GDQR 求解彈性地基上輸流管道的穩定性

第一作者 李威 男，副教授，1975年生

郵箱：hustliw@mail.hust.edu.cn

GDQR求解彈性地基上輸流管道的穩定性

李威1, 曾志松1, 韓旭2

(1．華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢430074； 2．湖南大學 機械與運載工程學院，長沙410082)

摘要：用廣義微分求積法(GDQR)研究了彈性地基上輸流管道的穩定性問題。基于輸流管道運動微分方程及邊界條件，采用GDQR進行離散化，獲得由動力方程組及邊界條件合成的特征值矩陣方程。通過對相應特征值方程的具體分析，計算了左端固定、右端彈性支承下輸流管道的發散失穩流速和顫振失穩流速，研究了臨界失穩流速和穩定區域隨兩端支撐彈簧剛度、扭轉彈簧剛度的變化情況，分析了質量比、雙參數模型地基反力系數和剪切模量對輸流管道穩定區域圖的影響，得到了一些有益的結論。研究結論對于工程實踐有一定的指導意義。

關鍵詞：廣義微分求積法；穩定性；輸流管道；臨界流速

基金項目：國家杰出青年科學

收稿日期：2013-09-23修改稿收到日期：2014-02-14

中圖分類號:O327文獻標志碼： A

Stability of Pipes Conveying Fluid on an elastic foundation Based on GDQR

LIWei1,ZENGZhi-song1,HANXu2(1. School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China;2. College of Mechanical and Vehicle Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

Abstract:Here, the generalized differential quadrature rule (GDQR)was applied to investigate the stability of a pipe conveying fluid on an elastic foundation. Based on the motion equations and boundary conditions of a pipe conveying fluid, the eigenvalue matrix equation was obtained after the pipe was discretized with GDQR. After analyzing the corresponding eigenvalue equations, the critical fluid’s flowing velocities for divergence and flutter of the pipe under different support conditions were calculated, the effects of translational and rotational spring stiffnesses on the critical unstable flowing velocites and the stability regions were analyzed. Meanwhile, the influences of mass ratio, reaction force coefficient and shear modulus of the two-parameter model of the foundation on the stability regions were studied, some useful conclusions were drawn. These conclusions provided a guidance for engineering practices.

Key words: generalized differential quadrature rule (GDQR); stability; pipe conveying fluid; critical velocity

輸流管道在工程領域有著廣泛的應用，國內外學者對其穩定性問題開展了大量的研究工作。其中Sugiyama等[1]研究了彈性支承對懸臂輸流管道穩定性的影響，王忠民等[2]用冪級數法分析彈性地基對輸流靜力穩定性與動力穩定性的影響，馬小強等[3]用傳遞矩陣法計算了輸流管道的臨界流速，金基鐸等[4]討論了兩端支承彈簧對輸流管道臨界流速的影響。GDQR是求解微分方程邊值、初值問題的有效的數值計算方法，該方法的替代規則中采用的獨立變量不僅包括各網點處的函數值，而且包括函數的導數項，克服了微分求積法需要在邊界點處選取微小段來進行邊界的鄰接處理，能夠精確的施加邊界條件，簡單易行，具有較高的精確度和數值穩定性。Wu等[5-7]給出了將其用于解決常見初、邊值微分方程的算例，部分學者也將其推廣用于有關力學問題的研究[8-12]。

應用GDQR求解彈性地基上輸流管道的穩定性問題，計算不同兩端支承狀態下輸流管道的發散失穩流速和顫振失穩流速，研究了臨界失穩流速和穩定區域隨兩端支撐彈簧剛度、扭轉彈簧剛度的變化情況，分析了質量比、雙參數模型地基反力系數和剪切模量對輸流管道穩定區域圖的影響。

1運動微分方程及邊界條件

考慮如圖1所示的彈性地基上兩端支承輸流直管, 管道材料的彈性模量為E，管道長度為L，橫截面積為A，截面慣性矩為I，單位長度空管質量為mp，流體密度為ρ，流速為v，kθL，kTL，kθR，kTR分別表示左右兩端面的扭轉、支撐彈簧剛度，彈性地基采用雙參數模型，R表示地基反力。

