六邊形格點毫米波干涉陣列的稀疏與優化

曲洪東, 翟龍軍, 高　山

(1.海軍航空工程學院電子信息工程系, 山東 煙臺 264001; 2. 海軍航空工程學院科研部,

山東 煙臺 264001; 3. 陸軍航空兵學院機載系, 北京 101123)

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六邊形格點毫米波干涉陣列的稀疏與優化

曲洪東1,3, 翟龍軍1, 高山2

(1.海軍航空工程學院電子信息工程系, 山東 煙臺 264001; 2. 海軍航空工程學院科研部,

山東 煙臺 264001; 3. 陸軍航空兵學院機載系, 北京 101123)

摘要：研究了六邊形格點干涉陣列的陣列稀疏和優化。通過陣列配置矩陣及其自相關矩陣和互相關矩陣,分析了六邊形格點陣列的UV平面采樣點分布規律,推導得到了六邊形格點陣列實現UV平面采樣點全覆蓋的條件,并將六邊形格點陣列的稀疏優化轉化為矩形格點陣列的稀疏優化問題。利用差基序列低冗余度特性,提出了基于差基的六邊形格點陣列稀疏與優化方法。仿真分析結果表明,采用所提方法得到的稀疏陣列,其冗余度優于經典X形陣。

關鍵詞：綜合孔徑成像; 稀疏陣列; 六邊形格點; 差基

0引言

干涉式毫米波綜合孔徑成像的基本原理是采用多組具有不同取向和長度基線的二元干涉綜合得到大口徑天線,被動接收來自目標場景的毫米波輻射信息。這樣天線的物理孔徑可以被稀疏比極大的、散布的小單元天線陣列代替,同時無需機械掃描,具有突出的優點[1-3]。

干涉式毫米波綜合孔徑成像需要利用稀疏天線陣列中任意兩個天線接收到的信號進行復相關處理,得到可視度函數在的UV平面內若干個采樣點的采樣值,然后從中恢復出被探測場景的亮溫度分布圖。由于可視度函數UV平面內采樣點的位置由天線陣中任意兩個單元天線的基線確定,而陣列為稀疏陣列,因此不可避免地存在可視度函數在UV平面內的采樣點覆蓋不完全,同時存在大量的冗余采樣點,使得圖像受到由旁瓣等因素影響而質量下降。因此,陣列在進行工程實現時,必須進行稀疏和優化。

本文采用將六邊形格點映射到矩形格點的方法,研究了六邊形格點的干涉陣列的采樣點分布規律。通過陣列配置矩陣及其自相關矩陣和互相關矩陣,分析了六邊形格點陣列的UV平面采樣點分布規律,推導得到了六邊形格點陣列實現UV平面采樣點全覆蓋的條件。利用差基序列的全覆蓋和低冗余度特性,提出了基于差基的六邊形格點陣列稀疏與優化方法。

1六邊形格點陣列的UV采樣點分布規律

由干涉測量的基本原理可知,陣列中的天線對形成的基線矢量對應UV平面內的一個UV采樣點,N個天線單元可以在UV平面內產生N(N-1)個UV采樣點,UV采樣點的分布稱為UV覆蓋。

對于按照M×N矩形格點配置的稀疏干涉陣列,定義其陣列配置矩陣為A=[a(m,n)]M×N,其中a(m,n)=0表示在(m,n)格點處不放置陣元;a(m,n)=1表示在(m,n)格點處放置陣元。對于稀疏干涉陣列,其陣列配置矩陣為稀疏0-1矩陣。

對于矩形格點稀疏陣列,對應的UV平面采樣點仍然分布在矩形格點上。其UV覆蓋可以用相關矩陣表示。

定義 1若矩陣A=[a(m,n)]M×N,矩陣B=[b(m,n)]M×N,則A和B的互相關矩陣CAB=[cAB(i,j)](2M-1)×(2N-1)定義為

(1)

