帶落角約束的有限時(shí)間收斂末制導(dǎo)律研究

張寬橋,楊鎖昌,王　剛

(軍械工程學(xué)院 導(dǎo)彈工程系,石家莊 050003)

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帶落角約束的有限時(shí)間收斂末制導(dǎo)律研究

張寬橋,楊鎖昌,王剛

(軍械工程學(xué)院 導(dǎo)彈工程系,石家莊 050003)

摘要:針對(duì)導(dǎo)彈末制導(dǎo)過(guò)程中的終端落角約束的問(wèn)題,基于滑模控制和有限時(shí)間控制理論,設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間收斂末制導(dǎo)律。利用終端滑模控制中滑模面上的跟蹤誤差能夠有限時(shí)間收斂到0的特點(diǎn),選取終端滑模面,引入落角約束項(xiàng),采用有限時(shí)間穩(wěn)定性理論對(duì)導(dǎo)引律的有限時(shí)間收斂特性進(jìn)行了證明,并給出了收斂時(shí)間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。將該末制導(dǎo)律與其他2種帶落角約束的導(dǎo)引律進(jìn)行了對(duì)比仿真。結(jié)果表明,利用該制導(dǎo)律,制導(dǎo)武器能以更高的命中精度和更小的落角偏差命中目標(biāo)。

關(guān)鍵詞:末制導(dǎo)律;落角約束;有限時(shí)間收斂;終端滑模控制

對(duì)于很多精確制導(dǎo)武器(如反坦克導(dǎo)彈、反艦導(dǎo)彈等)而言,單純的提高命中精度已經(jīng)不能滿足現(xiàn)代化戰(zhàn)爭(zhēng)的需要。這些制導(dǎo)武器在精確命中目標(biāo)的同時(shí),還需要以一定的落角擊中目標(biāo),進(jìn)而更大地發(fā)揮出戰(zhàn)斗部的毀傷效能。因此,對(duì)這些制導(dǎo)武器的導(dǎo)引律進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí),必須考慮落角約束問(wèn)題。

目前,國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者針對(duì)不同的應(yīng)用背景,基于不同的理論方法提出了多種帶落角約束的導(dǎo)引律,如最優(yōu)導(dǎo)引律[2-3]、改進(jìn)的比例導(dǎo)引律[4-5]、幾何曲線導(dǎo)引律[6-7]、變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律[8-10]等。基于最優(yōu)控制理論推導(dǎo)出的最優(yōu)導(dǎo)引律,是迄今研究最廣泛的一類,它可以根據(jù)不同性能指標(biāo)設(shè)計(jì)出不同形式的導(dǎo)引律,在理想情況下具有最佳的制導(dǎo)性能,但是它依賴于各種假設(shè)和簡(jiǎn)化,魯棒性較差;改進(jìn)的比例導(dǎo)引律結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單,對(duì)測(cè)距、測(cè)速等信息要求不高,易于工程實(shí)現(xiàn),但其對(duì)導(dǎo)引信息的準(zhǔn)確性要求較高,抗干擾能力差;幾何曲線導(dǎo)引律無(wú)需測(cè)距信息,但依賴于各種假設(shè)和簡(jiǎn)化,制導(dǎo)精度不高。

由于變結(jié)構(gòu)在滑動(dòng)模態(tài)對(duì)干擾等具有不變性,且其控制算法較為簡(jiǎn)單,因此,滑模變結(jié)構(gòu)控制也被廣泛應(yīng)用于導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)中。通過(guò)在滑模面引入落角約束項(xiàng),可以推導(dǎo)出具有落角約束的變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律。文獻(xiàn)基于變結(jié)構(gòu)控制理論,提出了一種帶落角約束的變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律,并對(duì)彈目和距離變化率進(jìn)行了估計(jì)。文獻(xiàn)基于滑模控制算法,通過(guò)對(duì)視線角進(jìn)行整形，設(shè)計(jì)了一種滿足攻擊時(shí)間和角度約束的制導(dǎo)律,但制導(dǎo)律形式較為復(fù)雜,需要大量的迭代運(yùn)算,實(shí)時(shí)性差。上述變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律均利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí),制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)趨近于0,能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的有限時(shí)間收斂。文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間收斂的制導(dǎo)律,保證了制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。文獻(xiàn)[11]選用終端滑模面取代傳統(tǒng)的線性滑模面,設(shè)計(jì)了一種帶落角約束的終端滑模控制末制導(dǎo)律,能夠使期望落角在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到,對(duì)外界干擾就有很強(qiáng)的魯棒性。文獻(xiàn)[12]對(duì)終端滑模控制與傳統(tǒng)滑模控制方法進(jìn)行了深入分析和研究,驗(yàn)證了終端滑模控制方法在收斂特性上的優(yōu)越性。

