雙角平分線雙劍合璧

王冬升

波利亞指出：拿一個有意義但不復雜的題目去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域. 在數學教學時，教師往往都為選題而煩惱，而浙教版《義務教育教科書·數學》教材編委精心編寫的教材例題、習題一般都有典型性、示范性、遷移性、再生性等特點，它們或滲透了某些數學方法，或體現了某些數學思想，或提供了某些重要結論，意義非同一般. 因此，對它們不能簡單地就題論題，而應進行開發、引申與挖掘，揭示其有價值的結論. 這樣不僅能得到一批“源于教材，而又高于教材”的好題，疏通知識之間的聯系，又能開闊學生的思路，培養學生的創造力，產生觸類旁通、舉一反三的學習效果. 現擬從教材中采擷一例，解析習題的創新再生.

一、原題重現

浙教版《義務教育教科書·數學》七年級上冊第六章“圖形的初步知識”第七節作業題B組第5題：

如圖1，E是直線AC上一點，EF，EG分別是∠AEB，∠BEC的平分線. 求∠GEF的度數.

解析：由已知可知：∠GEF=∠CEB+∠AEB=∠AEC=90°.

通過題目的結論我們很容易發現，無論∠AEB和∠BEC如何變化，即當射線EB繞點E旋轉時，∠GEF和∠AEC必有如下數量關系：∠GEF=∠AEC. 這樣整齊的等式是非常值得我們對其進行更深層次的研究與探討. 這是七年級平面幾何中比較經典的一道習題，它不僅僅是“角的和差”“角的平分線”這些重要概念的應用，還蘊含著非常重要的數學思想——整體思想.筆者在教學過程中對本題進行了適當的拓展，收到了很好的效果.

二、變式延伸

變式1：改變∠AEC的大小，由180°變為90°.

解析：如圖2，由已知可知

∠GEF=∠CEB+∠AEB=∠AEC=45°.

此時∠GEF和∠AEC依然有如下數量關系：∠GEF=∠AEC.

如果∠AEC為任意大小的角，我們發現依然有∠GEF=∠AEC這樣的關系.通過上面的初步變換，我們得到了一個一般性結論：“如果∠AEC內部有三條射線EG，EB，EF，其中EG平分∠BEC，EF平分∠AEB，那么∠GEF=∠AEC. ”

變式2：將上述結論中“平分”的條件改為“∠GEB=∠BEC，∠BEF= ∠AEB ”

經過此次變換后得到的結論與變式1中的結論類似，故可以進一步得出：“如果∠AEC內部順次有三條射線EG，EB，EF，其中∠GEB=∠BEC，∠BEF=∠AEB，那么∠GEF=∠AEC”.

變式3：將“EG平分∠BEC ”變為“EG 平分∠AEC”

解析：如圖4，由已知可知∠GEF=∠AEC-∠AEB=∠BEC.

雖然角平分線的位置發生了變化，但是解決問題的思想沒變，仍是應用整體思想將 ∠GEF轉化為∠AEC和∠AEB的關系，與前兩次變換異曲同工.

變式4：已知∠GEF=90°，頂點E在直線AC 上，使∠GEF繞點E旋轉，當射線EF平分∠AEB時，射線GE所在的直線是否平分∠BEC？

解析：（1）如圖5，當射線GE與射線EF在直線AC同側時，易知射線GE平分∠BEC.

（2）如圖6，當射線GE與射線EF在直線 AC異側時，易知射線GE的反向延長線平分∠BEC .

綜上，射線GE所在的直線平分∠BEC.

當一個問題的條件發生變化時，問題結論的形式未必發生變化.對于課后習題的處理不僅僅在于解答的思路與過程，更應該注重挖掘一道習題的典型代表性在什么地方，從而有目的地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，使知識點融會貫通，使思維在所學知識中如魚得水.

通過對一道課本上的原題進行四種變化，這道教材上的解答題發揮了“以一當四”的作用. 波利亞在《怎樣解題》中說過“沒有任何一個題目是徹底完成了的”，故我們仍希望通過這道題目得到更多的東西.

回顧前面的變式1、變式2、變式3，我們從改變已知條件上進行變式，其實主要都是圍繞射線OB的位置變化情況進行的，所以可以通過如下這樣一個題目來對前面三個變式進行總結：∠AEC是小于平角的任意角，作射線EB，再作射線EG，EF， EG平分∠BEC， EF平分∠AEB.當射線EB繞點E旋轉時，試探究∠GEF與∠AEC的關系.

通過分析，我們可以發現，這道題目不僅僅是對前面變式的一個總結，在解決問題過程中所應用的數學思想也發生了變化，不僅有整體思想，還增添了分類討論思想.

在圖7、圖8中∠GEF與∠AEC的關系是∠GEF=∠AEC.

在圖9中∠GEF與∠AEC的關系是 ∠GEF=180°-∠AEC.

對于變式4，可以給出更加豐富的題目背景：

如圖10，點O為直線AB上一點，過點 O作射線OC，使∠BOC=120°. 將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線 OB上，另一邊ON在直線AB的下方.

（1）將圖10中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖11，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC. 此時直線ON是否平分∠AOC？請說明理由.

（2）將圖10中的三角板繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，求t的值.

（3）將圖10中的三角板繞點O順時針旋轉至圖12，使ON在∠AOC的內部，求∠AOM-∠NOC的度數.

例題講解貴在小而精，以小見大. 教師用在設計例題上的時間與學生做練習的時間是成反比的. 例題設計是否精致，直接決定著學生的學習效果. 在教學中教師要提高對教材中習題的重視程度，對一些具有代表性的好題，不妨小題大做一番！

三、結語

迅速提高解題能力，是教師和學生共同關心的問題之一. 引導學生一題多變，將某些題目適當引申、拓廣，不僅可以使學生對知識掌握得更加系統，而且可以激發學生的求知欲望，培養學生數學思維品質以及自覺探究的良好習慣. 通過對課本中典型習題的引申和挖掘，讓學生在變化中發現規律，盡量做到能用典型習題這一把“鑰匙”開一類“鎖”，以達到“做一題，通一類，會一片”的效果.

新課程倡導教師要創造性地使用教材，縱觀近幾年各地中考試題，有很多題目都源于教材而又高于教材. 因此，在日常教學中教師不要盲目甩開教材，濫用其他資料，搞“題海戰術”，而應精心解讀教材，站在知識系統的高度用“活”教材. 總之，對于每一道課后習題，都不能“就題論題”，而應該開闊解題思路，通過一題多變、一題多用、多解歸一、多題歸一等形式，賦予課后習題更多的活力與意義，發掘更多更好的數學模型. 既要重視變化之形，也要重視不變之魂，向學生滲透數學思想和方法，進而獲得一種更有力度、充滿張力的數學思考，以及觸及心靈的精神愉悅.