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(西北工業大學陜西省機電傳動與控制工程實驗室，陜西西安710072)

摘要:綜合考慮行星滾柱絲杠副軸段剛度、螺紋牙剛度和接觸剛度及安裝方式、受力狀態等因素，建立了行星滾柱絲杠副螺紋牙載荷分布計算模型。在對計算模型驗證的基礎上，詳細分析了安裝方式、受力狀態、結構參數和牙型參數等對螺紋牙載荷分布的影響規律。結果表明，決定螺紋牙載荷分布規律的主要因素是行星滾柱絲杠副的材料參數、結構參數與安裝方式，其中絲杠與螺母的軸向累積彈性變形是引起行星滾柱絲杠副螺紋牙載荷分布不均的主要原因。螺紋牙剛度對載荷分布的影響較小，隨著螺紋牙剛度的減小，載荷分布不均程度逐漸降低。此外，滾柱螺紋牙個數與螺距對載荷分布的影響很大，載荷分布不均程度隨著螺紋牙個數的增大或螺距的增大而增大。

行星滾柱絲杠副(planetary roller screw mechanism，PRSM)是一種可以將直線運動與旋轉運動相互轉化的滾動螺旋傳動裝置。PRSM具有大推力、高精度以及長壽命等優點，正逐漸應用于航空航天航海等軍用領域［1-2］與石油、化工、冶金及注塑等民用領域［3］。

目前，國內外對于PRSM的理論研究已有一定基礎，理論研究主要集中在運動學分析、軸向變形、摩擦力矩、動態特性以及傳動效率等方面［4-9］。螺紋牙載荷分布是PRSM承載特性的重要體現，直接影響PRSM的運轉平穩性、承載能力和壽命，載荷的均勻分布也有利于提高PRSM的剛度與抗沖擊性能。在PRSM螺紋牙載荷分布方面，楊家軍等［10］依據Hertz彈性接觸理論，將滾柱作為整體，建立了剛度模型，得到了載荷分布與軸向剛度曲線; Jan等［11］將滾動體等效成承受剪應力的矩形單元，建立了載荷分布計算模型，并與有限元解進行對比; Jones等［12］通過直接剛度法建立了PRSM軸向剛度的彈簧組模型，在此基礎上得到了螺紋牙載荷分布，并分析了滾柱個數與滾柱螺紋牙個數對載荷分布的影響。上述研究對于PRSM螺紋牙載荷分布規律研究提供了有益參考，但對于安裝方式、受力狀態與螺紋設計參數對載荷分布的影響并無系統研究，且未揭示載荷分布不均現象的本質。

本文綜合考慮PRSM絲杠、滾柱與螺母的軸段變形、螺紋牙變形與嚙合點Hertz變形，并計入了安裝方式與受力狀態對載荷分布的影響，建立PRSM載荷分布計算模型，得到了螺紋牙載荷分布規律。在此基礎上，分析了材料參數與螺紋結構參數對于螺紋牙載荷分布規律的影響，分離出影響較大的參數。通過設計時選取合理的結構參數，有利于改善PRSM的均載特性，提高PRSM的承載能力與壽命。

1　PRSM結構與模型假設

PRSM結構如圖1所示，由絲杠A、滾柱B、螺母C、內齒圈D、滾柱保持架E及彈性擋圈F等組成。其中，絲杠與螺母均為多頭螺紋，梯形牙型，滾柱為單頭螺紋，其牙型加工成球面輪廓，三者牙型角相同。多個滾柱均布于絲杠周圍，分別與絲杠螺紋及螺母螺紋嚙合。兩內齒圈安裝于螺母兩端，并與之固連，滾柱兩端的直齒與內齒圈嚙合，以保證滾柱軸線平行于絲杠軸向。兩端的保持架確保滾柱在絲杠周圍均勻布置。

