，等角度重采樣時(shí)間的估計(jì)是階比跟蹤計(jì)算的必需且關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。現(xiàn)有方法是在勻角加速假設(shè)前提下，將轉(zhuǎn)角表達(dá)為Q(t)=b0+b1t+b2t2的形式，估計(jì)出系數(shù)b0，b1和b2后，反求出等角度重采樣時(shí)刻。但該方法在角加速度較小或勻速時(shí)會(huì)出現(xiàn)計(jì)算奇異，不能有效地估計(jì)出等角度重采樣的時(shí)間，極大地限制了其應(yīng)用范圍。而工程實(shí)際中，設(shè)備很難長(zhǎng)時(shí)間處于非常簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)速工況。因此，為適應(yīng)較“復(fù)雜”轉(zhuǎn)速工況下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的故障特征提取，提出基于三次樣條插值的計(jì)算階比跟蹤法，用于解決任意轉(zhuǎn)速工況下等角度重采樣時(shí)間的估計(jì)問(wèn)題。結(jié)果表明，改進(jìn)的計(jì)算階比跟蹤能在轉(zhuǎn)速變化較小或其它更復(fù)雜的轉(zhuǎn)速變化情況下，有效地估計(jì)出等角度重采樣的時(shí)刻，實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜工況下角域信號(hào)重采樣，拓展了計(jì)算階比跟蹤的應(yīng)用范圍，具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。

1傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤

傳統(tǒng)的計(jì)算階比跟蹤基于勻角加速假設(shè)，將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的累積轉(zhuǎn)角描述為:

θ(t)=b0+b1t+b2t2

(1)

式中:b0，b1和b2為系數(shù)。當(dāng)知道3個(gè)不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角，如

(2)

式中:ΔΦ為根據(jù)鍵相脈沖得到轉(zhuǎn)角變化值，可建立如下方程組

(3)

通過(guò)矩陣求逆，解得系數(shù)b0，b1和b2，得到任意角度與時(shí)間的表達(dá)式

(4)

由式(4)可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子勻速運(yùn)行或角加速度很小時(shí)，式(4)中b2=0或b2?0，式(4)會(huì)出現(xiàn)奇異，導(dǎo)致計(jì)算失敗，以致不能得到相應(yīng)的等角度重采樣時(shí)刻。因此，提出適用于任意工況的計(jì)算階比跟蹤法非常必要。

2改進(jìn)方法

工程實(shí)際中，轉(zhuǎn)子的累積轉(zhuǎn)角是時(shí)間的單調(diào)遞增函數(shù)。根據(jù)單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，其反函數(shù)必然存在。由于計(jì)算階比跟蹤的關(guān)鍵環(huán)節(jié)為估計(jì)等角度重采樣的時(shí)刻，因此不妨設(shè)

(5)

當(dāng)求得全部系數(shù){ak，k=0，1，2，…}后即可直接求出任意角度對(duì)應(yīng)的時(shí)刻。因此，任意等角度重采樣時(shí)刻的估計(jì)即轉(zhuǎn)變?yōu)槿缦聠?wèn)題：已知區(qū)間[θ0，θn]上n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)θ0<θ1<…<θn的函數(shù)值t(θi)=ti，(i=0，1，2，…，n)，求區(qū)間內(nèi)任意等角度序列{θk∈[θ0，θm]，k=0，1，2，…，m}的函數(shù)值。顯然，這是一個(gè)多項(xiàng)式插值問(wèn)題，可采用拉格朗日插值或牛頓插值法求解。但高次插值會(huì)出現(xiàn)“龍格”現(xiàn)象，導(dǎo)致插值兩端出現(xiàn)較大的誤差。為實(shí)現(xiàn)曲線的平滑擬合，采用三次樣條插值對(duì)t(q)進(jìn)行求解。

三次樣條插值函數(shù)的本質(zhì)是分段三次多項(xiàng)式，在每個(gè)小區(qū)間上都是一個(gè)不超過(guò)3次的多項(xiàng)式，且在插值節(jié)點(diǎn)上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。在每個(gè)小區(qū)間[θk，θk+1]，k=0，1，2，…，n-1上可以表示為

ti(θ)=aiθ3+biθ2+ciθ+di

i=1,2,…,n

(6)

