2015年高考數學試題評析1

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2015年高考數學試題評析1

本刊特約數學試題評析組2

1本文系江蘇省中小學教學研究2013年度第十期立項課題“普通高中師生共建教學問題庫的實踐”(課題編號：2013JK10-L086，課題主持人：姜紅珍、胡福林)的研究成果之一．

2本刊特約數學試題評析組成員為：江蘇省昆山中學于廣春、陶華，黑龍江省海林市高級中學宋喜翠．

今年全國各地的高考數學試卷，整體結構與知識分布相對穩定，分值與往年相同，并沿用多年的命題風格．試卷在對基礎知識、基本技能和思想方法全面考查的同時，還力求創新，突出對學生實踐能力的考查，要求積極探索，運用已有的數學知識、方法和技能解決有關問題．概觀今年全國各地高考試卷，有許多經典試題，但也存在個別有爭議的試題．

一、值得肯定的試題

例1(湖北文科卷第2題)：我國古代數學名著《數書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為(B)

A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石

【答案】B．

例2(全國Ⅱ卷理科第8題)：右邊程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”．執行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a= ________．

A.0 B.2 C.4 D.14

【答案】B．

【解析】本題既可以利用算法，通過不斷地賦值得出最終的答案，又可以利用對“更相減損術”的理解來解題．

方法1：利用算法解題即程序在執行過程中，a，b的值依次為a=14，b=18；b=4；a=10；a=6；a=2；b=2，此時a=b=2程序結束，輸出a的值為2，故選B．

方法2：“更相減損術”是用來求兩個數的最小公倍數的方法，題中給出14與18，其最小公倍數為2，故直接得出答案．

【點評】這兩道題分別選自中國古代數學專著《數書九章》和《九章算術》．兩道題的解法簡單，卻滲透著中國古代的數學文化，兩道題都強調中國古代數學文化的傳統特色，使學生在做題過程中，潛移默化地接受我國古代傳統文化的熏陶，感受中華優秀文化傳統的博大精深．

例3(北京文科卷第14題)：高三年級267位學生參加期末考試，某班37位學生的語文成績、數學成績與總成績在全年級中的排名情況如下，甲、乙、丙為該班三位學生．

從這次考試成績看，

①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是：________；

②在語文和數學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是：________．

【答案】乙，數學．

【解析】①題由圖可知，甲的語文成績排名比總成績排名靠后，乙的語文成績排名比總成績排名靠前，故填“乙”．

②題由圖可知，比丙的數學成績排名靠后的人比較多，而總成績的排名中比丙排名靠后的人數比較少，所以丙的數學成績的排名更靠前，故填“數學”．

【點評】本題突出對圖形、圖表語言運用能力的考查．它要求考生從圖表中獲取信息，并進行信息整合、邏輯推理，從而得出答案．該題既體現了數學中“數形結合”的思想，同時又重視考查考生解決實際問題的能力．

例4(全國Ⅱ卷理科第19題)：如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB= 16，BC= 10，AA1= 8，點E，F分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F= 4，過點E，F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．

(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；

(2)求直線AF與平面α所成的角的正弦值．

【解析】(1)如圖

【點評】本題以長方體為載體，通過對問題的分層設計，綜合考查了學生對于面面平行、面面垂直的理解與應用，以及直線與平面所成角的求法，本題緊扣教材，符合新課程標準的特點．問題(1)考查學生對面面平行性質定理的理解和應用，同時考查學生的動手操作能力．問題(2)求直線AF與平面α所成角的正弦值，是立體幾何中常規的求空間角問題，學生對此類題目較熟悉，容易入手．問題(2)既可以采用傳統幾何的方法，通過作輔助線尋找直線AF與平面α所成角求解，也可以建立空間直角坐標系，應用空間向量的坐標運算解決線面成角問題．這一問處理方法比較靈活，適合不同層次的考生解答．但是本題問題的設計有別于以往證明平行、垂直問題的方式，本題既考查了立體幾何中基本思想與方法的運用能力，又考查了學生的實際操作能力．因此，該題能有效檢測學生的數學綜合素質．

(1)求a，b的值．

(2)設公路l與曲線C相切于點P，P的橫坐標為t．

①請寫出公路l長度的函數解析式f(t)，并寫出其定義域；

②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度．

二、值得商榷的試題

方法2：

這樣就避免了先用三角和差公式，再用降冪公式所進行的煩瑣計算．

【點評】本題主要考查向量的數量積和三角函數的性質，本題作為試卷填空題的壓軸題，過于簡單，思維含量不高，只是考查了學生的運算能力．本題用方法1計算量很大，學生不容易解出來，用積化和差公式解答本題非常快捷，但是2015年江蘇省數學考試說明中明確規定：學生并不需要掌握積化和差公式．也就是說，積化和差公式不在2015年江蘇高考的范圍內．因此，該題有超綱之嫌．

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于 點P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程．

ΡC=2ΑΒ?k4-2k2+1=0?k2=1?k=±1

此時直線ΑΒ的方程為y=x-1或y=-x+1．

計算簡單很多，或者用方法2計算起來也很快捷，但是考綱上明確指出，對韋達定理不做考試要求．因此，該題也有超綱之嫌．

例8(湖北卷理科第14題)：如圖，圓C與x軸相切于點T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A,B(B在A的上方),且|AB|=2．

(1)圓C的標準方程為________;

(2)過點A任作一條直線與圓O:x2+y2=1相交于M,N兩點，下列三個結論：

【點評】本題學生用以上解法很容易選出答案，作為壓軸題，過于簡單，且考查面偏小．學生看完題目，首先會選擇用平面幾何知識結合圓錐曲線去解題，但是發現很困難，其次會嘗試用設點表示直線或設斜率來做，發現計算量太大，于是選擇特殊值法，問題迎刃而解．這么容易解答出了試卷的第14題，這樣的試卷結構有失合理性．

通過對2015年高考全國各地數學試卷、尤其是對上述8道試題的分析，筆者得到了許多教學啟示．其中主要有以下幾個方面：第一，在平時的教學中，應引導學生注重對教科書基本知識點的理解、掌握．第二，日常教學中要加強對學生計算能力的訓練，一方面，要提高計算的速度；另一方面，要提高計算的準確率．第三，在日常訓練中，要強化解題過程的規范性與完整性．第四，注重圖表語言理解能力的培養，引導學生注重數形結合的數學基本方法的理解與應用．