本文基于終端滑模控制理論,采用自適應(yīng)冪次趨近律結(jié)合非奇異終端滑模面設(shè)計(jì)了一種帶落角約束的末制導(dǎo)律,同時(shí)利用有限時(shí)間控制理論對(duì)其有限時(shí)間收斂特性進(jìn)行了分析,并求解了收斂時(shí)間,給出了具體的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。針對(duì)滑模控制固有的抖振問(wèn)題,采用飽和函數(shù)法和變開(kāi)關(guān)系數(shù)法相結(jié)合的方法對(duì)抖振進(jìn)行了有效的削弱。

1預(yù)備知識(shí)

考慮如下非線性系統(tǒng):

(1)

式中:X∈Rn,f:U0×R→Rn在U0×R上連續(xù),而U0是原點(diǎn)X=0的一個(gè)開(kāi)鄰域。

基于有限時(shí)間控制理論,有如下引理。

對(duì)上式進(jìn)行積分求解可得:

V1-λ(X)≤V1-λ(X0)-c(1-λ)t?0≤t≤TX(X0)

考慮到,當(dāng)t≥TX(X0)時(shí),V(X)=0,可以得到系統(tǒng)的有限收斂時(shí)間為

證明完畢。

2彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

在進(jìn)行導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)前,需要建立彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型。首先,假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。然后,在慣性坐標(biāo)系Oxy中,建立導(dǎo)彈和目標(biāo)在縱向平面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系,如圖1所示。圖中,M為導(dǎo)彈,T為目標(biāo);vm為導(dǎo)彈的速度,θm為導(dǎo)彈的彈道傾角;vt為目標(biāo)的速度,θt為目標(biāo)的航跡傾角;r為彈目之間相對(duì)距離,q為彈目視線角,規(guī)定所有角度逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?反之為負(fù)。

圖1　彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

求導(dǎo)得:

并且:

式中:amr,amq分別為導(dǎo)彈加速度在彈目視線方向上和在垂直于彈目視線方向上的分量；atr,atq分別為目標(biāo)加速度在彈目視線方向上和在垂直于彈目視線方向上的分量。

結(jié)合式(2),可得:

由上式可得彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

結(jié)合式(3)可得制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(4)

3有限時(shí)間收斂末制導(dǎo)律

3.1末制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)

首先,選取終端滑模面切換函數(shù)為

(5)

式中:k>0,0<η<1。上式切換函數(shù)第1項(xiàng)趨近于0,能夠滿足命中目標(biāo)的要求,第2項(xiàng)趨近于0,即q→qd滿足落角約束的要求。在制導(dǎo)的初始階段,彈目相對(duì)距離r(t)較大,切換函數(shù)的第1項(xiàng)起主要作用,導(dǎo)引導(dǎo)彈飛向目標(biāo),在制導(dǎo)的末段,r(t)逐漸趨近于0,第2項(xiàng)起主要作用,控制導(dǎo)彈以期望的落角命中目標(biāo)。

選取自適應(yīng)冪次趨近律:

(6)

式中:ε>0,0<α<1。

可以得到:

由于在制導(dǎo)過(guò)程中r(t)>0,α>0,則:

從而能夠滿足滑模到達(dá)條件,即系統(tǒng)狀態(tài)能夠到達(dá)滑模面。

由式(5)可得:

將式(4)和式(6)代入其中,得:

整理后,可得制導(dǎo)律的形式:

ε|s|αsgn(s)]

(7)

3.2有限時(shí)間收斂特性分析

對(duì)于末制導(dǎo)律(7),有如下結(jié)論。

證明對(duì)于系統(tǒng)(4)，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可分為2個(gè)階段:

①滑模到達(dá)階段,系統(tǒng)狀態(tài)從初始狀態(tài)向滑模面運(yùn)動(dòng),到達(dá)滑模面的過(guò)程。

②沿滑模面運(yùn)動(dòng)階段,系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面后,沿著滑模面繼續(xù)運(yùn)動(dòng),最后到達(dá)平衡點(diǎn)的過(guò)程。

(8)

由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知,制導(dǎo)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的,即t→∞時(shí),s→0。

對(duì)于式(8),變換后可得:

由引理1得,系統(tǒng)狀態(tài)收斂到滑模面的時(shí)間滿足:

(9)

即系統(tǒng)狀態(tài)從初始狀態(tài)出發(fā),在T1時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)至滑模面上。

對(duì)沿滑模面運(yùn)動(dòng)階段進(jìn)行分析,此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)滿足:

(10)

由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知,系統(tǒng)(10)是漸進(jìn)穩(wěn)定的,即t→∞時(shí),x1→0。由于x1=q(t)-qd,則:

表明彈目視線角最終能夠收斂到期望落角,所設(shè)計(jì)導(dǎo)引律理論上能夠滿足落角約束要求。

(11)

