也談逆算符 -1和 (+)-1在Fock空間中的本征態(tài)

劉堂昆, 張康隆，吳盼盼

(湖北師范學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖北 黃石　435002)

劉堂昆, 張康隆，吳盼盼

(湖北師范學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖北 黃石435002)

摘要：用柯西積分公式與 δ函數(shù)的方法，在Fock空間中給出了諧振子逆算符 和 ()-1的本征態(tài)的顯式。

關(guān)鍵詞：逆算符；本征態(tài)；Fock空間

中圖分類號：O413.1

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-2714(2015)04- 0001- 05

doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2015.04.001

收稿日期：2015—09—02

基金項目：湖北省教育廳教學(xué)研究項目(SJ201101)

作者簡介：劉堂昆(1956—)，男，湖北武穴人，博士，教授。張康隆(1985—)，男，湖北黃岡人，在讀研究生。吳盼盼(1988—)，女，山西臨汾人，碩士.

0引言

1992年，Mehta[1]定義了諧振子產(chǎn)生算符和湮滅算符的兩個逆算符-1和 (+)-1，當(dāng)-1和 (+)-1分別作用在Fock態(tài) |n上，有

-1|n

(1)

(+)-1|n

(2)

這個結(jié)果在1993年被范洪義[2]給出了嚴格的證明。逆算符-1和 (+)-1的矩陣元分別是

m|-1|n

(3)

m| (+)-1|n

(4)

=|nn|

(5)

(6)

(7)

(+)-1=(+)-1|n

(8)

因此得到

a-1=(+)-1+=I

(9)

-1=+(+)-1=I-|00|

(10)

我們假設(shè) |γ是右逆算符-1的本征值為γ的本征態(tài)，即

-1|γ=γ|γ

(11)

將|γ按照Fock態(tài) |n展開，有

C0(γ)|0+C1(γ)|1+C2(γ)|2+…+Cn(γ)|n+…

(12)

再由方程(1)，可以看到其左邊為：

-1|γ=|n'=

(13)

右邊為

從防除闊葉雜草來看，18種藥劑中防除闊葉雜草好的藥劑較多，24%乙氧氟草醚乳油、10%乙羧氟草醚水劑、25%氟磺胺草醚水劑、21.4%三氟羧草醚水劑、75%噻吩磺隆可分散粒劑、70%嗪草酮可濕性粉劑、48%滅草松水劑、20%氯嘧磺隆可濕性粉劑、80%唑嘧磺草胺水分散粒劑、12%草酮乳油、240 g/L甲咪唑煙酸水劑、5%嗪草酸甲酯乳油、50%丙炔氟草胺可濕性粉劑、50%撲草凈可濕性粉劑對闊葉雜草均有很好的效果，株防效和鮮質(zhì)量防效均在78%以上。48%異草松乳油對闊葉雜草有一定的效果，另外3種藥劑包括 108 g/L 高效氟吡甲禾靈乳油、5%精喹禾靈乳油、24%烯草酮乳油對闊葉雜草無效。

γ|γ==

γ[C0(γ)|0+C1(γ)|1+C2(γ)|2+…+Cn(γ)|n+…]

(14)

得到

(15)

比較兩邊的系數(shù)，有

0|γ+++…+n|γ+…=

γ[0|γ|0+1|γ|1+2|γ|2+…+n|γ|n+…]

(16)

可見

γ<0|γ>=0

(17)

γ1|γ0|γ,γ2|γ1|γ

γ3|γ2|γ,…

(18)

γn|γn-1|γ

C0(γ)=0|γ=δ(γ)

(19)

(20)

(21)

相比較可得δ(γ)高階導(dǎo)數(shù)

(22)

與(17)式比較，它們的遞推結(jié)構(gòu)完全相同，即有

0|γ=δ(γ)

1|γ

2|γ

3|γ?(γ)

…………………………………

從而得到展開系數(shù)

Cn(γ)=n|γ=(-1)

(23)

|γn|γ

(24)

現(xiàn)在驗證|γ是右逆算符-1的本征態(tài)：

-1|γ==

證畢。我們是在Fock態(tài) |n展開下的結(jié)果，明顯與文獻[5～6]不同。

采用上述相同的方法，假設(shè) |λ是左逆算符(+)-1的本征值為λ的本征態(tài)，即

(+)-1|λ=λ|λ

(25)

將|λ按照Fock態(tài)|n展開，即

|λn|λ=

C0(λ)|0+C1(λ)|1+C2(λ)|2+…+Cn(λ)|n+…

(26)

代入方程(25)，即有左邊為：

(+)-1|λ==

(27)

右邊為

λ|λ==

λ[C0(λ)|0+C1(λ)|1+C2(λ)|2+…+Cn(λ)|n+…]

(28)

得到

(29)

比較兩邊的系數(shù)，有

<1|λ+2|λ+3|λ+…+n+1|λ+…=

λ[0|λ|0>+1|λ|1+2|λ|2+…+n|λ|n+…]

(30)

可見

λ0|λ1|λ

λ1|λ2|λ

λ2|λ3|λ

………………………

λn|λn+1|λ

(31)

要使(31)成立，唯一的是所有的系數(shù)均為0，即Cn(λ)=0.故左逆算符 (+)-1不存在本征態(tài)。

致謝：感謝單傳家博士的有益討論。

參考文獻:

[1]Mehta C L, Anil K Roy, Saxena G M. Eigenstates of two-photon annihilation operators[J]. Phys Rev A ，1992，46(3): 1565~1572.

[2]Fan Hong-yi. Inverse operators in Fock space studied via a coherent-state approach[J].Phys Rev A ，1993，47(5): 4521~4523.

[3]蔡維理,范洪義. 諧振子產(chǎn)生算符和湮沒算符的逆算符.大學(xué)物理[J].1996,15(5):29~29.

[4]韋聯(lián)福，楊慶怡. 相干態(tài)是-1的本征態(tài)嗎? [J]大學(xué)物理,1998，17(5):21~23.

[5]黨蘭芬，鄒麗新. 逆算符在Fock空間的性質(zhì)及基本特征[J].蘇州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2002,18(4):67~70.

[6]許雪芬. 逆算符在Fock空間的本征態(tài)[J].江蘇技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報，2005，11(4):14~17.

[7]范洪義. 量子力學(xué)表象與變換論[M]. 上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1997.

Also on the eigenstates of inverse operators and in Fock space

LIU Tang-kun，ZHANG Kang-long，WU Pan-pan

(College of Physics and Electronic Science, Hubei Normal University,Huangshi435002, China)

Abstract:We study the eigenstates of the harmonic oscillator inverse operators-1and (+)-1in Fock space, by the method of the Cauchy integration figure and the δ function.