關于k-嚴格偽非擴展映象的不動點問題

關于k-嚴格偽非擴展映象的不動點問題*

羅光耀1, 龔黔芬2

(1.重慶工商大學 數學與統計學院,重慶 400067；2.重慶工商大學 計算機與信息工程學院,重慶 400067)

摘要：介紹了一類新的k-嚴格偽非擴展映象,舉例說明了該類映象的存在性,并在Hilbert空間中建立嚴格偽擴展映象的不動點與變分不等式問題解集的等價關系. 利用該等價關系和求解變分不等式問題的投影技巧、預解算子技巧和松弛迭代等方法,可以研究逼近k-嚴格偽非擴展映象不動點的數值方法.

關鍵詞：非擴展映象;k-嚴格偽非擴展映象;不動點;變分不等式;Hilbert空間

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.017

收稿日期：2015-06-15；修回日期：2015-07-16.

基金項目：*重慶市自然科學

作者簡介：羅光耀(1956-)，男，重慶人，講師，從事基礎數學研究.

中圖分類號：O117.91文獻標志碼：A

0引言

(1)

從文獻[1]可知,式(1)等價于

稱T:C→C為k-嚴格偽壓縮映象[2],如果存在常數k∈[0,1),使得

(2)

(3)

顯然,每一個非擴展映象都是擬非擴張映象且0-嚴格偽非擴展映象,但其逆命題并不成立.所以,k-嚴格偽非擴展映象是非擴展映象的推廣形式. 此處以Fix(T)表示T的不動點集合,即Fix(T)={x∈C,Tx=x}.

不動點理論是現代非線性分析的重要組成部分,廣泛應用于經濟決策、最優化理論、算子理論、數值分析和動力系統等經濟和工程技術領域. 近年來,非線性映象的不動點定理及其逼近算法引起了數學研究者的極大興趣,他們努力尋求各種關于不動點問題的數值算法、變分不等式、平衡問題和鞍點問題等,并獲得了一系列很好的研究成果[2-13].文章目的是在Hilbert空間中建立k-嚴格偽非擴展映象的不動點與不等式問題解的等價關系,為進一步探索變分不等式和平衡問題的數值解提供必要的理論基礎.

1預備知識

設C為Hilbert空間H的一個非空閉凸子集,A:C→H為一非線性映象. 考慮如下變分不等式問題: 求一點x∈C,使得

(4)

用VI(C,A)表示變分不等式問題(4)的解集. 對任意x∈H,在C中存在唯一的最近點Pcx,即

稱PC為H到C上的度量投影. 從文獻[5]可知,PC是非擴張的,且u=PCx的充分必要條件是

稱映象A:C→H是α-逆強單調的,如果存在常數α>0,使得

現舉例說明該類推廣的k-嚴格偽非擴展映象及其不動點問題的存在性.

例1[7]設R表示實數集,如下定義映象T:R→R，

不難驗證,T是k-嚴格偽非擴展映象,卻不是非擴展映象且Fix(T)=(-∞,0].

所以,對任意k∈[0,1),使得

由于x∈[-1,0],y∈[0,1],則

因此,T:C→C是k-嚴格偽非擴展映象且Fix(T)={1}.

2主要結果

定理1設C為Hilbert空間H的非空閉凸子集,T:C→C為k-嚴格偽非擴展映象且Fix(T)≠?,則Fix(T)=VI(C,I-T).

證明記A=I-T,取p∈Fix(T),即p=Tp(Ap=0),則

即p∈VI(C,A),進一步得Fix(T)?VI(C,I-T).

另一方面,設u*∈VI(C,A),即〈(I-T)u*,v-u*〉≥0,?v∈C，且

整理得

即u*∈Fix(T),進一步得VI(C,I-T)?Fix(T) . 因此,Fix(T)=VI(C,I-T).

注1定理1建立了k-嚴格偽非擴展映象的不動點和變分不等問題解的等價關系,利用該等價關系和求解變分不等式問題的投影技巧、預解算子技巧和松弛迭代等方法,可進一步研究逼近k-嚴格偽非擴展映象不動點的數值算法和收斂分析等問題.

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On Fixed Point Problem ofk-strictly Pseudononspreading Mapping

LUO Guang-yao,GONG Qian-fen

(1.School of Mathematics and Statistics,Chongqing Technology and Business University,Chongqing 400067,

China; 2. School of Computer Science and Information Engineering,Chongqing Technology and Business

University,Chongqing 400067,China)

Abstract：This paper introduces a class of new k-strictly pseudononspreading mappings with some examples in Hilbert space. Equivalence between the fixed point problem of strictly pseudononspreading mapping and variational inequality is established. This alternative equivalent formulation can be used to analyze some numerical methods for finding a fixed point of pseudononspreading mapping based on the current technique such as projection,resolvent operator and relaxed iteration.

Key words： nonspreading mapping; k-strictly pseudononspreading mapping; fixed point; variational inequality; Hilbert space