綜合以上分析可知,制導(dǎo)系統(tǒng)是有限時(shí)間收斂的,且彈目視線角收斂到期望落角。制導(dǎo)系統(tǒng)收斂時(shí)間可以由如下數(shù)學(xué)形式估計(jì):

證明完畢。

由式(9)可以看出,系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面的時(shí)間與ε成反比,即ε越大,則時(shí)間越短;由式(11)可以看出,系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面后,收斂到平衡點(diǎn)(原點(diǎn))的時(shí)間與k和(1-η)成反比。因此,可以通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)ε、k和η對(duì)系統(tǒng)收斂速度和時(shí)間進(jìn)行控制。

有限時(shí)間收斂的制導(dǎo)律(7)是一種滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律,具有很好的快速收斂特性和魯棒性,實(shí)現(xiàn)了有限時(shí)間穩(wěn)定,并且具有很好的抗干擾能力。但是變結(jié)構(gòu)控制的強(qiáng)魯棒性是以控制量的高頻抖振換來(lái)的,抖振現(xiàn)象是變結(jié)構(gòu)控制固有的,它不僅降低了制導(dǎo)系統(tǒng)的控制精度,還會(huì)破壞系統(tǒng)性能,最終導(dǎo)致脫靶量的增大,因此,需要對(duì)抖振進(jìn)行削弱[14]。常用的方法有飽和函數(shù)法、變開(kāi)關(guān)系數(shù)法、雙曲線函數(shù)法等,這里將飽和函數(shù)法和變開(kāi)關(guān)系數(shù)法進(jìn)行結(jié)合,實(shí)現(xiàn)對(duì)抖振的削弱。首先,用一個(gè)飽和函數(shù)sat(s)代替符號(hào)函數(shù)sgn(s),飽和函數(shù)的具體形式為

式中:δ>0是一個(gè)微小量,一般稱為邊界層,也稱為消顫因子[15]。

其次,采用變開(kāi)關(guān)系數(shù)法對(duì)開(kāi)關(guān)項(xiàng)系數(shù)ε的形式進(jìn)行改進(jìn),使ε的值隨著r的減小而逐漸變小,從而達(dá)到減少到滑模面的時(shí)間以及控制抖振幅度的目的。為使制導(dǎo)律的形式簡(jiǎn)便,選取r的一次函數(shù)對(duì)ε的形式進(jìn)行改進(jìn),即:

ε=ar+b

式中:a>0,b>0,其具體取值與ε的上下限有關(guān)。當(dāng)r接近于0時(shí),根據(jù)ε的下限可確定b的值,在末制導(dǎo)初始階段,根據(jù)ε的上限和r的值確定a的值。

4仿真分析

為了對(duì)比分析所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的制導(dǎo)效果,全面考察制導(dǎo)律 的性能,在仿真實(shí)例中還引入了文獻(xiàn)提出的帶落角約束的偏置比例導(dǎo)引律(BPNG)和文獻(xiàn)提出的帶落角約束的變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律(VSG),并進(jìn)行了對(duì)比仿真。2種導(dǎo)引律的表達(dá)形式分別為

式中:K為比例系數(shù),tgo為剩余飛行時(shí)間,k1、k2、k3為制導(dǎo)參數(shù),且均大于0。VSG選取的滑模面函數(shù)為s1=k1x2+(k2vmx1/r)。

下面將根據(jù)目標(biāo)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),分為2個(gè)場(chǎng)景進(jìn)行仿真分析。

1)場(chǎng)景1——打擊固定目標(biāo)。

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1和圖2~圖5所示。表1中,Δ為脫靶量,qf為終端落角,tf為制導(dǎo)時(shí)間。

表1　場(chǎng)景1仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖2　場(chǎng)景1彈道曲線

圖3　場(chǎng)景1彈道傾角曲線

圖4　場(chǎng)景1視線角曲線

圖5　場(chǎng)景1彈目視線角速率曲線

2)場(chǎng)景2——打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)。

目標(biāo)以-10m/s的初始速度和-1m/s2的加速度沿x軸方向加速運(yùn)動(dòng)。

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2和圖6~圖9所示。

表2　場(chǎng)景2仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖6　場(chǎng)景2彈道曲線

圖8　場(chǎng)景2視線角曲線

圖9　場(chǎng)景2視線角速率曲線

通過(guò)分析表1和表2可以看出,在2種仿真場(chǎng)景下,BPNG的脫靶量最大,VSG次之,FTCG最小。在落角控制方面,打擊固定目標(biāo)時(shí),3種制導(dǎo)律都表現(xiàn)出了良好的效果,基本都能達(dá)到期望落角,FTCG更為接近期望落角;在打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí),FTCG能夠達(dá)到期望的落角,BPNG和VSG則有2°左右的偏差。因此,在落角控制方面,本文所提的導(dǎo)引律要優(yōu)于其他2種制導(dǎo)律,并且在制導(dǎo)時(shí)間上,FTCG所用時(shí)間也最短。

