應用通用程序計算深覆蓋土層地震反應的幾個問題

第一作者 樓夢麟 男，博士，教授，博士生導師，1947年生

應用通用程序計算深覆蓋土層地震反應的幾個問題

樓夢麟，邵新剛

(同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海200092)

摘要：討論了利用ANSYS和LS-DYNA程序進行深覆蓋土層地震反應時域計算時所涉及的幾個問題。綜合前期研究成果，通過對比通用程序的數值計算結果，分析了數值計算時土層計算范圍的選取及單元網格劃分、阻尼矩陣的形成等對計算精度的影響。分析結果表明：在確定深覆蓋土層阻尼矩陣的比例系數時，土層基頻與地震激勵主要特征頻率之間的關系是一個重要影響因素，當前者小于后者，特別是遠小于后者時，應基于土層的基頻與地震激勵的主要特征頻率來形成阻尼矩陣的比例系數；豎向、橫向網格尺寸及人工邊界的選取會對計算的結果造成顯著影響。

關鍵詞：深覆蓋土層；地震反應；土層范圍；有限元網格；Rayleigh阻尼矩陣

基金項目：國家科技支撐項目(2011BAG07B01);國家自然科學

收稿日期：2013-09-30修改稿收到日期：2014-06-19

中圖分類號:TU449文獻標志碼： A

Several problems in seismic response calculation of soil layer with deep deposit using general software

LOUMeng-lin,SHAOXin-gang(State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract:Several problems in seismic response analysis of soil layer with deep deposit were discussed using ANSYS and LS-DYNA. The effects of some factors, such as, selection of calculation scope of soil layer, division of mesh elements, formation of damping matrix, etc. calculation accuracy were analyzed by comparing the numerical results obtained with the general programs. Numerical examples demonstrated that the relationship between the fundamental frequency of soil layer and the predominant frequency of earthquake excitation is an important factor to affect calculation accuracy; when the former is smaller than the latter, especially, much smaller than the latter, the proportional coefficients in damping matrix should be formed with the two frequencies; the vertical and horizontal grid sizes and the selection of artificial boundary have a significant influence on calculation results.

Key words: soil layer with deep deposit; seismic response; scope of soil layer; finite element mesh; Rayleigh damping matrix

復雜場地的土層地震反應分析對合理確定上部結構的地震動輸入參數有重要意義[1]，是進行重要工程場地地震安全性評價工作的主要環節之一[2]。在進行土層地震反應的確定性分析時，通常有兩種分析方法，即時域分析方法和頻域分析方法。在進行時域分析時，一般采用粘滯阻尼假定，即阻尼力與質點的運動速度成正比，通過求解實系數微分方程組，可求得各土層各自由度地震反應的時程。而在頻域分析時，通常采用Fourier變換，通過求解復代數方程組，可求得土層地震反應的穩態解，此時一般采用滯后阻尼假定。這兩種分析方法各有不同的適用范圍，采用頻域法時，可以方便地對線性體系的土層地震反應進行計算，但對于非線性土層地震反應的分析只能采用等效線性化方法[3]，無法進行真非線性分析。而時域分析方法能夠適應非線性體系地震反應分析的不同要求，既可以采用等效線性化的分析方法，也可以采用真非線性分析方法[4]。除了簡單體系如梁、柱等外，一般工程動力體系地震反應的時域計算多采用直接積分法，一般又分為隱式算法和顯式算法。不同特點的程序采用不同方法，如在當前應用廣泛的ANSYS程序中采用了隱式直接積分的算法，而在LS-DYNA程序中采用的是顯式直接積分的算法[5]。深覆蓋土層(泛指土層厚度50 m以上或基本周期1 s以上的土層)地震反應分析時地震工程中經常遇到的問題，針對應用ANSYS和LS-DNYA兩個通用程序進行深覆蓋土層地震反應分析時所涉及的幾個問題進行討論。

1有限土層計算范圍

在實際工程應用中，常把無限域中的地震波傳播問題轉化為離散體系的振動問題，因此需要合理地把半無限域轉化為有限土層的計算體系，本節重點討論土層地震反應計算中首先遇到的土層計算范圍有限化的問題，一般需解決以下幾個問題。

