從一例看“消參數”技巧的把握

引入、設立參數，并利用參數解題是我們常用的解決數學問題方法，特別是在解析幾何問題中，此方法被經常提及，這種方法使得數學中一些動態幾何問題的解決變得簡單、容易了. 而參數的設立、引入往往不是難點，參數的退卻、消去才是解題的難點.

根據筆者學習數學的經驗，在數學解題過程中，參數消去主要是在兩個時間節點上；其一，是在解題過程的中途，此時若在一個關系式中，參數t比較容易與x、y分離出來，即可以用變量x、y表示出來，得到t=h（x，y）形式，然后把它代入另一個含有x、y、t的關系式中的t，經過同解變形化簡，就達到了消去參數t的目的；其二，是在解題的后半部，在上一參數與變量分離的方法很難實現的時候，只得把x、y表示成規范的參數方程形式，即x=f■（t），y=f■（t），此時，按照一般的消元方法（如加減消元法、代入消元法、公式消元法等）處理.

兩者選誰，孰好孰差？很難定論，關鍵看題目內容、解題過程；不過，大多數的試題，它的消元方法是單一的，只能選取一種方法（大多是后一方法），選取另一個方法，就會走不通.

不管怎么樣，參數進入與退卻，都要注意參數以及變量的取值范圍是不能變的.

為此，筆者以對下面的試題解答過程中如何消去參數為例，把這種深刻體會寫出來供讀者閱讀、思考，來獲得一個正確的解題認知.

■ （2013年安徽理18）設橢圓E：■+■=1的焦點在x軸上.

（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的標準方程；

（2）設F1，F2分別是橢圓的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1P⊥F1Q，證明：當a變化時，點P在某條定直線上.

■

圖1

分析 （1）橢圓E的標準方程是■x2+■y2=1.

（2）設P（x0，y0），由題意可以給出F1（-■，0），F2（■，0），則PF2的直線方程為y=■（x-■），得Q0，■. 由F1P⊥F1Q得■·■=-1，即y■■=x■■-（2a2-1）.

當a■

方法一：化為規范的參數方程形式. 直接將y■■=x■■-（2a2-1）代入方程■+■=1得x0=a2，y■=1-a2，消去a2得點P在x0+y0=1的定直線上，其實，就在不包括端點的線段x0+y0=1x0∈■，1上.

方法二：不化為規范的參數方程形式，而是直接去消參數a2，即直接由y■■=x■■-（2a2-1）得a2=■代入方程■+■=1中的a2，化簡得x■■-2x■■y■■+y■■-2（x■■+y■■）+1=0；

這是一個一般的老師、學生很難進行因式分解的式子，解題就會進入一個去向不明、岔口多甚至是死的胡同. 考試花了時間，也難能有結果.

其實，上式可以湊項為（x■■-y■■）2-2（x■■-y■■）+1=4y■■，再分解為（x0+y0-1）·（x0+y0+1）（x0-y0-1）（x0-y0+1）=0. 結合題意條件，有x0、y0∈（0，1），上式只能推出x0+y0-1=0，即得點P在x0+y0=1的定直線上，準確地說就在不包括端點的線段x0+y0=1x0∈■，1上.

解后反思 上面兩種消參數方法，顯然方法二從消去參數角度來說相對簡單一點；客觀上，這種方法在平時也經常用，主觀上來說，該試題確實存在一個誘惑人這樣做的地方：在由y■■=x■■-（2a2-1）容易得a2=■，能很快速進入消元的狀態.當然，消去參數后，對方程（x■■-y■■）2-2（x■■-y■■）+1=4y■■進行同解變形化簡卻是個難點，也是一般采用方法二所要碰到的問題.

由此題的兩個解題過程的深刻體驗，消去參數的過程應該根據題設條件、解題過程、含參形式等靈活把握，準確選擇，一路不通，就走另一路. ■