求解丟番圖方程

王恒豐， 陳星

(重慶師范大學 數學學院，重慶 401331)

摘要：利用高斯二平方和定理求解一個特殊的丟番圖方程，將其轉化為a2+b2=c2+d2.經討論得知，a2+b2≡c2+d2≡1,2(mod 4)，當(k1-k3)(k1+k3-1)≡(k4+k2)(k4-k2)時，a2+b2≡c2+d2≡1(mod 4)；當(k1-k3)(k1+k3-1)≡(k4-k2)(k4+k2-1)≡0,2(mod 4)時，a2+b2≡c2+d2≡2(mod 4).

關鍵詞：丟番圖方程；高斯二平方和定理；整數解

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.020

收稿日期：2015-04-11；修回日期：2015-05-24.

基金項目：*數學天元基金(11426050).

作者簡介：王恒豐(1992-)，女，重慶長壽人，從事數學與應用數學研究.

中圖分類號：O157文獻標志碼：A

1引理

引理1[1](高斯二平方和定理)設n為正整數，n=m2n0，m∈Ζ，n0是n的無平方因子部分，則n是兩個有理整數的平方和?n0沒有素因子p≡3(mod 4).

引理2[2]設a,b是任意兩個不全為零的整數，

(i) 若m是任一整數，則(am,bm)=(a,b)m;

引理3[2]不定方程p=x2+y2有正整數解的充分與必要條件是p=4m+1.

引理4[2]

(i) 若a1=b1(modm)，a2=b2(modm)，則a1+a2=b1+b2(modm);

(ii) 若a=b(modm)，b=c(modm)，則a≡c(modm);

(iii) 若a1=b1(modm)，a2=b2(modm)，則a1a2=b1b2(modm).

在求解齊次方程時，把只相差一個公因子的解視為同一個解.

y2z2w2+x2z2w2=x2y2w2+x2y2z2

令a=yzw,b=xzw,c=xyw,d=xyz，則a>0,b>0,c>0,d>0，且a2+b2=c2+d2.

情形Ⅰ當d=(x,y,z,w)=1時，令a=yzw,b=xzw,c=xyw,d=xyz,m=xyzw，則abc=m2w,abd=m2z,acd=m2y,bcd=m2x，此時(abc,abd,acd,bcd)=(m2w,m2z,m2y,m2x)=m2(w,z,y,x)=m2.

情形Ⅱd=(x,y,z,w)>1時，有

(*)

接下來考慮丟番圖方程a2+b2=c2+d2(a>0,b>0,c>0,d>0)的解.

若a=b=c=d，此即最簡單的情形，方程有無窮多個解.

若a=c，b=d，方程有無窮多個解.

若a，b，c，d全不相等時，由于?a∈Z，有a2≡0,1(mod 4)；?b∈Z，有d2≡0,1(mod 4)；?c∈Z，有c2≡0,1(mod 4)；?d∈Z，有d2≡0,1(mod 4).故a2+b2≡c2+d2≡0,1(mod 4).

當a2+b2≡c2+d2≡1(mod 4)時，不妨設a2≡c2≡1(mod 4),b2≡d2≡0(mod 4).令

(1)

由a2+b2=c2+d2得(k1-k3)(k1+k3-1)=(k4+k2)(k4-k2).顯然(k1-k3)(k1+k3-1)=0,2(mod 4)，(k4+k2)(k4-k2)≡0,1,3(mod 4).故

(2)

當a2+b2≡c2+d2時，只能a2≡b2≡c2≡d2≡1(mod 4).令

(3)

由a2+b2=c2+d2得(k1-k3)(k1+k3-1)=(k4+k2)(k4-k2).故

(4)

從而當式(4)成立時，有4k1(k1-1)+1+4k2(k2-1)+1=4k3(k3-1)+1+4k4(k4-1)+1，亦即a2+b2=c2+d2.故方程a2+b2≡c2+d2≡2(mod 4)的通解具有方程(3)的形式，其條件為k1，k2，k3，k4滿足方程(4).

參考文獻：

[1] 馮克勤.代數數論[M].北京:科學出版社,2000

[2] 閔嗣鶴，嚴士健.初等數論[M].北京:高等教育出版社,2003

[3] HARDY G H,WRIGHT E M.數論導論[M].北京:人民郵電出版社,2008

[4] 科斯特利金.代數學引論[M].北京:高等教育出版社,2007

[5] 張杰.關于不定方程x2+64=y7的解的討論[J].重慶工商大學學報:自然科學版,2012,29(3)：27-28

WANG Heng-feng，CHEN Xing

(College of Mathematical and Sciences，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China)

Key words： diophantus equation; the sum of two squares and Gauss theorem; integer solution