考慮優(yōu)先級(jí)的廣義猶豫模糊信息集成方法*

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考慮優(yōu)先級(jí)的廣義猶豫模糊信息集成方法*

通信地址：510641 廣東省廣州市天河區(qū)華南理工大學(xué)工商管理學(xué)院Address:School of Business Administration,South China University of Technology,Tianhe District,Guangzhou 510641,Guangdong,P.R.China

楊建輝,阮傳揚(yáng)

(華南理工大學(xué)工商管理學(xué)院，廣東 廣州510641)

摘要：研究了在屬性之間存在優(yōu)先級(jí)的情況下的廣義猶豫模糊信息集成問題?？紤]到屬性優(yōu)先級(jí)以及屬性元素的統(tǒng)一程度的雙重影響，首先給出了猶豫模糊信息下的熵值求法，并在其基礎(chǔ)上提出了優(yōu)先級(jí)混合賦權(quán)方法。之后，在該優(yōu)先級(jí)混合賦權(quán)方法的基礎(chǔ)上提出了廣義猶豫模糊優(yōu)先級(jí)混合幾何(GHFPHG)算子，并給出了該類算子的優(yōu)良特性。最后，利用案例驗(yàn)證了本文所提方法的實(shí)用性和有效性。

關(guān)鍵詞：猶豫模糊集；多屬性決策；廣義猶豫模糊集成算子；優(yōu)先級(jí)；熵值

1引言

猶豫模糊集HFS(Hesitant Fuzzy Set)是Torra V[1]在模糊集FS(Fuzzy Set)基礎(chǔ)上提出的一類廣義模糊集，HFS最大的特點(diǎn)是允許一個(gè)元素屬于一個(gè)集合的隸屬度可以同時(shí)出現(xiàn)幾個(gè)不同的評(píng)價(jià)值，當(dāng)決策小組針對(duì)某一個(gè)元素屬于一個(gè)集合的隸屬度不能達(dá)成一致意見時(shí)(也即呈現(xiàn)猶豫狀態(tài))，猶豫模糊集能夠有效地刻畫這一現(xiàn)象，是一種非常有用的工具。在目前的大數(shù)據(jù)浪潮下，如何對(duì)大數(shù)據(jù)信息(尤其是猶豫模糊信息)進(jìn)行識(shí)別和精簡(jiǎn)顯得尤為重要。因此，信息集成方法引起了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注。信息集成就是利用大量信息融合成少量信息的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)，特別是加入偏好信息的信息集成方法。Bedregal B[2]詳細(xì)研究了具有典型猶豫模糊現(xiàn)象的所有可能隸屬水平的信息集成因子。Xia M M和Xu Z S[3]在直覺模糊信息集成算子的基礎(chǔ)上詳細(xì)給出了猶豫模糊加權(quán)平均HFWA(Hesitant Fuzzy Weighted Average)算子和猶豫模糊加權(quán)幾何HFWG(Hesitant Fuzzy Weighted Geometric)算子等猶豫模糊信息集成算子。針對(duì)屬性值存在關(guān)聯(lián)關(guān)系的情況，Xu Z S和Cai X Q[4]定義了區(qū)間冪均融合算子，并用區(qū)間值之間的支持程度來(lái)確定權(quán)重信息。Yager R R[5]對(duì)Bonferroni算子進(jìn)行了討論，并將有序加權(quán)平均OWA(Ordered Weighted Average)和Choquet積分結(jié)合進(jìn)來(lái)共同反映數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。Wei G[6]和Yu D J等[7]在優(yōu)先級(jí)集成PA(Prioritized Aggregation)因子[8]的基礎(chǔ)上提出了新的猶豫模糊優(yōu)先級(jí)信息集成因子。