圖1　彈性地基上兩端支承輸流管道模型 Fig.1 model of pipes conveying fluid supported at both ends on elastic foundation

上述輸流直管的振動微分方程可寫成：

(1)

對于雙參數模型地基，地基反力為：

(2)

式中：K0為地基反力系數，GP為剪切模量。

令

m=mp+ρA

(3)

引入無量綱量：

式(1)可以整理為：

(4)

一般邊界條件為：

(5)

(6)

式(4)的解可以寫成：

η=w(ξ)exp(Ωτ)

(7)

將式(7)代入式(4)～式(6)，可得齊次微分方程及其邊界條件為：

(Ω2+a)w=0

(8)

w″(0)=KθLw′(0),w?(0)=-KTLw(0)

(9)

w″(1)=-KθRw′(1),w?(1)=KTRw(1)

(10)

2運動微分方程的模擬方程

GDQR的基本思想是用某一函數在物理域上的所有離散點上的函數值及其偏導數值的加權和來逼近該函數在某一離散點偏導數，函數ψ(x)在點x=xi處的第r階導數可近似寫成：

(11)

根據GDQR運算法則，選取

{W1,W2,W3,W4,…,WN-1,WN,WN+1,WN+2}=

為獨立變量，將式(8)～式(10)離散，得到如下的模擬方程：

(i=2,3,4,…N-1)

(12)

(13)

(14)

用下標b表示邊界上的元素，d表示非邊界上的元素,即：

wd={w2,w3,…,wN-2,wN-1}T

(15)

上述三式用矩陣形式可表示為：

(16)

消去變量wb，可得：

(Ω2[I]+Ω[G]+K)wd=0

(17)

式(1)中：

(18)

(19)

由于流速度會導致有陀螺力作用，Ω一般情況下是復數，其虛部Im(Ω)表示輸流管的無量綱自振頻率，其實部Re(Ω)為指數衰減因子，矩陣K和G中含有流速u，質量比β，無量綱彈簧剛度，彈性地基反力系數及剪切模量等參數。通過求解特征值方程(16)，在其它相關參數確定的情況下，得到不同流速下的Ω值，當特征值Ω的實部由負變正，而特征值Ω的虛部又同時不為零時，則此流速為發生顫振失穩的臨界流速，若特征值Ω的實部從負變正同時虛部也為零，則該流速就是發生發散失穩的臨界流速。

3計算及討論

3.1兩端彈簧剛度對穩定區域的影響

首先通過運用GDQR分析在沒有彈性地基情況下，兩端簡支管的前兩階無量綱固有頻率值，通過與有關解析值進行比較，驗證了基于GDQR的計算結果的準確性；接著討論了當a=0,b=0,即沒有彈性地基的情況下，彈簧剛度對穩定區域的影響，選取了左端固定支承、右端彈性支承下，當右端扭轉彈簧剛度取特定值時，右端支承彈簧剛度對穩定區域的影響以及當右端支承彈簧剛度取特定值時，右端扭轉彈簧剛度對穩定區域的影響，同時還研究了右端只有支撐彈簧支承時，穩定區域隨質量比的變化規律。

為驗證基于GDQR的計算結果的正確性，使其與有關解析值的結果進行比較, 令KTL=KTR=∞,KθL=KθR=0,a=0,b=0,β=0.2,運用GDQR兩端簡支管的前兩階無量綱固有頻率值，結果見表1。

表1　兩端簡支輸流管的前兩階固有頻率

兩端簡支輸流管中流速u=0時的固有頻率[13]為：

(20)

將式(20)化為無量綱的形式，可知前兩階無量綱頻率為π2和4π2，運用GDQR方法計算得到的第一階無量綱頻率值為9.870，相對誤差為0.004%，而第二階無量綱頻率值為39.478，相對誤差為0.011%，這說明運用GDQR求解輸流直管穩定性問題的準確性。