1.1地震輸入面的確定

在土層的地震反應分析中，有時并不在基巖面輸入地震波，采用在土層的假想基巖面處輸入地震波的方式計算土層的動力反應。工程中常按以下原則確定假想基巖面[6]：假想基巖面下臥各層巖土的剪切波速均不小于500 m/s；當地面5 m以下存在剪切波速大于其上部各土層剪切波速2.5 m/s的土層，且該層及下臥各層巖土的剪切波速均不小于400 m/s時，可按地面至該土層頂面的距離確定。文獻[7]中以上海地區的4個不同深度鉆孔為例計算了不同假想基巖面時土層的自振周期和地震反應。數值結果表明：以土層剪切波速500 m/s作為假想基巖面的判別依據并不科學，有時會產生50%左右的計算誤差且無規律可言。這是因為土層深度的改變會使土層的自振頻率隨之變化，使得土層自振頻率與輸入地震波的頻譜特性之間的關系發生變化而致使地震反應產生不同變化；同時從本文“4”的分析中可知，土層自振頻率不同也對土層阻尼矩陣的形成產生影響，也會影響地震反應計算的準確性。在當前計算機性能大幅提升的條件下，取深覆蓋土層下臥基巖面作為土層地震反應計算的激勵面是很有必要的，下臥基巖的彈性變形對深覆蓋土層地震反應的影響可以忽略[8]。

1.2側向豎向人工邊界的選擇

在土層地震反應計算和土-結構動力相互作用問題的計算中，土層兩側的邊界(或稱豎向邊界)問題曾是廣泛關注的課題。基于計算機能力有限的前提下，人們研究了多種人工邊界，以期大幅減少計算規模，實現深覆蓋土層的動力計算。目前較常用的人工邊界有：粘性邊界、疊加邊界、旁軸邊界、一致邊界，粘彈性邊界、透射邊界等。由于粘性邊界物理意義清晰，處理方法簡單，雖然只有一階精度，但易于實現。因而一些通用程序得到應用，如在LS-DYNA程序中，有一無反射邊界(non-reflecting boundary)即為粘性阻尼邊界，其基本思想就是利用邊界阻尼力模擬無限域的影響，邊界力定義為：

σ法向=-ρcdv法向

(1)

σ切向=-ρcsv切向

(2)

式中:ρ為材料密度，cd和cs分別為壓縮波速和剪切波速，v法向和v切向分別為邊界法向及切向質點運動速度，σ法向和σ切向分別為無反射邊界作用的法向應力及切向應力。

已有研究表明[9-10]，在土層地震反應這類外源激勵問題中，粘性阻尼邊界并不具備縮減土層范圍的有效性，設置遠置側移邊界是十分必要的，建議至少應遠置5倍土層深度以外。本文以水平均勻土層與河谷地形土層為研究對象，進一步通過應用LS-DYNA計算所得的算例結果來驗證上述文獻的研究結論。

圖1所示水平均勻土層幾何尺寸與物理特性如下：土層厚度h為10 m，土介質的彈性模量391 MPa，泊松比0.35，質量密度2 000 kg/m3，阻尼比0.05，剪切波速269 m/s。以地表中點A的加速度及位移反應為研究對象，分別采用粘性邊界、側移邊界和固定邊界三種形式，邊界都在圖1的模型兩側施加。共計算了7種工況，分別取L/h=0.5、1、2.5、5、10、20和40。固定邊界是指將兩端人工邊界的節點三個方向自由度全部約束住，側移邊界是指不約束與水平地震激勵方向一致的水平自由度，約束其他方向自由度。粘性阻尼邊界即在自由人工邊界的基礎上再附加了產生阻尼力的粘性阻尼器。為了排除豎向網格對于計算精度的影響，本文考慮豎向網格d=λmin/32來進行分析，λmin是指根據地震波有效截止頻率fmax所對應的正弦波波長，本文輸入ElCentro波(見圖2，峰值調整為1m/s2)激勵，fmax取為10Hz，豎向網格均取d=1 m。

