結構性能概率模型的小樣本建模方法

姚繼濤，程凱凱，宋 璨

（西安建筑科技大學土木工程學院，陜西 西安 710055）

目前通過試驗建立結構性能概率模型的過程中，一般采用經典統計學中的矩法推斷其中關鍵的計算模式不定性系數的概率特性，并以此為基礎推斷結構性能的概率特性[1,2]．理論上講，矩法僅適用于樣本容量（試件數量）很大的場合[3]，而試驗建模中的試件數量往往有限，很難達到大樣本容量的要求，這時矩法的推斷結果會受到顯著的統計不定性的影響[4]，并直接影響對結構性能概率特性的推斷，存在較大的因過高估計結構性能而導致額外失效風險的可能．歐洲規范在推斷結構抗力設計值時建議，樣本容量不大于100時應采用與經典統計學方法不同的小樣本推斷方法．這可作為試驗建模中需考慮統計不定性影響的參考標準．但目前無論樣本容量多少，均不加區別地采用了經典統計學的方法，可能因統計不定性的影響而過高估計結構的性能，導致額外的失效風險．這是目前試驗建模中涉及基本方法的一個普遍問題，對結構的可靠度分析和設計都有著全局性的影響．

論文將針對目前試件數量普遍不足的現象，研究小樣本條件下建立結構性能概率模型的方法，合理反映統計不定性對推斷結果的影響．

1 建模的基本步驟

結構性能的概率模型一般可表達為[5]

式中：g(·)為結構性能函數；X1,…,Xm為幾何參數、材料性能等影響因素；η為反映尺寸效應、時間效應、環境條件、工藝條件等影響的計算模式不定性系數．這里將η分解為兩部分，即

設實驗室中通過n個試件的試驗得到和Y的n組數據，這時建立結構性能概率模型的基本步驟如下：

(1)通過對試驗數據的擬合或對理論分析結果的修正，建立結構性能函數g(·)．它一般應滿足或近似滿足

(5)確定結構性能Y的概率分布形式，最終形成完整的結構性能概率模型．一般直接假定其服從對數正態分布或正態分布[7]．

推斷計算模式不定性系數的概率特性是上述建模過程中的關鍵步驟，這里以此為重點討論結構性能概率模型的建模方法．

2 目前建模方法

雖然目前未明確對計算模式不定性系數η按式(2)進行分解，但其推斷過程實際上包含著類似的兩個步驟：根據試驗結果推斷實驗室條件下計算模式不定性系數的概率特性；根據經驗對其做適當調整，以考慮實際條件的影響．一般采用經典統計學中的矩法推斷的均值和標準差，其結果分別為[1,2]

理論上講，矩法僅適用于樣本容量n很大的場合[3]，而試驗建模中的試件數量往往有限，很難達到大樣本容量的要求，這時矩法的推斷結果會受到統計不定性的影響[4]．

所謂統計不定性指因樣本容量不足而產生的推斷結果的不確定性．樣本容量n不足時，即使無試驗誤差，也不能斷定均值、標準差的推斷值為其真值若重復做同樣的多組試驗，各組的推斷結果之間也往往存在差異，且樣本容量越小，差異一般越大．這些均為推斷中統計不定性的表現，一般可以一定置信水平下推斷結果的相對誤差反映統計不定性的影響．

它們亦為隨機變量，且隨機性越大，推斷中的統計不定性越大．令它們分別為矩法推斷結果可能具有的相對誤差．可以證明

它們分別服從標準正態分布和自由度為n-1的卡方分布[8]．這時利用區間估計法[3]，可得一定置信水平下相對誤差的上、下限．

圖1所示為置信水平C=0.9、變異系數的典型情況下相對誤差的上、下限．可見：樣本容量較小時，矩法推斷結果存在著較大的相對誤差，受統計不定性的影響顯著，且主要存在于對標準差的推斷中．換言之，矩法的推斷結果，特別是對標準差的推斷結果，會在較大的范圍內波動，存在較大的因過高估計結構性能而導致額外失效風險的可能．