通過(guò)現(xiàn)有的文獻(xiàn)資料不難發(fā)現(xiàn)，猶豫模糊信息集成算子中一個(gè)關(guān)鍵因素就是偏好信息的集成方法，信息的偏好側(cè)重點(diǎn)各不相同，現(xiàn)有的反映偏好信息的方法主要是采用Choquet積分和優(yōu)先級(jí)集成(PA)因子，而在信息集成中具體從屬性自身信息量的多少以及離散程度出發(fā)，結(jié)合屬性的優(yōu)先級(jí)進(jìn)行定權(quán)的方法截止目前還未見有所研究。基于此，本文從猶豫模糊信息出發(fā)，研究一種新的屬性信息權(quán)重確定方法，即基于熵值的優(yōu)先級(jí)混合加權(quán)方法。之后，在該優(yōu)先級(jí)混合加權(quán)方法基礎(chǔ)上提出一種廣義猶豫模糊優(yōu)先級(jí)混合幾何GHFPHG(Generalized Hesitant Fuzzy Prioritized Hybrid Geometric)算子，并討論該類算子存在的特性。最后，利用應(yīng)急預(yù)案評(píng)估的數(shù)值算例驗(yàn)證本文所提方法的可行性和優(yōu)越性。

2預(yù)備知識(shí)

著名數(shù)學(xué)以及控制理論專家Zadeh L A[9]首次提出用隸屬函數(shù)來(lái)表達(dá)不確定的信息，這一數(shù)學(xué)方法即為模糊集。猶豫模糊集是廣義的模糊集，其特點(diǎn)是允許一個(gè)屬性中同時(shí)出現(xiàn)多個(gè)可能的評(píng)價(jià)值。

定義1[1,3]若存在一個(gè)非空集合X={x1,x2,…,xn}，則猶豫模糊集即為從X={x1,x2,…,xn}到[0,1]的一個(gè)子集的函數(shù)，可以用如下數(shù)學(xué)公式表示：

(1)

其中,hE(x)表示隸屬于[0,1]的幾個(gè)可能的數(shù)的集合，x∈X表示在集合E中的隸屬度。

定義2[3]若存在一個(gè)非空猶豫模糊集合h，則h的得分函數(shù)為：

(2)

其中，#h為猶豫模糊集h中的元素個(gè)數(shù)。

假設(shè)存在兩個(gè)非空猶豫模糊集h1和h2，若s(h1)?s(h2)，則h1?h2，若s(h1)=s(h2)，則h1=h2。

根據(jù)猶豫模糊集的特性及其運(yùn)算規(guī)則，Xia Mei-mei[10]給出了基于阿基米德T模和S模的猶豫模糊運(yùn)算,規(guī)則如下：

定義3[10]假設(shè)h、h1和h2為三個(gè)猶豫模糊集，則:

(3)h1?h2=∪γ1∈h1,γ2∈h2{k-1(k(γ1)+k(γ2))};

(4)h1⊕h2=∪γ1∈h1,γ2∈h2{l-1(l(γ1)+l(γ2))}。

其中，l(t)=k(1-t)。

一個(gè)嚴(yán)格的阿基米德T模是由一個(gè)加性的發(fā)生器k產(chǎn)生的，Klement定義為：T(x,y)=k-1(k(x)+k(y))，k:[0,1]→[0,+∞]為嚴(yán)格遞減的函數(shù)且k(1)=0。由l(t)=k(1-t)，則阿基米德S?？杀硎緸镾(x,y)=l-1(l(x)+l(y))。

3廣義猶豫模糊優(yōu)先級(jí)混合集成算子

信息集成是猶豫模糊集理論的重點(diǎn)研究?jī)?nèi)容之一，但是大多數(shù)學(xué)者都是假定屬性之間是獨(dú)立的，并沒有考慮屬性之間的優(yōu)先級(jí)關(guān)系。但是，在現(xiàn)實(shí)生活中，屬性之間往往存在某種程度的優(yōu)先級(jí)關(guān)系，并且猶豫模糊集元素的數(shù)量也會(huì)影響評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的可信程度。因此，本文提出一種既能考慮屬性優(yōu)先級(jí)又能同時(shí)考慮到猶豫模糊集中元素的離散程度的信息集成因子：廣義猶豫模糊優(yōu)先級(jí)混合幾何(GHFPWG)算子。

3.1　基于熵值的優(yōu)先級(jí)混合賦權(quán)方法

本文給出一種混合賦權(quán)方法，不僅可以考慮屬性優(yōu)先級(jí)，而且又能考慮到屬性數(shù)據(jù)的統(tǒng)一程度。詳細(xì)步驟如下[11,12]：

(1)評(píng)審專家組給出屬性偏好信息，即屬性優(yōu)先級(jí)排序。

(2)通過(guò)計(jì)算第j項(xiàng)屬性的熵值ej來(lái)確定相鄰優(yōu)先級(jí)屬性xj與xj+1重要性程度之比rj：

(3)