從圖2和圖6可以看出,3種制導(dǎo)律的彈道都比較平滑,且都是通過(guò)增加彈道的弧度來(lái)實(shí)現(xiàn)增大落角的目的,由于FTCG的彈道相對(duì)較低,路徑較短,進(jìn)而使得其制導(dǎo)時(shí)間相對(duì)較短。從圖3~圖5和圖7~圖9可以看出,由于FTCG的有限時(shí)間收斂特性,無(wú)論是固定機(jī)動(dòng)目標(biāo)還是機(jī)動(dòng)目標(biāo),FTCG都能較快地達(dá)到期望落角,尤其在打擊固定目標(biāo)時(shí),能夠在命中目標(biāo)前彈道傾角和彈目視線角都收斂到期望落角,并且彈目視線角速率也收斂到0,使得導(dǎo)彈在末端有一段近乎直線飛行的軌跡，可大大提高導(dǎo)彈在制導(dǎo)末端的飛行穩(wěn)定性。

由圖5和圖9可以看出,FTCG的視線角速率在制導(dǎo)末端能夠有效地收斂到0,使得導(dǎo)彈在末段能夠以平行接近法飛向目標(biāo),能夠有效減小末端導(dǎo)彈的過(guò)載,增強(qiáng)魯棒性;VSG和BPN在制導(dǎo)末端彈目視線角速率沒(méi)有收斂到0,并且由于落角還沒(méi)有收斂到期望值,導(dǎo)致視線角變化較大,使得視線角速率在末端變化較為劇烈;同時(shí),FTCG采用飽和函數(shù)法和變開(kāi)關(guān)系數(shù)法對(duì)抖振進(jìn)行了有效的削弱,使得其在末端沒(méi)有出現(xiàn)抖振現(xiàn)象,但VSG沒(méi)有很好地對(duì)抖振進(jìn)行削弱,因而彈目視線角速率在末端出現(xiàn)了明顯的高頻抖振。

綜上所述,仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所提帶落角約束的有限時(shí)間收斂末制導(dǎo)律在提高導(dǎo)彈命中精度和控制落角方面的有效性,對(duì)比仿真結(jié)果表明,無(wú)論打擊固定目標(biāo)還是運(yùn)動(dòng)目標(biāo),該制導(dǎo)律都具有更好的制導(dǎo)性能和魯棒性。

5結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)導(dǎo)彈末制導(dǎo)中的落角約束問(wèn)題進(jìn)行了研究,基于滑模控制和有限時(shí)間控制理論,提出了一種帶落角約束的有限時(shí)間收斂末制導(dǎo)律,對(duì)其穩(wěn)定性和有限時(shí)間收斂特性進(jìn)行分析,并對(duì)抖振現(xiàn)象進(jìn)行了有效抑制。通過(guò)對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了所提制導(dǎo)律的有效性和優(yōu)越性。本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律結(jié)構(gòu)形式較為簡(jiǎn)單,且具有較強(qiáng)的魯棒性,易于工程實(shí)踐,具有很好的工程應(yīng)用價(jià)值。但由于制導(dǎo)參數(shù)對(duì)導(dǎo)引律的性能影響較大,如何選取最佳的制導(dǎo)參數(shù)將是下一步研究的重點(diǎn)問(wèn)題。

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ZHANGKuan-qiao,YANGSuo-chang,WANGGang

(DepartmentofMissileEngineering,OrdnanceEngineeringCollege,Shijiazhuang050003,China)

Abstract:Aiming at the requirements of the terminal impact-angle constraint during the terminal guidance phase of missile,a finite-time convergence terminal guidance law was designed based on the advanced theories of sliding mode control and finite-time control.Considering the specialty that the tracking error on the sliding surface can converge to zero in finite time by using the terminal sliding mode control,the terminal sliding mode surface was selected as the impact angle constraint.The finite-time stabilization-theory was used to analyze the guidance law and prove the finite time convergence feature of the guidance system,and the mathematics expression of the convergence time was given.This proposed guidance-law was compared with another two guidance laws with impact angle constraint.The result shows that the guided missile can hit the target with higher hit-accuracy and less impact-angle error by the proposed guidance.

Key words:terminal guidance law;impact angle constraint;finite-time convergence;terminal sliding mode control

中圖分類號(hào):TJ765.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-499X(2015)04-0030-07

作者簡(jiǎn)介:張寬橋(1992- ),男,碩士研究生,研究方向?yàn)榫_制導(dǎo)理論與技術(shù)。E-mail:zkuanqiao@163.com。

收稿日期:2015-06-25