式中,1≤i≤2M-1;1≤j≤2N-1;M,N均為正整數；*表示取共軛。

若A=B,則CAA稱為A的自相關矩陣。對于矩形格點的稀疏干涉陣列,用自相關矩陣CAA可以表示其UV平面的采樣點覆蓋,其元素cAA(i,j)表示稀疏干涉陣列在UV平面內(i,j)點處的采樣點數目。

矩陣互相關運算滿足分配律,即如果矩陣A,B為M×N維矩陣,則有

(2)

對于陣元數為N×M的六邊形格點的稀疏陣列,可以構造2N×2M的矩形格點,將六邊形格點上的陣元映射到矩形格點的奇數行奇數列格點和偶數行偶數列格點上,從而構造其陣列配置矩陣,如圖1所示。

圖1　六邊形格點映射到矩形格點

為研究六邊形格點陣列的UV覆蓋,考慮如下定理:

定理 1若A=[a(m,n)]M×N,XA=[xA(i,j)]2M×2N,且有

(3a)

或

(3b)

則XA的相關矩陣CXAXA可以由A的自相關矩陣CAA表示,即

(4)

證明如果式(3a)成立,則有

(5)

(1) 若i,j均為偶數,i=2p,j=2q,從而有

xA(2k,2l)=a(k,l)

(6a)

xA(2k+2M-2p,2l+2N-2q)=

(6b)

所以

(7)

式中,1≤p≤2M-1;1≤q≤2N-1。

(2) 若i,j不全為偶數,即i≠2p或j≠2q,從而有2M-2k+i和/或2N-2l+j不為偶數,從而一定有xA(2k+2M-i,2l+2N-j)=0

所以

證畢

同理,可以證明當式(3b)成立時,式(4)仍然成立。

定理1表明,當在矩陣XA=[xA(i,j)]2M×2N的奇數行奇數列(或者偶數行偶數列)位置處,按照原順序放置矩陣A=[a(m,n)]M×N的元素,其余位置的元素為零元素時,XA的自相關矩陣只在偶數行偶數列處不為零,并且與A的自相關矩陣CAA相應位置處的元素值相等。如果XA是某個陣列的配置矩陣,則其在UV平面的采樣點分布只位于偶數行偶數列的格點處,如圖2所示。

圖2　偶或奇數格點處放置陣元的陣列配置矩陣及自相關矩陣

定理 2若A=[a(m,n)]M×N,B=[b(m,n)]M×N,XA=[xA(i,j)]2M×2N,XB=[xB(i,j)]2M×2N,且有

(8a)

(8b)

則有如下結論：

結論 1CXAXB可以由CAB表示，即

(9a)

結論 2CXBXA可以由CBA表示，即

(9b)

下面證明結論1。

證明

(10)

(11)

式中,1≤p≤2M-1;1≤q≤2N-1。

(2) 若i,j均為奇數,即i=2p+1且j=2q+1,從而有

(12)

式中,1≤p≤2M-1,1≤q≤2N-1。

(3) 若i=1,則m+2M-1>2M-1;若j=1,n+2N-1>2N-1,因此

(13a)

(13b)

證畢

同理,可證明結論2。

定理2表明,在矩陣XA=[xa(m,n)]2M×2N的偶數行偶數列位置處,按照原順序放置矩陣A=[a(m,n)]M×N的元素,其余位置的元素為零元素;在矩陣XB=[xb(m,n)]2M×2N的奇數行奇數列位置處,按照原順序放置矩陣B=[b(m,n)]M×N的元素,其余位置的元素為零元素;則XA和XB的互相關矩陣CXAXB只在大于2的奇數行奇數列格點處不為零;并且與A和B的互相關矩陣CAB相應位置處的元素值相等;XB和XA的互相關矩陣CXBXA只在小于4M-2的奇數行奇數列格點處不為零;并且與B和A的互相關矩陣CBA相應位置處的元素值相等,如圖3所示。