式中：ai，bi，ci和di為待定系數(shù)。由此可有

(7)

由式(7)可知，求解t(θ)共有4n個(gè)待定參數(shù)。根據(jù)插值函數(shù)t(θ)在[θ0，θn]上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件，在節(jié)點(diǎn)θi，i=1，2，…，n-1處應(yīng)滿足連續(xù)性條件

t(k)(θi-0)=t(k)(θi+0),k=0,1,2

(8)

共3(n-1)個(gè)條件，加上(n+1)個(gè)插值條件t(θi)=ti，(i=0，1，2，…，n)，共有4n-2個(gè)條件。因此，再增加2個(gè)條件即能確定t(θ)。通常在區(qū)間[θ0，θn]端點(diǎn)上各加一個(gè)邊界條件。根據(jù)工程實(shí)際的需要，可選擇已知一階或二階導(dǎo)數(shù)值。即

(9)

(10)

三次樣條插值函數(shù)可以有多種表達(dá)式，可采用“三彎矩算法”或“三轉(zhuǎn)角算法”求解。這里按“三彎矩算法”求解[17]。

(11)

式中：hi=θi-θi-1。式(11)積分兩次，并利用插值條件

ti(θi-1)=ti-1,ti(θi)=ti

(12)

可得

i=1,2,…,n,θ∈[θi-1,θi]

(13)

當(dāng)求出Mi，i=0，1，2，…，n，即可得到t(θ)的具體表達(dá)式。

對(duì)ti(θ)求導(dǎo)，并利用其在插值區(qū)間[θ0，θn]內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件，即

i=1,2,…,n-1

(14)

就可得到一個(gè)關(guān)于Mi-1，Mi和Mi+1的方程

(15)

兩邊乘以6/(hi+hi+1)，可得

μiMi-1+2Mi+λiMi+1=di

i=1,2,…,n-1

(16)

式中:

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

可得

(22)

式中:μi+λi=1，且μi≥0，λi≥0，系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，非奇異，存在唯一解。因此，通過(guò)矩陣求逆即可求得{Mi，i=0，1，…，n}。最后將{Mi，i=0，1，…，n}代入式(13)即解得與任意角度與時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

與式(4)相比，式(13)的為多項(xiàng)式求和表示，在計(jì)算中不會(huì)出現(xiàn)奇異問(wèn)題。對(duì)于工程實(shí)際中的機(jī)械設(shè)備，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角變化通常不會(huì)出現(xiàn)變化非常大的突變點(diǎn)，因此，所提出的方法可實(shí)現(xiàn)任意等角度重采樣時(shí)刻的估計(jì)。

3仿真分析

為驗(yàn)證方法的有效性，將改進(jìn)的計(jì)算階比跟蹤應(yīng)用于多種轉(zhuǎn)速工況下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的仿真信號(hào)分析。不失一般性，仿真信號(hào)采用Fourier級(jí)數(shù)形式表示

式中:θ(t)為累積轉(zhuǎn)角，即

(24)

式中：f(t)為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的輸入轉(zhuǎn)頻。仿真信號(hào)的參數(shù)設(shè)置為a0=0，a1=10，b0=10，a2=5，b2=3。鍵相脈沖為轉(zhuǎn)子每旋轉(zhuǎn)一周，產(chǎn)生一個(gè)脈沖。轉(zhuǎn)換到角域時(shí)，信號(hào)的采樣階比為500(轉(zhuǎn)子每旋轉(zhuǎn)一周等角度采集500個(gè)點(diǎn))。

3.1勻速工況

理想勻速工況下，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)頻為常數(shù)。令

f(t)=30,t∈[0,5]

(25)

則可根據(jù)式(23)得到勻速工況下的仿真信號(hào)。將傳統(tǒng)的計(jì)算階比跟蹤與改進(jìn)方法同時(shí)應(yīng)用于仿真信號(hào)，則得到圖1(b)所示的角域信號(hào)。為便于對(duì)比，變換到角域的信號(hào)仍采用時(shí)間作為橫坐標(biāo)。