(4)

對(duì)于第j項(xiàng)屬性，屬性內(nèi)的猶豫模糊信息差異性越小，則ej越大；當(dāng)所有專家對(duì)第j項(xiàng)屬性的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)全部相等時(shí)，此時(shí)專家意見高度統(tǒng)一，在猶豫模糊集中僅保留一個(gè)數(shù)據(jù)，則令ej=emax=1；當(dāng)?shù)趈項(xiàng)屬性的專家評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)相差較大時(shí)，ej較小，該項(xiàng)屬性的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的可信程度較低，因此所起的作用也應(yīng)當(dāng)較小。

(3)根據(jù)給出的rj值，按照屬性優(yōu)先級(jí)從高到低的順序計(jì)算優(yōu)先級(jí)排序在第k個(gè)屬性的權(quán)重tk為：

(5)

3.2　廣義猶豫模糊優(yōu)先級(jí)混合幾何(GHFPHG)算子

基于現(xiàn)有的猶豫模糊信息集成算子以及考慮屬性優(yōu)先級(jí)的熵值組合賦權(quán)方法，我們可以定義廣義猶豫模糊優(yōu)先級(jí)混合幾何(GHFPHG)算子。

定義4設(shè)一組猶豫模糊數(shù)hj(j=1,2,…,n)，且設(shè)GHFPHG:Ωn→Ω,若

GHFPHG(h1,h2,…,hn)=

(6)

根據(jù)猶豫模糊集的運(yùn)算規(guī)則，可以得到如下的定理以及推論：

定理1設(shè)一組猶豫模糊數(shù)hj(j=1,2,…,n)，則通過(guò)GHFPHG算子集結(jié)后仍然為猶豫模糊數(shù)，且:

(7)

其中,tj(j=1,2,…,n)表示第j個(gè)屬性的基于熵值的優(yōu)先級(jí)混合權(quán)重。

定理2若所有猶豫模糊數(shù)滿足h1=h2=…=hn=h*，tj(j=1,2,…,n)表示第j個(gè)屬性基于熵值的優(yōu)先級(jí)混合權(quán)重，則有:

(8)

GHFPHG(h1,h2,…,hn)=

(9)

GHFPHG(h1,h2,…,hn)=

(10)

定理3設(shè)一組猶豫模糊數(shù)hj(j=1,2,…,n)，tj(j=1,2,…,n)表示第j個(gè)屬性基于熵值的優(yōu)先級(jí)混合權(quán)重，若λ>0，則：

(11)

定理4設(shè)兩組猶豫模糊數(shù)hj(j=1,2,…,n)、fj(j=1,2,…,n)，tj(j=1,2,…,n)表示第j個(gè)屬性基于熵值的優(yōu)先級(jí)混合權(quán)重，則：

GHFPHG(h1?f1,h2?f2,…,hn?fn)=GHFPHG(h1,h2,…,hn)?GHFPHG(f1,f2,…,fn)

(12)

推論3設(shè)一組猶豫模糊數(shù)hj(j=1,2,…,n)，tj(j=1,2,…,n)表示第j個(gè)屬性基于熵值的優(yōu)先級(jí)混合權(quán)重，若f為一猶豫模糊數(shù)，則：

GHFPHG(h1?f,h2?f,…,hn?f)=GHFPHG(h1,h2,…,hn)?f

(13)

推論4設(shè)一組猶豫模糊數(shù)hj(j=1,2,…,n)，tj(j=1,2,…,n)表示第j個(gè)屬性基于熵值的優(yōu)先級(jí)混合權(quán)重，若f為一猶豫模糊數(shù)且λ>0，則：

(14)

定理5設(shè)一組猶豫模糊數(shù)hj(j=1,2,…,n)，tj(j=1,2,…,n)表示第j個(gè)屬性基于熵值的優(yōu)先級(jí)混合權(quán)重，則:

GHFPHG(h1,h2,…,hn)≤GHFPHA(h1,h2,…,hn)

(15)

假設(shè)賦予函數(shù)k具體的函數(shù)式，則會(huì)產(chǎn)生不同的情況：

情況1若k(t)=-log(t)，則GHFPHG算子轉(zhuǎn)化為：

GHFPHG(h1,h2,…,hn)=

(16)