圖1　土層有限元網格圖 Fig.1 Finite element mesh of soil layer

圖2　 El Centro波 Fig.2 El Centro wave

河谷地形土層的材料參數與均勻土層相同，以河谷底部中部位置A點的加速度及位移反應為研究對象，兩側豎向人工邊界也采用粘性邊界、側移邊界與固定邊界，河谷左岸、底部和右岸的土層厚度分別為69 m、65 m和71 m，幾何尺寸見圖3。該土層設計了6種計算工況，即L1/h1=L2/h2= 2.5、5、10、20、40、60，h1=69 m，h2=71 m。豎向網格劃分規則同水平均勻土層。

圖3　河谷土層 Fig.3 River valley soil layer

1.3土層計算模型的自振頻率

三種不同人工邊界下，計算所得到的土層基頻表1。由表1可知：不同人工邊界對水平均勻土層和河谷土層基頻的計算值影響顯著。固定邊界下土層基頻最大，自由邊界最小。對于水平均勻土層來說，在側移邊界條件下，計算模型所得基頻與解析解是相同的[11]。從中可以看出：土層的兩側設為固定邊界時，對土層基頻計算結果影響最大，自由邊界次之，側移邊界對于基頻的影響最小。對于固定邊界而言，當L/h≥5時，邊界對于基頻的影響在5%以內，隨著L/h的增加，土層基頻趨近于側移邊界的。總體上看，對于兩種土層，應取L/h(L1/h1和L2/h2)≥5，與以前的分析結論相同。

表1　不同人工邊界時土層的基頻(單位:Hz)

1.4地震反應計算結果

7種不同計算范圍下水平均勻土層頂點A處的加速度峰值和位移峰值見表2。對于水平均勻土層，可通過求解波動方程得到其解析解[11]，其中加速度峰值a=2.15 m/s2，位移峰值u=1.16 mm。不同土層范圍有限元計算結果的相對誤差表示為：

(3)

式中:amax為水平均勻土層地表中點A處加速度(或位移)峰值有限元解，a*為波動解得到的地表地震加速度(或位移)峰值。加速度和位移峰值的相對誤差見表3，從中可看出7種計算工況下有限元解的近似性的變化情況。

表2　 均勻土層A點加速度峰值和位移峰值

表3　均勻土層A點加速度峰值和位移峰值的相對誤差(%)

由表2和表3數據可知，當采用固定邊界時，均勻土層地震反應的計算結果并不隨土層范圍的擴大而單調變化，這里涉及到不同的有限元土層范圍的土層自振頻率與輸入地震波頻率關系的變化因素，至少要取L為20倍土層深度h時，才能達到計算誤差控制在6%以內；而采用粘性邊界時，數值計算結果變化情況與固定邊界相類似，總體上加速度的計算結果要優于固定邊界，這是由于邊界阻尼器的設置，能夠消除部分人工邊界上的反射能量，但是效果仍不如側移邊界。對于固定邊界及粘滯邊界而言，在L/h很小時邊界范圍取值對土體基頻的影響非常顯著，這是造成在這兩種邊界條件下土層地震反應計算結果誤差很大的主要原因。特別是在自由邊界條件下，當土層范圍取得較小(如L/h≤1)時，土層基頻遠遠低于解析解，即使土層范圍取得較廣，但土層基頻仍與解析解有一定差距。我們知道，低頻分量對土層位移反應的貢獻要遠遠大于對土層加速度反應的貢獻[12]，因此自由邊界造成土層基頻變小致使在位移反應中，粘滯邊界下的位移計算精度在很多情況下不及固定邊界，特別是在L/h=0.5時，土層基頻減低1.5倍，致使位移峰值增大3倍多。而側移邊界下土層基頻并不隨L/h的變化而變化，這樣也保證了計算的精度。顯然對于水平均勻土層，無論土層范圍取多大，側移邊界下的計算精度都很好，這是因為水平地震作用下分層均勻土層地震反應分析為反對稱問題，兩側的側移邊界正好適應了這一問題的對稱性條件，因此可用兩側具有側移邊界的單排單元的土條來計算水平地震作用下分層均勻土層的地震反應[13]。