從圖1(b)中可以看出，傳統(tǒng)的計(jì)算階比跟蹤得到的角域信號(hào)在一些區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)“空白”，表明計(jì)算過(guò)程中存在奇異。然而，本方法在這些區(qū)域任能正確地給出相應(yīng)的角域信號(hào)。理論上，傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤在勻速工況下應(yīng)在全部分析時(shí)段內(nèi)都出現(xiàn)奇異(式(4)中系數(shù)b2為0)，但圖1(b)的結(jié)果表明在某些區(qū)域內(nèi)，傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤仍是有效的。該現(xiàn)象可能是由于計(jì)算誤差以及信號(hào)的數(shù)字化引起的。但這兩個(gè)因素均不能解決傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤在勻速工況中應(yīng)用的本質(zhì)問(wèn)題，因此，不可避免地會(huì)出現(xiàn)計(jì)算奇異。

3.2線性加速工況

令轉(zhuǎn)頻信號(hào)為

f(t)=20+0.05t,t∈[0,5]

(26)

則按式(23)可得到轉(zhuǎn)頻按線性加速變化時(shí)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)仿真信號(hào)。對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)頻曲線與角域信號(hào)見(jiàn)圖2。

圖1 勻速工況下的仿真信號(hào)Fig.1Simulationofthestablecondition圖2 線性加速工況下的仿真信號(hào)Fig.2Simulationofthelinearacceleraterotatingfrequency圖3 線性減速工況下的仿真信號(hào)Fig.3Simulationofthelineardecreasingrotatingfrequency

由圖2(b)可知，由于轉(zhuǎn)頻的線性加速度較小，傳統(tǒng)的計(jì)算階比跟蹤結(jié)果在[1.05，1.15] s內(nèi)出現(xiàn)較大的“空白”區(qū)，說(shuō)明該時(shí)段的等角度重采樣時(shí)間估計(jì)出現(xiàn)計(jì)算奇異。本方法在該時(shí)段內(nèi)仍有效。

3.3線性減速工況

令轉(zhuǎn)頻信號(hào)為

f(t)=30-0.05t,t∈[0,5]

(27)

則按式(23)可得到轉(zhuǎn)頻按線性減速變化時(shí)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)仿真信號(hào)。對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)頻與角域信號(hào)見(jiàn)圖3。

由圖3(b)可知，由于轉(zhuǎn)頻減速的速率較小，傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤結(jié)果在[1.47，1.60] s等區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)“空白”，表明該區(qū)域的等角度重采樣的估計(jì)出現(xiàn)計(jì)算奇異。本方法在該區(qū)間內(nèi)仍有效。

3.4正弦變速工況

令轉(zhuǎn)頻信號(hào)為

f(t)=20+5sin(0.2πt),t∈[0,5]

(28)

按式(23)可得到轉(zhuǎn)頻按正弦變化時(shí)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)仿真信號(hào)。對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)頻曲線與角域信號(hào)見(jiàn)圖4。

圖4　正弦變速工況下的仿真信號(hào) Fig.4 Simulation of the sinusoidal rotating frequency

由圖4(b)可知，當(dāng)轉(zhuǎn)頻按正弦變化時(shí)，在極值點(diǎn)附近轉(zhuǎn)頻變化較小，傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤結(jié)果在[2.45，2.55]s內(nèi)出現(xiàn)“空白”，表明等角度重采樣時(shí)間估計(jì)出現(xiàn)計(jì)算奇異。本方法在該區(qū)間內(nèi)仍有效。

3.5多項(xiàng)式變速工況

令轉(zhuǎn)頻信號(hào)為

f(t)=30-0.05t+t2,t∈[0,5]

(29)

按式(23)可得到轉(zhuǎn)頻按多項(xiàng)式變化時(shí)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)仿真信號(hào)。對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)頻曲線和角域信號(hào)見(jiàn)圖5。

圖5　多項(xiàng)式變速工況下的仿真信號(hào) Fig.5 Simulation of the polynomial rotating frequency