1)僅考慮軸線方向螺紋牙的變形與載荷; 2)僅考慮單個滾柱與絲杠及螺母的嚙合; 3)僅考慮彈性變形的影響; 4)不考慮螺紋牙嚙合間隙的影響。

2　PRSM螺紋牙載荷分布建模

PRSM承載后，滾柱分別與絲杠和螺母嚙合發生彈性變形，包括軸段的拉壓變形、螺紋牙承載變形以及螺紋牙嚙合點接觸變形。本文考慮上述3種變形，根據變形協調關系與受力平衡關系，建立PRSM螺紋牙載荷分布模型。

軸段剛度是絲杠、滾柱或螺母的2個相鄰承載螺紋牙間基體的拉壓剛度，對于絲杠和螺母，軸段剛度為一個螺距內基體的剛度，即

式中，EX為零件材料彈性模量，P為螺距，z為滾柱個數，AX為零件最小橫截面積，下標X代指S或N，分別表示絲杠或螺母。

由于滾柱同時與絲杠和螺母嚙合，所以其軸段剛度為半個螺距內的剛度，即

如圖2所示，螺紋牙承載后發生的軸向變形有:螺紋牙彎曲變形δ1，剪力引起的變形δ2、牙根傾斜引起的變形δ3、由牙根剪切引起的變形δ4以及由徑向分力引起的變形δ5［13］。

圖2中a為螺紋牙底厚度，b為螺紋牙厚，c為螺紋牙頂厚度，hf為螺紋牙底高，h為螺紋牙高，滾柱牙型中各參數定義與之相同。Fa為螺紋牙所受軸向載荷，Fr為螺紋牙所受徑向力。徑向力與軸向力滿足如下關系［7］

式中，θ為螺紋牙型角，本文中絲杠、滾柱與螺母的牙型角均為90°。各變形的計算方法如下［13］:

式中，μ為材料泊松比，E為材料彈性模量。由于內外螺紋結構不同，由徑向分力引起的變形并不相同。將外螺紋等效為直徑為外螺紋小徑d1的實心圓柱，將內螺紋等效為外徑為D0、內徑為內螺紋大徑d的空心圓柱，并用δ5－e表示外螺紋的變形，δ5－i表示內螺紋的變形。對于外螺紋，由徑向分力引起的變形為

雖然PRSM中絲杠、滾柱及螺母的牙型近似相同，但是其螺紋牙剛度并不相同，這是因為螺紋牙剛度由牙型參數與結構參數共同決定。PRSM中絲杠、滾柱與螺母結構參數有著確定關系，因此，在牙型參數相同的情況下，三者的螺紋牙剛度并不相同。一般情況下，kRF＞kSF＞kNF。

對于2個空間曲面的接觸，其接觸變形沿兩曲面公切面垂線方向，由于本文所研究的受力與變形均在軸線方向，因此需將其投影至軸線方向。根據Hertz理論，點接觸變形為［14］

式中，Σρ是兩接觸曲面的曲率和函數，δ*是與Σρ相關的接觸參數。Fn是兩接觸螺紋牙之間的法向接觸力，可通過其軸向載荷求出［7］，即

式中，αR為滾柱螺紋的螺旋升角，Fa為螺紋牙軸向載荷。則此時的接觸剛度為

式中，X可取S或N，分別表示絲杠側與螺母側螺紋牙接觸剛度。

PRSM存在2類安裝方式，即絲杠與螺母在同側安裝，以及絲杠與螺母在異側安裝。在同一種安裝方式下，由于螺母所受載荷方向的不同，有2種不同的受力狀態，如圖3所示。不同安裝方式下，PRSM螺紋牙載荷分布規律不同，同種安裝方式的不同受力狀態下，螺紋牙載荷分布規律相同，即負載方向對載荷分布沒有影響。