對于河谷地形土層，由于沒有解析解，以6種工況中L/h1=L/h2=60時的土層地震反應為比較基準，相關計算結果見表4、表5，可近似看出其他5種計算工況下河谷土層地震反應解的近似性。

表4　河谷土層中A點的加速度峰值和位移峰值

表5不同計算范圍時A點加速度峰值

和位移峰值的相對誤差(%)

Tab.5 Relative error of peak acceleration and displacement at point A of River valley soil layer(%)

由表4和表5可以看出，河谷地形的地表A點的加速度或者位移在20倍邊界以上時基本沒有區別，誤差很小。對于固定邊界，當L/h1=L/h2≤10時，計算結果誤差很大，粘性邊界相對于固定邊界，計算精度總體上要好很多，但是在L/h1=L/h2=2.5時，粘性邊界下土層位移反應的誤差要大于固定邊界，其原因也是自由邊界下，土層基頻下降較多。對于側移邊界，當2.5≤L/h1=L/h2≤40倍時，計算誤差都在2%以內，精度較高。

結合以前和現在的分析結果，采用ANSYS、LS-DYNA進行深覆蓋土層地震反應計算時，宜采用遠置側移人工邊界，一般單側范圍宜取土層厚度的5倍以上。土層在豎向地震激勵下的地震反應計算精度對有限范圍大小取值的敏感性不及水平激勵時突出，實際工程計算中，如要進行豎向地震輸入，必有水平地震輸入，因此按水平基底運動輸入所確定的土層有限范圍完全適用于豎向基底運動輸入時土層地震反應的計算。

2計算網格劃分的要求

對于動力分析問題，當連續介質離散為有限單元時，就有了濾波和散射作用[14]，動力分析中應重視單元劃分中的尺度問題，使得在有效激勵頻率范圍內，計算的精度得到保障。

2.1豎向網格尺寸

2.2橫向網格尺寸

3阻尼矩陣建模方式對地震反應計算的影響

3.1地震反應分析方程中的阻尼矩陣

在進行復雜土層的地震動力反應時域分析時，一般采用集中質量的有限元方法。對計算體系進行離散化處理后，可以得到如下動力方程式：

(1)

[C]=a0[M]+a1[K]

(2)

式中：a0和a1為比例常數。利用振型正交性，可得：

(3)

式中:ωm、ωn和ξm、ξn分別為計算體系第m、n階振型的自振頻率及對應的阻尼比。振型阻尼比是動力體系耗能特性的宏觀描述，對土層介質來說易于從室內土樣實驗和實測試驗中獲取。當各階振型阻尼比相同時，即ξm=ξn=ξ，上式可簡化為:

(4)

這樣由式(4)確定的第i階振型阻尼比的計算值為：

(5)

式(5)表示的第i階振型阻尼比與第i階自振頻率之間的關系(見圖4)。

圖4　振型阻尼比與頻率的關系 Fig.4 Relationship of modal damping ratio and frequency

在土動力分析中，土層體系的阻尼矩陣也常采用如下只與質量矩陣成比例或與剛度矩陣成比例的形式。

(6)

(7)

這兩種單參數阻尼矩陣所產生的各階振型阻尼比隨頻率變化的趨勢也列入圖4中。很顯然，在質量比例的阻尼矩陣下，動力體系的各階振型阻尼比隨頻率升高而降低，而在剛度比例阻尼矩陣下，動力體系的各階振型阻尼比隨頻率升高而線性增大。

由于深覆蓋土層的自振周期較長，因此其低階自振頻率遠小于基巖地震波中的主要分量的激振頻率。已有研究表明：對于這類長周期動力體系(指低階振型頻率遠小于外部動力荷載或動力作用中主要分量的激勵頻率的動力體系)在建立動力體系阻尼矩陣時，必須重視外部動力激勵中主要頻率成分的影響，對于深覆蓋土層地震反應同樣需加以關注。下面根據我們的研究成果，結合ANSYS和LS-DYNA兩個計算軟件的阻尼建模功能，介紹進行深覆蓋土層地震反應分析時合理地建立阻尼矩陣應關注的問題。