由圖5(b)可知，當(dāng)轉(zhuǎn)頻按多項(xiàng)式變化時(shí)，在起始段內(nèi)轉(zhuǎn)頻變化較小，傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤結(jié)果在[0.17，0.20] s和[0.33，0.37] s內(nèi)出現(xiàn)“空白”，表明等角度重采樣時(shí)間估計(jì)出現(xiàn)計(jì)算奇異。本方法在該區(qū)間內(nèi)仍有效。

4應(yīng)用實(shí)例

圖6為實(shí)驗(yàn)采用的故障仿真器。系統(tǒng)由變頻電機(jī)通過(guò)聯(lián)軸器驅(qū)動(dòng)，轉(zhuǎn)速脈沖由光電傳感器采集，轉(zhuǎn)軸每旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生一個(gè)沖擊。轉(zhuǎn)子由兩個(gè)滾動(dòng)軸承支承于軸承座上，兩支承軸承間距約65 cm，轉(zhuǎn)子中間固定了一個(gè)偏心質(zhì)量為0.01 kg的圓盤，偏心距為8 cm，離驅(qū)動(dòng)端約18 cm處固定了一個(gè)質(zhì)量約為5 kg的圓柱塊，用于轉(zhuǎn)子加載。加速度傳感器通過(guò)磁座吸附在軸承座上。為失一般性，在驅(qū)動(dòng)端軸承上引入外圈故障，并得到外圈故障對(duì)應(yīng)的階比為3.052(以轉(zhuǎn)頻信號(hào)為基準(zhǔn))。由于故障的階比與轉(zhuǎn)子3倍轉(zhuǎn)頻非常接近，因此，實(shí)驗(yàn)過(guò)程頻域及階比域的分辨率要求較高，因此實(shí)驗(yàn)時(shí)采集時(shí)間為40 s，采樣頻率為102 400 Hz。實(shí)驗(yàn)采集了不同轉(zhuǎn)速情況的轉(zhuǎn)子振動(dòng)，并將傳統(tǒng)的計(jì)算階比跟蹤與本方法進(jìn)行對(duì)比。

圖6　機(jī)械故障仿真器 Fig.6 Machinery fault simulator

4.1勻速工況

圖7為勻速工況下的轉(zhuǎn)頻曲線與角域信號(hào)。為便于對(duì)比分析，角域信號(hào)的橫坐標(biāo)仍采用時(shí)間作變量。圖8為對(duì)應(yīng)的角域信號(hào)放大圖。由圖7和圖8可知，勻速工況下，傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤得到的角域信號(hào)會(huì)出現(xiàn)很多“空白”區(qū)，表明該方法在等角度重采樣時(shí)間估計(jì)時(shí)出現(xiàn)計(jì)算奇異。然而，改進(jìn)的階比跟蹤在這些“空白”區(qū)仍能正常給出角域信號(hào)。為進(jìn)一步說(shuō)明本方法的有效性，圖9給出了信號(hào)的頻譜與改進(jìn)方法的階比譜。由圖9(a)的頻譜可以看出，由于存在偏心質(zhì)量，信號(hào)中轉(zhuǎn)頻成分非常明顯。從圖9(b)可以看出，改進(jìn)的階比跟蹤將信號(hào)的能量進(jìn)行了重新分配，階比譜上高階部分也出現(xiàn)了非常明顯的離散譜線。由于傳統(tǒng)的計(jì)算階比跟蹤在角域出現(xiàn)計(jì)算奇異，對(duì)應(yīng)的階比譜全為“空白”。因此，階比譜的成功取得也說(shuō)明改進(jìn)方法在整個(gè)時(shí)段內(nèi)未出現(xiàn)計(jì)算奇異，表明了改進(jìn)方法在勻速工況下是有效的。

圖7　勻速工況的振動(dòng)信號(hào) Fig.7 The collected vibration signal of the constant rotating frequency