圖1 概率特性推斷結果相對誤差的上、下限Fig.1 The upper and lower value of relative error for inference result of probability characteristic for

3 區間估計法

為考慮統計不定性的影響，樣本容量n較小時，宜采用較矩法保守的方法推斷的概率特性，其中較常用的方法是區間估計法[3]．這時可構造統計量

它們分別服從自由度為n-1的t分布和自由度為n- 1的卡方分布[8]．分別令

區間估計法雖可給出較矩法穩妥的結果，但推斷中必須確定置信水平C，它對推斷結果有著直接影響，且數值越高，影響越大．置信水平并不存在理論上的值，需依據經驗選擇，受主觀因素的影響較大，這給建模方法的統一和建模結果的比較帶來一定的困難，不便于應用．

4 貝葉斯法

貝葉斯法[9]同樣可在小樣本條件下給出較矩法穩妥的結果，但可回避對置信水平C的選擇．這時需采取以下步驟：視計算模式不定性系數tη的概率分布為關于未知參數的條件概率分布它仍為正態分布；同時，視未知參數為隨機變量，并利用先驗信息確定其聯合先驗分布；利用貝葉斯公式，確定的聯合后驗分布；利用條件概率分析方法，進一步確定的概率分布據此確定未知參數的估計值．

貝葉斯推斷中的關鍵問題是如何確定未知參數的先驗分布，它不可避免地要受到主觀因素的影響．在這一方面，Jeffreys提出的無信息先驗分布因對未知參數的取值無任何偏愛而能夠較大程度地降低主觀因素的影響[10]，在貝葉斯推斷中得到廣泛應用．現行國際標準 ISO2394:1998[7]和歐洲規范EN1990:2002[11]中均采用了基于 Jeffreys無信息先驗分布的貝葉斯法．

它適用于樣本容量n≥4的場合，一般的試驗建模中均可滿足這一要求．

這里的貝葉斯法與一般的貝葉斯法存在著差別．按一般貝葉斯法[9]，在得到的聯合后驗分布后，則分別確定的邊緣分布，并以的均值作為其估計值．根據式（21），的邊緣分布分別為

5 對比分析

5.1 統計不定性的反映程度

無論采用矩法、區間估計法、一般貝葉斯法還是本文貝葉斯法，樣本容量較小時推斷中的統計不定性都是存在的．矩法和區間估計法推斷中的統計不定性表現為統計量的隨機性，而貝葉斯法推斷中的則表現為分布參數的隨機性．

矩法是依據統計量的均值建立的，未充分考慮統計量的隨機性，因此也不能充分反映統計不定性對推斷結果的影響．區間估計法則是依據統計量的分位值建立的，置信水平較高時，其考慮統計量隨機性的程度亦較高，可較充分地反映統計不定性的影響．一般貝葉斯法是依據分布參數的后驗分布建立的，它以均值作為分布參數的推斷結果，亦不能充分反映統計不定性的影響．文中貝葉斯法是以分布參數的后驗分布為權函數，按式（22）對的條件概率分布加權平均后，依據的概率分布建立的，它考慮了分布參數所有可能的取值及其概率，這也意味著它可全面反映統計不定性對推斷結果的影響；相對而言，區間估計法是局部地反映了統計不定性的影響．

5.2 推斷結果的等效置信水平

矩法、貝葉斯法中雖無置信水平的概念，但隱含著等效的置信水平．令它們的推斷結果與區間估計法的相等，便可確定相應的等效置信水平．例如，對于文中貝葉斯法，可令

通過獨立求解關于C的這兩個方程，可分別確定推斷結果的等效置信水平．

圖2所示為矩法和貝葉斯法推斷結果的等效置信水平，可見：均值推斷結果的等效置信水平均為0.5；在標準差的推斷中，矩法和一般貝葉斯法的等效置信水平相近，但均低于0.5，特別是當樣本容量較小時；文中貝葉斯法中標準差推斷結果的等效置信水平在樣本容量為4～70時為0.58～0.85，且樣本容量越小，等效置信水平越高．統計不定性的影響主要存在于對標準差的推斷中，等效置信水平越高，對統計不定性的考慮越充分．按區間估計法的觀點，標準差推斷結果的等效置信水平應高于 0.5，特別是在樣本容量較小時．文中貝葉斯法的等效置信水平滿足這種一般性要求，但矩法和一般貝葉斯法等效置信水平過低．

