基于拉格朗日乘子法的Delta并聯(lián)機器人簡化剛體動力學建模方法

王　剛，劉延杰，吳明月，韓海軍

(哈爾濱工業(yè)大學機器人技術及系統(tǒng)國家重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

A Simplified Rigid Body Dynamic Modelling Method of Delta Robot Based

on Lagrangian Multiplier Method

WANG Gang，LIU Yanjie，WU Mingyue，HAN Haijun

(State Key Laboratory of Robotics and System, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001,China)

基于拉格朗日乘子法的Delta并聯(lián)機器人簡化剛體動力學建模方法

王剛，劉延杰，吳明月，韓海軍

(哈爾濱工業(yè)大學機器人技術及系統(tǒng)國家重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

A Simplified Rigid Body Dynamic Modelling Method of Delta Robot Based

on Lagrangian Multiplier Method

WANG Gang，LIU Yanjie，WU Mingyue，HAN Haijun

(State Key Laboratory of Robotics and System, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001,China)

摘要：針對廣泛應用于高速抓放操作的Delta并聯(lián)機器人，提出了一種基于拉格朗日乘子法的剛體動力學建模方法，并利用約束方程的全微分求解出了動力學模型的顯示表達式。建立了機器人的逆運動學以及剛體動力學模型，考慮機器人從動臂臂桿為輕質碳纖維桿，兩端為較重的金屬附件的特點，建立了簡化剛體動力學模型。并針對機器人常用的高速抓放軌跡進行仿真，將簡化前后的2種動力學模型與ADAMS仿真結果進行對比。

關鍵詞：并聯(lián)機器人；拉格朗日乘子法；簡化剛體動力學模型；逆運動學模型

中圖分類號：TP241

文獻標識碼：A

文章編號：1001-2257(2015)07-0068-05

收稿日期：2015-04-02

基金項目：國家高技術研究發(fā)展計劃(863)資助項目(2013AA040901)；黑龍江省科研機構創(chuàng)新能力提升專項計劃項目(YC13D004)

作者簡介：王剛(1991-)，男，河北保定人，碩士研究生，研究方向為機器人結構優(yōu)化設計與運動控制；劉延杰(1975-)，男，黑龍江哈爾濱人，博士研究生導師，教授，研究方向為機器人技術及系統(tǒng)；吳明月(1982-)，男，黑龍江哈爾濱人，博士研究生，研究方向為機器人結構優(yōu)化設計以及振動抑制方法；韓海軍(1985-)，男，黑龍江哈爾濱人，博士研究生，研究方向為機器人傳感技術與運動控制。

Abstract：Targeting a Delta parallel robot which is widely used for high speed pick-and-place operation, a novel approximation for simplified rigid body dynamic model based on Lagrangian multiplier method is established. Both of the inverse kinematic and rigid dynamic model are developed, and the dynamic model is simplified considering the actual situation of the robot. Comparing the calculation results of the dynamic model before and after the simplification with the simulation results show that the simplified rigid model can not only reduce the amount of calculation but also improve the accuracy of it.

Key words：parallel robot; Lagrangian multiplier method; simplified rigid body dynamic model; inverse kinematic model

0引言

Delta并聯(lián)機構是一類由3個轉動副分別驅動3個平行四邊形運動支鏈，具有3個平動自由度的并聯(lián)機構[1-3]。伴隨著Delta并聯(lián)機器人在高速分揀、裝配、包裝等領域的廣泛應用，其研究重點已經從早期的正逆運動學求解、工作空間分析等基本問題逐漸集中于動力學建模上來，它是對并聯(lián)機器人實施基于動力學模型控制的基礎[4]。針對Delta機構，目前已有不少學者對其進行動力學研究，其中大多數人采用虛功原理法以及牛頓歐拉法[5-6]，利用數值方法進行求解，求解精度受到迭代次數的限制，而且沒有得到力矩的顯示表達式。并且在對機器人進行動力學建模時，都是針對Delta機構進行計算，沒有考慮到Delta機器人的實際情況。因此，其求解精度不高。

針對上述2個問題，提出了一種基于拉格朗日乘子法，結合方程組中各變量的物理含義，利用約束方程的全微分求解動力學模型的顯示的表達式的方法，并且根據Delta機器人的實際情況，對機器人模型進行了合理的簡化，建立了動力學模型。

1運動學模型

1.1　機器人結構

Delta并聯(lián)機器人為少自由度并聯(lián)機器人，其結構如圖1所示。由定平臺、動平臺以及由主動臂和從動臂組成的3條運動支鏈組成。主動臂驅動端與減速機輸出法蘭連接，另一端通過2個球鉸分別與2根從動臂以及動平臺構成平行四邊形機構，兩從動臂依靠拉簧與主動臂以及動平臺裝配在一起，機構本身具有3個平動自由度。在實際應用中，常需要增加第4個旋轉自由度，因此加入第4軸。

圖1　Delta并聯(lián)機器人三維模型

由于引入的第4軸不會對運動學造成影響，因此在運動學建模過程中，將其省略；因并聯(lián)機構每條支鏈中的兩支從動臂構成平行四邊形機構，其運動完全相同，可以簡化為一支；因主動臂驅動軸、從動臂與主動臂轉軸、從動臂與動平臺轉軸相互平行,即na||nB||nC。所以可以將主動臂l1i以及從動臂l2i向定平臺中心o平移r，平移后從動臂交于一點P，動平臺與靜平臺半徑差為e=R-r，如圖2所示。