圖2～圖4分別對應當KθR=0.204 0時的穩定區域圖，考慮實際輸水管道情況，計算過程中質量比取β=0.2，其中虛線表示顫振失穩臨界流速，實線表示發散失穩臨界流速(下同)，圖中給出了顫振失穩流速和發散失穩流速隨無量綱支撐彈簧剛度的變化曲線，相應地會形成了三個區域，顫振失穩區、發散失穩區和穩定區。

圖2 KθR=0時臨界流速隨無量綱支撐彈簧剛度變化曲線Fig.2CriticalvelocityversusDimensionlesstranslationalspringconstantswithrotationalspringconstantsKθR=0圖3 KθR=20時臨界流速隨無量綱支撐彈簧剛度變化曲線Fig.3CriticalvelocityversusDimensionlesstranslationalspringconstantswithrotationalspringconstantsKθR=20圖4 KθR=40時臨界流速隨無量綱支撐彈簧剛度變化曲線Fig.4CriticalvelocityversusDimensionlesstranslationalspringconstantswithrotationalspringconstantsKθR=20

從圖中可以看出，顫振失穩流速會隨無量綱支撐彈簧剛度的增大而增大，而發散失穩流速會有兩個臨界點，綜合圖2～圖4觀察發現隨著無量綱扭轉彈簧剛度的增加，顫振失穩區域變化不大，而發散失穩區域從一個部分分成兩個部分，并且兩者有相互靠近的趨勢。

圖5～圖7分別對應當KTR=0、20、30時的穩定區域圖，圖中給出了顫振失穩流速和發散失穩流速隨無量綱扭轉彈簧剛度的變化曲線，相應地形成了三個區域，顫振失穩區、發散失穩區和穩定區。從圖中可以看出，隨著無量綱支撐彈簧剛度的增加，發散失穩區域迅速減小，而顫振失穩區域變化不明顯。同時可以發現發生發散失穩的臨界無量綱扭轉彈簧剛度會隨無量綱支撐彈簧剛度的增大而增大。

圖5 KTR=0時臨界流速隨無量綱扭轉彈簧剛度變化曲線Fig.5CriticalvelocityversusDimensionlessrotationalspringconstantswithtranslationalspringconstantsKTR=0圖6 KTR=20時臨界流速隨無量綱扭轉彈簧剛度變化曲線Fig.6CriticalvelocityversusDimensionlessrotationalspringconstantswithtranslationalspringconstantsKTR=20圖7 KTR=30時臨界流速隨無量綱扭轉彈簧剛度變化曲線Fig.7CriticalvelocityversusDimensionlessrotationalspringconstantswithtranslationalspringconstantsKTR=30

圖8給出了不同質量比下輸流管道的穩定區域圖，從圖中觀察可以發現，隨著質量比的增加，顫振失穩流速逐漸增大，但發散失穩流速不變，當質量比較小時，顫振失穩流速會隨著無量綱支撐彈簧剛度的增大而增大，當質量比較大時，不再有這樣的規律。

3.2地基反力系數和剪切模量對穩定區域的影響

分別討論左邊固定支承，右邊只有一個支撐彈簧支承的條件下，不同無量綱地基反力系數a和無量綱地基剪切模量b的取值情況下，顫振失穩臨界流速和發散失穩臨界流速隨右端無量綱支撐彈簧剛度的變化規律，下面的討論中質量比β均取0.2。

圖9給出了無量綱地基剪切模量b=0時，不同無量綱地基反力系數a取值情況下，無量綱支撐彈簧剛度對顫振失穩區域和發散失穩區域的影響情況。

1為β=0.01,2為β=0.1,3為β=0.2,4為β=0.3,5為β=0.5圖8 KθR=0時,不同質量比輸流管道的穩定區域圖Fig.8StabilitydiagramunderdifferentmassratiowithKθR=01為a=0,2為a=50,3為a=100,4為a=150圖9 b=0,a取不同值時彈性地基上輸流管道的穩定區域圖Fig.9Stabilitydiagramunderdifferentfoundationreactioncoefficientwithb=01為b=4,2為b=8,3為b=12,4為b=16圖10 a=0,b取不同值時彈性地基上輸流管道的穩定區域圖Fig.10Stabilitydiagramunderdifferentfoundationshearmoduluswitha=0