圖2 矩法和貝葉斯法推斷結果的等效置信水平Fig.2 The equivalent confidence level of inference result for the moment and the Bayesian method

圖3 各種方法中標準差的推斷結果Fig.3 The inference result of the standard deviation ofvarious methods

5.3 推斷結果

綜上所述，文中貝葉斯法不僅回避了區間估計法中因置信水平的選擇而帶來的困難，更便于應用，而且可全面反映統計不定性的影響，其均值的推斷結果相對準確，而標準差推斷中的等效置信水平可滿足一般性的要求，推斷結果穩妥、適中，可作為小樣本條件下建立結構性能概率模型的一個基本方法．

6 結論

推斷計算模式不定性系數的概率特性是建立結構性能概率模型的關鍵．針對樣本容量普遍不足的現象，重點研究了實驗室條件下計算模式不定性系數概率特性的推斷方法，結論如下：

(1) 樣本容量較小時，無論采用哪種方法，推斷中的統計不定性都是存在的．目前采用的矩法未充分反映統計不定性的影響，推斷結果受統計不定性的影響顯著，且主要存在于對標準差的推斷中，相應的等效置信水平過低，推斷結果偏于冒進，存在較大的因過高估計結構性能而導致額外失效風險的可能．一般貝葉斯法存在與矩法同樣的缺陷．

(2) 區間估計法較充分地反映了統計不定性的影響，可給出較矩法和一般貝葉斯法穩妥的結果，特別是在樣本容量較小時，但必須人為選擇置信水平，受主觀因素的影響較大，給建模方法的統一和建模結果的比較帶來一定困難，不便于應用．

(3) 文中貝葉斯法可全面反映統計不定性的影響，其均值的推斷結果相對準確，而標準差推斷中的等效置信水平可滿足一般性的要求，推斷結果穩妥、適中，同時回避了區間估計法中的困難，更便于應用，可作為小樣本條件下建立結構性能概率模型的一個基本方法．

References

[1]中華人民共和國建設部．GB/T 50152-2012 混凝土結構試驗方法標準[S]．北京：中國建筑工業出版社，2012.Ministry of construction of the People’s Republic of China．GB/T 50152-2012 Standard methods for testing of concrete structures [S]．Beijing：China Architecture and Building Press，2012.

[2]中華人民共和國建設部．GB 50152-92 混凝土結構試驗方法標準[S]．北京：中國建筑工業出版社，1992.Ministry of construction of the People’s Republic of China．GB 50152-92 Standard methods for testing of concrete structures [S]．Beijing：China Architecture and Building Press，1992.

[3]茆詩松，王靜龍，濮曉龍．高等數理統計[M]．北京：高等教育出版社，施普林格出版社，1998.MAO Shisong，WANG Jinglong，PU Xiaolong．Advanced Mathematical Statistics [M]．Beijing：Higher Education Press，Springer-Verlag Press，1998.

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[8]茆詩松，王靜龍，史定華．統計手冊[M]．北京：科學出版社，2003.MAO Shisong，WANG Jinglong，SHI Dinghua．Statistics handbook [M]．Beijing：Science Press， 2003.

[9]茆詩松．貝葉斯統計[M]．北京：中國統計出版社，2005.MAO Shisong．Bayesian Statistics [M]．Beijing：China Statistics Press，2005.

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[11]European committee for standardization. EN1990-2002：Eurocode-basis of structural design [S]. London, UK:BSI,2002