其中，tj(j=1,2,…,n)表示第j個(gè)屬性基于熵值的優(yōu)先級(jí)混合權(quán)重。我們稱這種形式的算子為猶豫模糊優(yōu)先級(jí)混合幾何HFPHG(Hesitant Fuzzy Priorited Hybrid Geometric)算子。

情況2若k(t)=log((2-t)/t)，則GHFPHG算子轉(zhuǎn)化為：

GHFPHG(h1,h2,…,hn) =

(17)

其中，tj(j=1,2,…,n)表示第j個(gè)屬性基于熵值的優(yōu)先級(jí)混合權(quán)重。我們稱這種形式的算子為猶豫模糊愛因斯坦優(yōu)先級(jí)混合幾何HFEPHG(Hesitant Fuzzy Einstein Prioritized Hybrid Geometric)算子。

GHFPHG(h1,h2,…,hn) =

(18)

其中，tj(j=1,2,…,n)表示第j個(gè)屬性基于熵值的優(yōu)先級(jí)混合權(quán)重。我們稱這種形式的算子為猶豫模糊哈馬克優(yōu)先級(jí)混合幾何HFHPHG(Hesitant Fuzzy Hamacher Prioritized Hybrid Gometric)算子。特別地，當(dāng)τ=1時(shí)，則HFHPHG算子退化為情況1中的HFPHG算子；當(dāng)τ=2時(shí)，則HFHPHG算子退化為情況2中的HFEPHG算子。

4基于GHFPHG算子的突發(fā)事件應(yīng)急預(yù)案

Table 1　Hesitant fuzzy decision making matrix

Table 2　Attribute entropy matrix

方法1為了得到最優(yōu)應(yīng)急預(yù)案，利用GHFPHG算子且令k(t)=-log(t)構(gòu)建了一種猶豫模糊優(yōu)先級(jí)多屬性決策方法，具體步驟如下：

步驟1首先利用公式(3)計(jì)算每個(gè)方案Ai∈A關(guān)于每個(gè)屬性Gj∈G的評(píng)估值的熵值，構(gòu)成熵值矩陣如表2所示，然后在熵值的基礎(chǔ)上利用公式(5)計(jì)算基于熵值的優(yōu)先級(jí)混合權(quán)重tij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)。

步驟2若k(t)=-log(t)，則GHFPHG算子轉(zhuǎn)化為：

GHFPHG(h1,h2,…,hn) =

(19)

利用GHFPHG算子集成猶豫模糊矩陣H=(hij)m×n，得出應(yīng)急預(yù)案Ai(i=1,2,…,5)的綜合表現(xiàn)值hi(i=1,2,…,5)。由于數(shù)據(jù)過(guò)多，本文僅以綜合表現(xiàn)值h1為例，其他類似。

h1={0.395 0,0.467 2,0.418 3,0.494 8,0.456 2,0.539 6,0.445 7,0.527 2,0.472 0,0.558 4,0.514 7,0.608 9,0.459 4,0.543 4,0.486 5,0.575 5,0.530 6,0.627 6,0.485 4,0.574 2,0.514 1,0.608 1,0.560 6,0.663 1,0.547 7,0.647 9,0.580 1,0.686 2,0.632 6,0.748 3,0.564 5,0.667 8,0.597 9,0.707 3,0.652 0,0.771 3,0.516 0,0.610 4,0.546 5,0.646 5,0.596 0,0.704 9,0.582 3,0.688 7,0.616 7,0.729 4,0.672 5,0.795 4,0.600 1,0.709 9,0.635 6,0.751 9,0.693 1,0.819 9}

步驟3根據(jù)猶豫模糊得分函數(shù)公式(見定義2)計(jì)算hi(i=1,2,…,m)的得分如下:

s(h1)=0.597 1,s(h2)=0.600 0,s(h3)=0.529 2,s(h4)=0.515 5,s(h5)=0.631 1

由于s(h5)?s(h2)?s(h1)?s(h3)?s(h4),則可選方案排序結(jié)果為：A5?A2?A1?A3?A4，因此最優(yōu)應(yīng)急預(yù)案為A5。

方法2為了得到最優(yōu)應(yīng)急預(yù)案，若利用GHFPHG算子且令k(t)=log((2-t)/t)構(gòu)建了一種猶豫模糊優(yōu)先級(jí)多屬性決策方法，詳細(xì)步驟如下：