如圖4所示，考慮上述3種剛度，建立行星滾柱絲杠副在圖3d)所示異側安裝，絲杠受拉螺母受拉狀態下的載荷分布模型，建模方法同樣適用于圖3中其他3種情況。

圖4中螺母受到工作載荷F，絲杠支撐端產生大小相等方向相反的力F，PRSM達到力平衡。其中絲杠與螺母分別有n個螺紋牙參與嚙合，而滾柱分別與絲杠和螺母嚙合，共有2n個螺紋牙參與嚙合，在兩側分別形成n個嚙合螺紋牙對。定義絲杠側最接近支撐端處螺紋牙序號為1，滾柱與螺母按照相同方向定義，并定義絲杠、滾柱與螺母的第i節軸段為其第i個與第i + 1個螺紋牙之間的軸段。FXRi表示絲杠側或螺母側的第i對嚙合螺紋牙上的軸向載荷，對應螺紋牙上的黑色箭頭表示所受軸向力的方向。滾柱與絲杠或螺母的相鄰兩對接觸螺紋牙形成一個閉環，閉環內的兩嚙合點在軸向滿足變形協調關系，如圖5所示。

圖5中粗實線表示承載之前螺紋牙與軸段的狀態，虛線表示承受載荷發生變形后的狀態。其中，PX是絲杠或螺母的螺距，下標X可取S或N，分別表示絲杠和螺母，PR是滾柱螺距。i表示螺紋牙序號，Δl表示承受載荷后閉環內發生的3種軸向變形，其下標B代表軸段變形、T代表螺紋牙變形、H代表嚙合點Hertz變形。

式中，ΣlNi為螺母側第i個閉環內螺母變形量總和，ΣlRi為對應閉環內滾柱變形量總和。并有

對于PRSM，有PN= PR= PS，并將(16)式、(17)式與3種剛度代入(9)式中，得:

同理，可以寫出形如(18)式的絲杠側全部閉環的變形協調方程。另外，螺母與絲杠所受外力等于其各自所有螺紋牙上所受軸向載荷的總和，即由(18)式與(19)式，得到PRSM載荷分布的矩陣方程，即

式中，f =［FNR1，FNR1，…，FNRn，FSR1，FSR1…FSRn］'為螺紋牙載荷向量，b =［0，0，…，0，F，F］'，A為平衡矩陣

(15)式為平衡矩陣A的分塊矩陣形式，其中第一行與第二行子矩陣分別是由螺母側與絲杠側所有閉環的變形協調方程生成;第一列與第二列子矩陣分別表示由絲杠側與螺母側接觸力引起的軸向變形量; C1，C2則表示由(19)式生成的分塊矩陣，表示螺紋牙載荷的總和與PRSM外載的平衡關系。

由于接觸變形的非線性，兩接觸側接觸剛度kRSC與kRNC是隨載荷而變化的，因此矩陣方程(14)是非線性方程。本文采用如下迭代計算方法求解方程(20) :首先假設PRSM螺紋牙載荷為均勻分布，計算出相應的接觸剛度，此時，發生嚙合的每對螺紋牙的接觸剛度均相同。其次，將接觸剛度值代入模型中進行計算，得到了假設條件下的載荷分布。再使用求出的載荷分布分別計算每對螺紋牙在此接觸力下的接觸剛度，將其代入模型中得到新的平衡矩陣，并進行再一次求解，如此進行反復迭代計算，直至，則認為螺紋牙載荷收斂，并選取第k次計算結果作為方程組的解。

采用文獻［12］中的參數進行分析，并與其結果進行對比，結果如圖6所示。圖中縱坐標表示螺紋牙實際載荷與平均載荷的比值，稱為螺紋牙載荷分布不均系數;橫坐標使用百分比表示滾柱上所有參與嚙合的螺紋牙。由圖可見，絲杠側載荷分布規律與文獻［12］吻合較好，而螺母側載荷分布存在差異，最大相差9%。主要原因是本文采用的螺紋牙剛度模型中考慮了由于螺紋牙徑向受力而產生的變形，螺母螺紋牙剛度為1. 57×107N/m，而絲杠螺紋牙的3. 25×107N/m，螺母螺紋牙剛度小于絲杠螺紋牙剛度，這對螺母側螺紋牙的載荷分布起到了均化作用。

3　PRSM螺紋牙載荷分布規律

本文采用一套承載能力為5 t的PRSM參數，進行載荷分布研究，分析安裝方式、受力狀態與結構參數等對螺紋牙載荷分布的影響規律。PRSM結構參數和材料參數如表1和表2所示。