從圖9可知，a越大，發生顫振失穩的臨界流速越大，而相應發散失穩區域越來越小，發生發散失穩的臨界流速越來越大，而發生發散失穩的臨界無量綱支撐彈簧剛度也越來越大。

圖10給出了無量綱地基反力系數a=0時，不同無量綱地基剪切模量b取值情況下，無量綱支撐彈簧剛度對顫振失穩區域和發散失穩區域的影響情況。

從圖10中可以看到，b越大，發生顫振失穩的臨界流速越大，發生發散失穩的臨界流速也越來越大，與a不同的是，無論b取何值，都是只有無量綱支撐彈簧剛度KTR>34.815 時才發散。

圖11給出了無量綱地基剪切模量、無量綱地基反力系數均大于零時，即a>0,b>0時，無量綱支撐彈簧剛度對顫振失穩區域和發散失穩區域的影響圖。綜合圖9-圖11發現無量綱支撐彈簧剛度對發散失穩影響很大，增大KTR可以提高發生發散失穩的臨界流速，減小發散失穩區域。

1為a=50,b=4;2為a=100,b=8;3為a=150,b=12 圖11　a>0,b>0時彈性地基上輸流管道的穩定區域圖 Fig.11 Stability diagram under different foundation reaction coefficient and shear modulus combinations

圖12給出了a=80,b=0時，不同質量比下輸流管道的穩定區域圖，從圖8可知，隨著質量比的增加，顫振失穩流速和發散失穩流速與圖8中有著類似的規律，但彈簧地基反力系數的存在，使發散失穩區域減小，顫振失穩流速略有增加。

1為β=0.01,2為β=0.1, 3為β=0.2,4為β=0.3,5為β=0.5 圖12　a=80,b=0時穩定區域圖 Fig.12 Stability diagram with a=80,b=0

4結論

運用GDQR研究了兩端支承彈簧剛度、雙參數模型地基反力系數和剪切模量以及質量比對輸流管道臨界流速、穩定區域圖的影響，得到了如下結論：

(1) 扭轉彈簧剛度一定，支撐彈簧剛度增大時，管道的顫振失穩臨界流速會增大，發散失穩流速相應地會有兩個臨界點，隨著扭轉彈簧剛度的增加，顫振失穩區域變化不

大，發散失穩區域則一分為二，并且兩者有相互靠近的趨勢；

(2) 支撐彈簧剛度一定，扭轉彈簧剛度增大時，管道的顫振失穩臨界流速會逐漸趨于平穩，發散失穩臨界流速下限值逐漸減小，上限值則逐漸增大，最后均趨于平穩，而隨著支撐彈簧剛度的增大，發生發散失穩的臨界扭轉彈簧剛度會增大，發散失穩區域變小；

(3) 隨著質量比的增加，顫振失穩臨界流速逐漸增大，但發散失穩流速不變，當質量比較小時，顫振失穩流速會隨著支撐彈簧剛度的增大而增大，當質量比較大時，不再有這樣的規律；

(4) 地基剪切模量為零時，反力系數越大，發生顫振失穩的臨界流速越大，相應發散失穩區域越來越小，發生發散失穩的臨界流速越來越大，而發生發散失穩的臨界無量綱支撐彈簧剛度也越來越大；

(5) 地基反力系數為零時，地基剪切模量越大，發生顫振失穩的臨界流速越大，發生發散失穩的臨界流速越來越大，與地基反力系數對系統的影響不同，無論地基剪切模量取何值，都是只有支撐彈簧剛度大于某一特定值時才發生發散失穩。

參 考 文 獻

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