圖8　勻速工況下的角域信號(hào)放大圖 Fig.8 Zoom in view of the vibration in the angular domain

圖9　頻譜與改進(jìn)方法的階比譜 Fig.9 Spectrum and the order spectrum of the improved COT

4.2線性加速工況

圖10為線性加速工況下的轉(zhuǎn)頻曲線與角域信號(hào)。為便于對(duì)比分析，角域信號(hào)的橫坐標(biāo)仍采用時(shí)間作變量。圖11為對(duì)應(yīng)的角域信號(hào)放大圖。由圖可知，傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤得到的角域信號(hào)出現(xiàn)很多“空白”區(qū)，表明在等角度重采樣時(shí)間估計(jì)時(shí)該方法出現(xiàn)計(jì)算奇異，但改進(jìn)方法在這些“空白”區(qū)域仍是有效的。圖12為對(duì)應(yīng)的頻譜與改進(jìn)方法的階比譜。由圖可知，由于轉(zhuǎn)頻是變化的，頻譜表現(xiàn)出明顯的頻率模糊 (圖12(a))。但經(jīng)改進(jìn)的計(jì)算階比跟蹤處理后，階比譜上出現(xiàn)明顯的離散譜線，表明了方法的有效性。值得注意的是，原信號(hào)中存在100 Hz的干擾成分，由于該干擾與轉(zhuǎn)頻不相關(guān)，因此，在階比譜中擴(kuò)散為大范圍內(nèi)的小幅值干擾，該現(xiàn)象說(shuō)明階比跟蹤在削弱與轉(zhuǎn)頻不相關(guān)干擾成分方面也是有效的。

圖10　線性加速工況的振動(dòng)信號(hào) Fig.10 Collected vibration signals of the linear increasing rotating frequency

圖11　線性加速工況的角域信號(hào)放大圖 Fig.11 Zoom in view of the vibration in the angular domain

圖12　頻譜與改進(jìn)方法的階比譜 Fig.12 Spectrum and the order spectrum of the improved COT

4.3線性減速工況

圖13為線性減速工況下的轉(zhuǎn)頻曲線與角域信號(hào)。為便于對(duì)比分析，角域信號(hào)的橫坐標(biāo)仍采用時(shí)間作變量。圖14為對(duì)應(yīng)的角域信號(hào)放大圖。由圖13和圖14可知，傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤得到的角域信號(hào)出現(xiàn)很多“空白”區(qū)，表明該方法在等角度重采樣時(shí)間估計(jì)時(shí)出現(xiàn)計(jì)算奇異，而改進(jìn)方法在這些“空白”區(qū)域仍是有效的。圖15為對(duì)應(yīng)的頻譜與改進(jìn)的階比譜。由圖15可知，由于轉(zhuǎn)頻是變化的，頻譜呈現(xiàn)出明顯的頻率模糊現(xiàn)象，但經(jīng)過(guò)改進(jìn)的計(jì)算階比跟蹤處理蝗，階比譜上出現(xiàn)了明顯了離散譜線，與轉(zhuǎn)頻不相關(guān)的干擾也得到削弱，表明了方法的有效性。

圖13　線性減速工況的振動(dòng)信號(hào) Fig.13 Collected vibration signals of the linear decreasing rotating frequency

圖14　線性減速工況的角域信號(hào)放大圖 Fig.14 Zoom in view of the vibration in the angular domain

圖15　頻譜與改進(jìn)方法的階比譜 Fig.15 Spectrum and the order spectrum of the improved COT

圖16　三角波轉(zhuǎn)頻工況的振動(dòng)信號(hào) Fig.16 Collected vibration signals of the triangular rotating frequency

圖17　線性減速工況的角域信號(hào)放大圖 Fig.17 Zoom in view of the vibration in the angular domain