對圖3b)、圖3c)與圖3d)所示不同安裝方式與受力狀態下PRSM螺紋牙載荷分布進行計算，結果如圖7所示。

由圖7a)與圖7b)可知，PRSM在2種安裝方式下，其軸向載荷在螺紋牙間的分布規律并不相同。PRSM異側安裝時，絲杠側與螺母側的螺紋牙載荷變化趨勢相反，同側安裝時，絲杠側與螺母側載荷分布變化趨勢相同，絲杠側載荷分布不均現象比螺母側嚴重。兩側載荷分布趨勢不一致的原因主要有2 點:①由于絲杠與螺母軸段的累積變形與對應接觸側載荷分布不均程度成正比，累積變形的大小主要由軸段剛度決定，因此軸段剛度越大載荷分布越均勻;②由于螺紋牙剛度對載荷分布有小幅影響，較小的螺紋牙剛度對載荷分布有均化的作用。本算例中螺母的軸段剛度大于絲杠軸段剛度，并且其螺紋牙剛度小于絲杠，因此螺母側的載荷分布比絲杠側均勻。

2種安裝方式下，兩接觸側載荷分布都是按照從支撐端開始由大到小的規律變化。同側安裝方式下，無論是絲杠側還是螺母側，載荷分布不均現象都要比異側安裝方式嚴重。這是因為兩接觸側螺紋牙載荷間存在相互影響作用，當絲杠與螺母同側安裝時，會加劇載荷分布不均現象。從滾柱壽命的角度考慮，PRSM工作時，滾柱螺紋牙上某一點是按照“絲杠-螺母-絲杠”循環嚙合，因此同側安裝方式會出現滾柱一端螺紋牙承受的載荷總是比另一端大，導致滾柱一端提前失效破壞的現象。而異側安裝載荷分布不均程度低于同側安裝，且兩側載荷分布規律趨勢相反，一定程度上可抵消螺紋牙載荷分布不均現象。因此，實際應用中合理選擇PRSM安裝方式，有著重要的意義。

另外，由圖7b)與圖7c)可知，在本文的計算模型下，PRSM在相同安裝方式不同受力狀態時，其螺紋牙載荷分布規律相同，說明受力狀態對螺紋牙載荷分布規律沒有影響。

以下對異側安裝方式，絲杠受拉螺母受拉狀態下，結構參數對PRSM螺紋牙載荷分布的影響規律進行分析。圖8給出滾柱螺紋牙數從10到50時螺紋牙載荷分布不均系數。由圖8可知，絲杠側與螺母側的載荷分布不均程度都隨著滾柱螺紋牙數的增加而嚴重。當滾柱牙數從10增加到50時，絲杠側第一對螺紋牙的載荷分布不均系數從1. 108增加到2. 469，而螺母側最后一對螺紋牙也從1. 03增加至1. 32。這是因為滾柱牙數較少時，絲杠與螺母的軸段累積變形也較小，載荷分布更加均勻。當滾柱牙數超過30以后，螺母側的載荷分布出現明顯的“兩邊大中間小”現象，而絲杠側并未出現類似現象。這是因為絲杠側與螺母側的螺紋牙載荷會相互影響，但是由于螺母的軸段剛度較大，螺母側對于絲杠側的影響敏感性較高。而絲杠的軸段剛度較小，對螺母側螺紋牙載荷的影響敏感性較低，并且由于螺母側螺紋牙載荷分布較為均勻，對于絲杠側的影響較小，因此圖8a)中絲杠側并未出現“兩邊大中間小”現象。

此外，當滾柱螺紋牙數達到50時，絲杠側前10對螺紋牙承受了近40%的載荷，PRSM壽命會因此降低。反之如果滾柱螺紋牙數較少，會使螺紋牙的平均載荷增大，接觸應力增大，壽命縮短。因此，在PRSM設計過程中需合理的設計滾柱牙數。