結合式(2),由定理1和定理2的結論可知:

(1) 六邊形格點的陣列產生的UV采樣點仍然位于UV平面內的六邊形格點上。

(2) 六邊形格點陣列可以看成由位于奇數行奇數列格點的矩形格點陣列A和位于偶數行偶數列格點上的矩形格點矩陣B兩部分組成。

(3) 在UV平面內,偶數行偶數列的采樣點由A和B的自相關矩陣CXAXA和CXBXB確定;奇數行奇數列的采樣點由A和B的互相關矩陣CXAXB和CXBXA確定,其中CXAXB確定采樣平面的最后一行和最后一列的格點,CXBXA確定采樣平面的第一行和第一列的格點。

(4) 要實現陣列在六邊形格點上的全覆蓋,只需要矩形格點陣列A或B能實現矩形格點上的全覆蓋(CAA或CBB不包含零元素),并且CAB不包含零元素(此時CBA也不包含零元素,因為cAB(i,j)=cBA(M-i+1,N-j+1))。

圖3　偶或奇數格點處放置陣元的陣列配置矩陣及互相關矩陣

2基于差基的六邊形格點陣列稀疏與優化方法

采用構造方法能減少搜索解的規模,適用于大陣元數的陣列稀疏和優化問題[11]。為此,選擇基于差基的構造方法實現六邊形格點陣列的稀疏和優化。

定義 2給定正整數L,由K個整數構成集合{ai},且有

(14)

使得任意正整數s(0

對于集合{0,1,4,6},容易驗證6以內的正整數都可以由該集合內兩個元素的差表示,即該集合為L=6的一個受限差基。受限差基可以用集合{ai}表示,也可以用相鄰元素之差構成的間距集合表示。如受限差基{0,1,4,6}可以用間距集合{1,3,2}表示;受限差基{0,1,4,7,9}可以用間距集合{1,3,3,2}表示。

文獻[6]給出了3≤K≤17時的部分已知受限差基,并且給出了當K≥8時其間距集合的解析表達式,即

(15)

式中,r和l為正整數,上標表示該元素連續重復次數。該解析表達式適用于元素數為M=4m+3(m為正整數)的情況,r和l的值可以按照下面公式計算

(16)

式中,[·]為取整運算;mod為求余運算。

受限差基具有很好的性質。對線陣,如果陣元按照受限差基中元素值的位置排列,則可以得到最小冗余陣。對于矩形格點陣列,可以先通過分別構造兩個差基,得到兩個最小冗余度線陣,然后對兩個線陣的配置向量相乘得到二維陣列配置矩陣,從而可實現二維陣列的低冗余度的稀疏和優化[9,11-15]。

根據對六邊形格點陣列的UV覆蓋的分析可知,如果能以采用優化算法或構造方法求解得到最小冗余度的矩形格點陣列配置矩陣A或B,使得A或B在矩形格點上實現全覆蓋,則可以實現六邊形格點陣列的低冗余度稀疏和優化。

因此,可以采用下面的方法對六邊形格點陣列進行稀疏與優化。

(1) 構造元素數為K的差基序列{sk},0≤k≤K使得

(17)

根據{si}構造行向量

(18)

(2) 根據X構造(M+1)×(M+1)維矩形格點陣列配置矩陣A=[aij],即令A=XTX。

(3) 構造(M+1)×(M+1)維矩形格點陣列配置矩陣B=[bij],即令B為(M+1)階單位矩陣。

(4) 將矩形格點陣列配置矩陣A和B分別按原順序映射到(2M+2)×(2M+2)維矩形格點的奇數行奇數列格點和偶數行偶數列格點上,即令

(19)

式中

即可以得到稀疏優化的六邊形格點陣列配置矩陣P。

3仿真分析

圖4給出了采用本文方法稀疏得到的六邊形格點稀疏陣列及其UV平面內的采樣點分布。其中圖4(a)為利用差基序列{0,1,4,7,9}得到的35元陣稀疏優化結果,圖4(b)為其UV平面采樣點分布,圖4(c)為經典33元X形陣列的配置,圖4(d)為其UV平面采樣點分布。