圖18　頻譜與改進(jìn)方法的階比譜 Fig.18 Spectrum and the order spectrum of the improved COT

4.4三角波轉(zhuǎn)頻工況

圖16為轉(zhuǎn)頻按三角波變化工況下的轉(zhuǎn)頻曲線與角域信號(hào)。為便于對(duì)比，角域波形的橫坐標(biāo)仍采用時(shí)間變量。圖17為對(duì)應(yīng)的角域信號(hào)放大圖。由圖16和圖17可知，傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤得到的角域信號(hào)出現(xiàn)很多“空白”區(qū)，表明該方法在等角度重采樣時(shí)間估計(jì)時(shí)出現(xiàn)計(jì)算奇異，而改進(jìn)的方法在這些“空白”區(qū)內(nèi)仍能有效得到相應(yīng)的角域信號(hào)。圖18為信號(hào)的頻譜與改進(jìn)方法的階比譜。由圖18可知，由于轉(zhuǎn)頻是時(shí)變的，因此，信號(hào)的頻譜呈現(xiàn)大范圍的頻率模糊現(xiàn)象。但通過(guò)計(jì)算階比跟蹤后，階比譜上出現(xiàn)非常明顯的離散譜線，表明了方法的有效性。

圖19　復(fù)雜轉(zhuǎn)頻工況的振動(dòng)信號(hào) Fig.19 Collected vibration signals of a complicated rotating frequency

圖20　復(fù)雜轉(zhuǎn)頻工況的角域信號(hào)放大圖 Fig.20 Zoom in view of the vibration in the angular domain

圖21　頻譜與改進(jìn)方法的階比譜 Fig.21 Spectrum and the order spectrum of the improved COT

4.5復(fù)雜轉(zhuǎn)頻工況

圖19為一較復(fù)雜工況下的轉(zhuǎn)頻曲線與角域信號(hào)。為便于對(duì)比，角域信號(hào)的橫坐標(biāo)仍采用時(shí)間作變量。與前面的實(shí)驗(yàn)相比，該實(shí)驗(yàn)的轉(zhuǎn)頻變化相對(duì)復(fù)雜，將其分為較簡(jiǎn)單的工況分別進(jìn)行分析幾乎不可能，因此，不得不將整段信號(hào)進(jìn)行階比跟蹤。圖20為對(duì)應(yīng)的角域信號(hào)放大圖。由圖19和圖20可知，傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤得到的角域信號(hào)出現(xiàn)了一些“空白”區(qū)，表明該方法在等角度重采樣時(shí)間估計(jì)時(shí)出現(xiàn)計(jì)算奇異。然而改進(jìn)方法在這些區(qū)域內(nèi)仍然有效。圖21為振動(dòng)信號(hào)的頻譜與階比譜。為突出對(duì)比結(jié)果，圖21只給出低頻以及較低階比的幅值譜。由圖21可知，由于轉(zhuǎn)頻存在波動(dòng)，振動(dòng)信號(hào)在頻譜上呈現(xiàn)頻率模糊。但經(jīng)過(guò)計(jì)算階比跟蹤處理后，階比譜上呈現(xiàn)出具有較好能量集中的離散譜線，表明了該方法在較復(fù)雜工況中的有效性。

5結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤方法在勻速或者轉(zhuǎn)速變化較小的工況中估計(jì)等角度重采樣時(shí)間會(huì)出現(xiàn)計(jì)算奇異的問(wèn)題，根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)累積轉(zhuǎn)角與時(shí)間的呈單調(diào)函數(shù)的關(guān)系，提出了基于三次樣條插值的改進(jìn)計(jì)算階比跟蹤方法。該方法將時(shí)間變量表示為累積轉(zhuǎn)角的多項(xiàng)式函數(shù)后，采用三次樣條插值方法求解多項(xiàng)式系數(shù)，可得到任意情況下轉(zhuǎn)角與時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。進(jìn)一步采用仿真與實(shí)驗(yàn)信號(hào)驗(yàn)證了該方法在勻速工況、線性加速工況、線性減速工況以及其它較復(fù)雜轉(zhuǎn)頻變化工況下的適用性能，并與傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明：改進(jìn)的計(jì)算階比跟蹤在給出的工況中均能正常應(yīng)用，有效地克服了傳統(tǒng)計(jì)算階比跟蹤在勻速以及轉(zhuǎn)頻變化較小的工況中存在計(jì)算奇異的問(wèn)題，拓展了計(jì)算階比跟蹤的應(yīng)用范圍，具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。

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