步驟1′見步驟1；

步驟2′由于k(t)=log((2-t)/t)，則GHFPHG算子轉(zhuǎn)化為：

GHFPHG(h1,h2,…,hn)=

(20)

利用GHFPHG算子集成猶豫模糊矩陣H=(hij)m×n，得出應(yīng)急預(yù)案Ai(i=1,2,…,5)的綜合表現(xiàn)值hi(i=1,2,…,5)。由于數(shù)據(jù)過(guò)多，本文僅以綜合表現(xiàn)值h1為例，其他類似。

h1={0.396 6,0.489 9,0.528 5,0.477 5,0.583 0,0.626 0,0.420 6,0.517 8,0.557 8,0.505 0,0.614 1,0.658 2,0.463 1,0.566 6,0.608 8,0.553 0,0.667 8,0.713 8,0.456 2,0.558 8,0.600 6,0.545 3,0.659 2,0.705 0,0.482 8,0.589 1,0.632 2,0.575 1,0.692 4,0.739 1,0.529 5,0.641 6,0.686 8,0.627 0,0.749 3,0.797 5,0.475 0,0.580 2,0.623 0,0.566 4,0.682 7,0.729 2,0.502 4,0.611 2,0.655 2,0.596 9,0.716 4,0.763 8,0.550 2,0.664 8,0.710 7,0.649 9,0.774 1,0.822 9}

步驟3′根據(jù)猶豫模糊得分函數(shù)公式(見定義2)計(jì)算hi(i=1,2,…,m)的得分如下:

s(h1)=0.609 1,s(h2)=0.609 2,s(h3)=0.542 3,s(h4)=0.530 1,s(h5)=0.644 2

由于s(h5)?s(h2)?s(h1)?s(h3)?s(h4),則可選方案排序結(jié)果為：A5?A2?A1?A3?A4，因此最優(yōu)應(yīng)急預(yù)案為A5。

方法3為了與現(xiàn)有方法進(jìn)行對(duì)比，若本文采用文獻(xiàn)[3]中的HFHA算子構(gòu)建猶豫模糊多屬性決策方法，假設(shè)權(quán)重?cái)?shù)據(jù)已知且為方法1中所得權(quán)重，具體步驟如下：

步驟1″采用方法1中的基于熵值的優(yōu)先級(jí)混合權(quán)重tij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)。

步驟2″由文獻(xiàn)[3]可知HFHA算子為：

HFHA(h1,h2,…,hn)=t1h1⊕t2h2⊕…⊕tnhn=

(21)

利用HFHA算子集成猶豫模糊矩陣H=(hij)m×n，得出應(yīng)急預(yù)案Ai(i=1,2,…,5)的綜合表現(xiàn)值hi(i=1,2,…,5)。由于數(shù)據(jù)過(guò)多，本文僅以綜合表現(xiàn)值h1為例，其他類似。

h1={0.405 6,0.516 3,0.629 8,0.544 5,0.629 4,0.716 3,0.432 8,0.538 5,0.646 7,0.565 4,0.646 4,0.729 3,0.502 7,0.595 4,0.690 3,0.618 9,0.689 9,0.762 7,0.530 3,0.617 8,0.707 4,0.640 1,0.707 1,0.775 8,0.551 8,0.635 3,0.720 9,0.656 6,0.720 6,0.786 1,0.607 1,0.680 3,0.755 3,0.698 9,0.755 0,0.812 5,0.606 9,0.680 2,0.755 2,0.698 8,0.754 9,0.812 4,0.625 0,0.694 8,0.766 4,0.712 6,0.766 1,0.821 0,0.671 2,0.732 4,0.795 2,0.748 0,0.795 0,0.843 1}

步驟3″根據(jù)猶豫模糊得分函數(shù)公式(見定義2)計(jì)算hi(i=1,2,…,m)的得分如下:

s(h1)=0.675 9,s(h2)=0.657 0,s(h3)=0.612 6,s(h4)=0.622 0,s(h5)=0.709 7

由于s(h5)?s(h1)?s(h2)?s(h4)?s(h3),則可選方案排序結(jié)果為：A5?A1?A2?A4?A3，因此最優(yōu)應(yīng)急預(yù)案為A5。

由以上結(jié)果可知，利用三種方法計(jì)算的最優(yōu)應(yīng)急預(yù)案全為A5，從具體排序結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)本文所提方法主要優(yōu)點(diǎn)如下：