3.2ANSYS軟件

應用ANSYS程序進行深覆蓋土層地震反應計算時，可采用多種形式的阻尼矩陣，其中最常用的是式(2)所示Rayleigh阻尼和式(7)所示的剛度比例阻尼矩陣。前者為雙參數模式，后者為單參數模式。在兩種計算模式并存的情況，雙參數模式的可調控性較好，建議在進行深覆蓋土層地震反應分析時不要選用式(7)，下面討論如何選雙參數。對于一般工程結構而言，因為低階振型在結構的地震反應中起主導作用，一般選取體系基頻及其所對應的振型阻尼比來確定比例系數，即取ωm=ω1=2πf1；設ωn=2πf，如何選取f是建立Rayleigh阻尼矩陣應加以特別關注的問題。通常選取動力體系的第2階自振頻率f2或第3階自振頻率f3及其對應的振型阻尼比。我們研究[18]表明對深覆蓋土層而言，這一選取方法是不可取的，應選取基巖輸入地震波反應譜的峰值頻率fR。這樣可以保障在土層第1階振型和主要激勵頻率相近的高階振型對土層地震反應的貢獻的正確性，從而使深覆蓋土層地震反應計算更加準確。

3.3LS-DYNA軟件

應用LS-DYNA程序進行深覆蓋土層反應計算時采用顯式算法的質量比例阻尼矩陣進行直接積分，為此取：[C]=a0[M]，并建議:

a0=2ω1ξ

(8)

式中：ω1為土層的基頻，ξ為土層的振型阻尼比，一般假定土層各階振型阻尼比相同。以ω1來確定比例系數a0符合人們的常規的認識，即在結構體系地震反應中，第1階振型頻率貢獻最大。當土層基頻接近于或高于輸入地震的主要頻率分量時，顯然由于土層第1階振型的振型參與系數大，其對體系地震反應的貢獻遠大于其他高階振型，因此當第1階振型阻尼比與實際阻尼比相等時，在第1階振型地震反應計算正確得到保證的前提下，其他高階振型阻尼比偏小時使得土層地震反應的計算誤差非常有限。而當計算體系的基頻遠低于輸入地震波的主要頻率分量時，很顯然與地震波中主要頻率分量相近的土層高階振型將存在共振效應。眾所周知，共振放大因子為Di=1/(2ξi)，顯然當低估振型阻尼比時，將高估共振放大因子，從而使得該振型的地震反應計算值增大。例如當ω1/ωi=1/2時，則Di增大1倍，依此類推，此時高階振型的共振效應不可忽略。根據我們的研究成果[19]，在質量比例的阻尼模型中，應對式(8)進行修正，采用如下計算公式：

a0=2ωeξ

(9)

式中：ωe為待定的頻率參數。當土層基頻ω1小于輸入基巖地震波反應譜峰值頻率ωR(ωR=2πfR)時，建議采用取為土層基頻ω1和輸入地震波反應譜峰值頻率ωR的算術平均值，基本可保證計算所得土層加速度峰值略高于真實解。

4結論

在深覆蓋土層地震反應時域計算中，應特別關注土層有效范圍的選取、計算網格劃分、阻尼矩陣形成方式等問題，處理不當會嚴重影響計算結果的可靠性。

(1) 深覆蓋土層地震反應計算中取下臥基巖面作為土層地震反應計算的地震激勵面是很有必要的；土層計算時側移邊界的計算效果很好，宜采用遠置側移人工邊界，單側范圍一般宜取5倍以上土層厚度。

(3) 在深覆蓋土層地震反應的隱式計算中，Rayleigh阻尼矩陣建模時，除取其中一個振型頻率ωm為土層基頻外，建議另一個頻率ωn取為輸入基巖地震波反應譜的峰值頻率ωR；在顯式計算中，形成質量比例阻尼矩陣時，建議ωs取為土層基頻和輸入地震波反應譜峰值頻率的算術平均值，基本可保證計算所得土層加速度峰值略高于真實解。

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