圖4　六邊形格點陣列稀疏優化結果及UV平面采樣點分布

UV平面采樣點分布的冗余度定義為天線的理想UV采樣點數Sid與實際UV采樣點數Sre之比,即

(20)

對圖4(c)的33元X形陣,其冗余度為R=1 089/321≈3.39;對圖4(a)的35元稀疏陣,其冗余度為R=1 225/623≈1.97。對于大陣元數,利用式(15)、式(16)構造差基,通過本文方法得到的稀疏陣列冗余度與經典X陣列冗余度的仿真結果如圖5所示。由圖5可見,經典X型陣列和本文稀疏陣列的冗余度隨陣元數增加而增加,X型陣列的冗余度上限為4;本文稀疏陣列冗余度在陣元數為2 865時冗余度仍小于3,優于經典X型陣列。

圖5　本文稀疏陣列與X型陣列冗余度仿真結果

4結束語

論文采用將六邊形格點映射到矩形格點的方法,研究了六邊形格點干涉陣列的陣列稀疏和優化,分析了六邊形格點陣列的UV平面采樣點分布規律,推導得到了六邊形格點陣列實現UV平面采樣點全覆蓋的條件,并將六邊形格點陣列的稀疏優化轉化為矩形格點陣列的稀疏優化問題。利用差基序列的全覆蓋和低冗余度特性,提出了基于差基的六邊形格點陣列稀疏與優化方法,仿真分析結果表明,采用本文方法得到的稀疏陣列其冗余度優于經典X形陣。由于將六邊形格點陣列分割成兩個相同的矩陣格點陣列進行優化,各自陣列配置矩陣的自相關矩陣和互相關矩陣仍然會產生一定的冗余,需要研究采用兩個不同的矩形格點陣列實現稀疏和優化的方法,從而以較低冗余度實現全覆蓋。

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曲洪東(1977-),男,博士研究生,主要研究方向為毫米波被動成像技術。

E-mail:kaisoo@163.com

翟龍軍(1979-),男,副教授,博士,主要研究方向為陣列天線技術。

E-mail:zhailongjun@163.com

高山(1977-),男,助理研究員,碩士,主要研究方向為射頻仿真技術。

E-mail:gaoshan6680@163.com

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141211.1840.007.html

Design and optimization of sparse MMW synthesis apeture

imaging arrays on hexagonal grids

QU Hong-dong1,3, ZHAI Long-jun1, GAO Shan2

(1.DepartmentofElectronicandInformationEngineering,NavalAeronauticaland

AstronauticalUniversity,Yantai264001,China; 2.DepartmentofScientificResearch,Naval

AeronauticalandAstronauticalUniversity,Yantai264001,China; 3.Department

ofAirboreWeapon,ArmyAviationInstitute,Beijing101123,China)

Abstract:Design and optimization of sparse millimeter wave (MMW) synthesis apeture imaging arrays on hexagonal grids are researched. The arrangement of sparse arrays can be represented by the configuration matrix. Using the auto-correlation matrix and the cross-correlation matrix of the configuration matix, distribution of sampling points in the UV plane of hexagonal array is analyzed, and conditions for sampling points covering the whole UV plane are deduced. Then, the question is converted to design and optimization of a sparse rectangular array. With the virtue of low redundancy, difference basis series are used to design hexagonal arrays, and a method to construct an optimized sparse hexagonal array is presented. Theoretical analysis and simulation show that redundancy of the optimized hexagonal array is lower than that of a typical X style array.

Keywords:synthesis apeture imaging; sparse array; hexagonal grids; difference basis

作者簡介：

中圖分類號：TN 959.2

文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.07.03

收稿日期：2014-06-27；修回日期：2014-09-26；網絡優先出版日期：2014-12-11。