PRSM的牙型參數主要包括螺距、牙高及牙型角等，這些參數共同確定了螺紋牙型。由于螺紋牙型角一般設計為90°，本文僅分析牙高與螺距對螺紋牙載荷分布的影響。

PRSM螺紋牙高分別選取0. 19mm、0. 38mm、0. 57mm、0. 76mm與0. 95mm，結果如圖9所示。

由圖9可知，隨著螺紋牙高的增大，絲杠、滾柱及螺母的螺紋牙剛度均有所提高，但變化相對較小，PRSM螺紋牙高對其剛度的影響較小。因此可以推斷，PRSM螺紋牙高對載荷分布影響較小。

選取螺距為0. 4mm、0. 8mm、1. 2mm、1. 6mm與2. 0mm，與之對應的牙高分別為0. 19mm、0. 38mm、0. 57mm、0. 76mm與0. 95mm，結果如圖10所示。

由圖10可知，隨著牙高與螺距的減小，兩接觸側螺紋牙載荷分布不均現象都有明顯改善。當牙高減小至h=0. 19 mm，螺距為0. 4 mm時，兩側載荷接近于均布。雖然螺紋牙剛度會隨著牙高的減小而減小，但是其對載荷分布的影響很小;而隨著螺距的減小，軸段剛度變大，載荷分布不均現象明顯改善，其對載荷分布的影響比較明顯。當螺距與牙高同時減小時，螺紋牙載荷分布不均現象有很大改善。因此，設計PRSM時，可以通過選擇較小的牙型參數以使PRSM螺紋牙載荷分布更加均勻。

4　結論

1) PRSM螺紋牙載荷分布主要由材料參數、結構參數及安裝方式決定。其中，絲杠與螺母軸段的累積變形對螺紋牙載荷分布起主要作用。

2) PRSM異側安裝時的螺紋牙載荷分布比同側安裝時均勻，同種安裝方式下不同的受力狀態，載荷分布規律相同。

3)隨著滾柱螺紋牙數的增加，載荷分布不均程度增大，并且由于絲杠側與螺母側載荷存在相互影響，當滾柱牙數大于30后，異側支撐時螺母側出現“兩邊大中間小”的現象。

4) PRSM螺紋牙型參數對載荷分布有很大影響，螺距的影響最為突出，較小的牙型參數有利于載荷分布更加均勻。

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Load Distribution of Planetary Roller Screw Mechanism with Different Installations

(Shaanxi Engineering Laboratory for Transmissions and Controls，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China)

Abstract:A model for calculating load distributions of threads in Planetary Roller Screw Mechanism (PRSM) with different installations is developed，in which the shaft stiffness，thread stiffness and contact stiffness of screw，rollers and nut in PRSM are taken into consideration．The proposed model is verified in comparison with an existing model．The effects of installations，load conditions，structural parameters and thread form parameters on the load distributions of threads are studied thoroughly．The results and their analysis show preliminarily that: (1) The main factors which affect the load distribution are material parameters，structural parameters and installation; (2) The accumulative axial deformations of screw and nut are the main reasons which cause the uneven distribution of loads acting on threads; (3) The load distribution among threads becomes slightly evener when the thread stiffness is decreased; (4) The tooth number of rollers and pitch of the threads will remarkably affect the load distribution，and the load distribution will be more uneven with the increase of the tooth number or pitch．

Key words:PRSM (planetary roller screw mechanism) ; load distribution; installation; stiffness; elastic deformation

作者簡介:張文杰(1988—)，西北工業大學，主要從事行星滾柱絲杠副設計、制造及其承載特性的研究。

收稿日期:2014-09-23基金項目:國家自然科學基金(51275423)、教育部高等學校博士學科點專項科研基金(20126102110019)、中國博士后科學基金(2014M552483)、高等學校學科創新引智計劃(B13044)與西北工業大學基礎研究基金資助

不同安裝方式下行星滾柱絲杠副載荷分布研究

1 PRSM結構與模型假設

2 PRSM螺紋牙載荷分布建模

3 PRSM螺紋牙載荷分布規律

4 結論

1　PRSM結構與模型假設

2　PRSM螺紋牙載荷分布建模

3　PRSM螺紋牙載荷分布規律

4　結論