(1)在GHFPHG算子中，當(dāng)k(t)取不同的形式時(shí)，對(duì)決策結(jié)果并沒有顯著影響，排序結(jié)果完全相同，證明GHFPHG算子具有穩(wěn)定性的特征。

(2)文獻(xiàn)[3]僅僅考慮了屬性信息大小的影響，與之相比，本文不僅考慮了屬性之間的優(yōu)先級(jí)關(guān)系，而且也考慮了屬性數(shù)據(jù)的統(tǒng)一程度，因此具有良好的區(qū)分度。

(3)當(dāng)選擇不同的集成算子時(shí)，即HFHA和GHFPHG算子，若兩個(gè)方案的得分非常接近時(shí)，由兩個(gè)集成算子所得到的結(jié)果會(huì)有微小差別，也即側(cè)重點(diǎn)不同。現(xiàn)有的HFHA算子要求必須事先有權(quán)重?cái)?shù)據(jù)且側(cè)重于群體決策，而GHFPHG算子可以直接利用基于熵值的優(yōu)先級(jí)混合賦權(quán)方法得出客觀權(quán)重?cái)?shù)據(jù)，主要側(cè)重于個(gè)體決策，決策者可以根據(jù)個(gè)人偏好進(jìn)行選擇。在屬性權(quán)重信息不明確的情況下，利用本文提出的GHFPHG算子對(duì)猶豫模糊信息進(jìn)行信息集成，計(jì)算操作相對(duì)簡(jiǎn)單、科學(xué)，可以有效地對(duì)候選方案進(jìn)行抉擇。

5結(jié)束語(yǔ)

本文研究了在屬性之間存在優(yōu)先級(jí)的前提下的廣義猶豫模糊信息集成問題。為了對(duì)多屬性決策中的猶豫模糊信息進(jìn)行區(qū)別和集成，本文首先提出了基于熵值的優(yōu)先級(jí)混合賦權(quán)方法，新賦權(quán)方法同時(shí)考慮到了屬性優(yōu)先級(jí)以及屬性元素的離散程度的雙重影響，較好體現(xiàn)了猶豫模糊信息間的內(nèi)在聯(lián)系。其次，在優(yōu)先級(jí)混合賦權(quán)方法的基礎(chǔ)上提出了GHFPHG算子，該類算子的特點(diǎn)是將屬性優(yōu)先級(jí)跟屬性評(píng)價(jià)信息的統(tǒng)一程度有機(jī)地融合在一起。最后，本文利用該類算子構(gòu)建了在屬性具有優(yōu)先級(jí)的條件下的廣義猶豫模糊多屬性決策方法，并用應(yīng)急預(yù)案評(píng)估的數(shù)值案例驗(yàn)證了本文所提方法的實(shí)用性和有效性。

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楊建輝(1960-),男,廣東廣州人，博士后,教授,研究方向?yàn)楣芾頉Q策。E-mail:bmjhyang@scut.edu.cn

YANG Jian-hui,born in 1960,post doctor,professor,his research interest includes management decision-making.

Generalized hesitant fuzzy information aggregation method with prioritized levels

YANG Jian-hui,RUAN Chuan-yang

(School of Business Administration,South China University of Technology,Guangzhou 510641,China)

Abstract:In this paper, we investigate the generalized hesitant fuzzy information aggregation issues in which the attributes are on different priority levels. Considering the impact of both attributes’ priority levels and the dispersion degree of hesitant fuzzy elements, we first give the entropy based on hesitant fuzzy information, and propose a prioritized hybrid weighted method accordingly. Then, we put forward generalized hesitant fuzzy prioritized hybrid geometric (GHFPHG) operator based on the hybrid weighted method. Furthermore, we discuss some desirable properties of the proposed prioritized operator. Finally, the practicality and effectiveness of the proposed approach are verified by a practical example.

Key words:hesitant fuzzy sets;multiple attribute decision making;generalized hesitant fuzzy integration operator;priority level;entropy

作者簡(jiǎn)介:

doi:10.3969/j.issn.1007-130X.2015.12.032

中圖分類號(hào)：C934

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：廣東省委省政府重點(diǎn)項(xiàng)目(N6131810)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)資助項(xiàng)目(Y6090020)

收稿日期：修回日期：2015-09-07

文章編號(hào)：1007-130X(2015)12-2405-06