圖2　單個支鏈坐標系結構

1.2　系統(tǒng)運動學模型

在參考系o-x0y0z0下，P點的位置矢量oP可以表示為：

oP=oAi+ABi+BPi

(1)

只需要分別求解出oAi、ABi、BPi關于關節(jié)角θ的表達式即可。令

oAi=e·0Ri·ex

(2)

ex為x方向的單位向量，即ex=[100]T。沿主動臂方向的矢量AiBi可表示為：

AiBi=0Ri·iRAi·ex

(3)

其中，θi為驅動關節(jié)轉角，規(guī)定向下為正方向；

BPi可由其余向量表示：

BPi=oP-oAi-ABi

(4)

又因為從動臂長度固定，所以

||BPi||=l2

(5)

可以得到并聯(lián)機構的約束方程：

(6)

根據機構裝配模式，可以求得Detla高速并聯(lián)機器人的位置逆解模型為：

(7)

1.3　雅可比矩陣求解

系統(tǒng)的約束方程可以寫為：

Гi(x，y，z，θ1，θ2，θ3)=(x-ecosβi-

l1cosβicosθi)2+(y-esinβi-l1sinβicosθi)2+

(z+l1sinθi)2-l22=0i=1，2，3

(8)

機構的約束方程只對形位進行約束，并且不顯含時間t，為完整定常約束。系統(tǒng)為完整系統(tǒng)。式(8)對時間求導，整理可得：

(9)

A稱為并聯(lián)機構的正向雅可比矩陣，B稱為機構的逆向雅可比矩陣。

機構的雅可比矩陣J為：

J=B-1·A

(10)

2動力學模型

2.1　拉格朗日乘子法建模

Delta并聯(lián)機構有3個自由度，理論上需要3個廣義坐標就能建立其動力學模型，但是由于delta機構的運動學比較復雜，如果只用(θ1，θ2，θ3)3個廣義坐標來建立拉格朗日方程，那么得到的方程會極為復雜。因此，考慮利用拉格朗日乘子法建立動力學模型，引入3個多余坐標(x，y，z)，以及拉格朗日乘子(λ1，λ2，λ3)，則系統(tǒng)的廣義坐標變?yōu)椋?/p>

q=[x，y，z，θ1，θ2，θ3]T

系統(tǒng)的拉格朗日方程可寫成如下形式：

(11)

n=6是廣義坐標的數量，n=6是約束方程的數量，n-k=3是機構的自由度數。Гi是機構的第i個約束方程，λi是拉格朗日乘子。

前3個方程可以通過系統(tǒng)的約束獲得：

(12)

Qj=[Q1，Q2，Q3]T為作用在機器人系統(tǒng)對應x，y，z自由度的非有勢廣義力，由于系統(tǒng)在x，y，z方向上不受外力作用，因此，方程中Qj=0。可以利用后3個方程求出作用在驅動關節(jié)上的驅動力：

(13)

Qj=[Q4，Q5，Q6]T即為所要求取的輸入到機器人驅動關節(jié)上的3個驅動力矩Qj=[τ1，τ2，τ3]T。拉格朗日函數為系統(tǒng)的動能與勢能之差：

L=K-V

(14)

因為Г(x，y，z，θ1，θ2，θ3)為系統(tǒng)的約束方程，而且θ1，θ2，θ3可由x，y，z表示，并根據自變量滿足的條件，所以可以將約束方程寫為：

(15)

由式(15)可得：

(16)

進而得到：

(17)

不難求出：

Q=[τ1，τ2，τ3]T=b+JT-1a

(18)

此結果將機器人各關節(jié)的驅動力矩表示為了顯式表達式，便于對動力學模型的分析以及應用。

2.2　常規(guī)剛體動力學模型

一般地，在對Delta高速并聯(lián)機器人進行動力學建模的過程中通常會進行2種假設[7-8]：將并聯(lián)機器人的主動臂和從動臂等效為均質桿；將動平臺等效為質點，第4旋轉軸等效為動平臺上的集中質量mx。

系統(tǒng)的總動能包括動平臺動能與3條支鏈的動能，可以表示為如下形式：

(19)

其中，動平臺與主動臂的動能求解較為簡單：

(20)

從動臂的動能包括從動臂隨某點的平動動能和從動臂繞這一點的轉動動能。

(21)

從動臂隨質心平移的速度為：

vbi=vBi+vCi

(22)

從動臂相對質心轉動的角速度為：

(23)

將所有的運動矢量投影到支鏈坐標系oixiyizi中，如圖3所示。

圖3　從動臂空間剛體運動分解

從動臂與主動臂連接端Bi的速度為：

(24)

ez=[001]T

從動臂與動平臺連接端Ci的速度為：

(25)

系統(tǒng)的所受的有勢力為重力，因此系統(tǒng)的勢能只包括動平臺以及3條支鏈的重力勢能。規(guī)定定平臺所在平面為零勢能面，則系統(tǒng)的勢能可表示為：

(26)

Vp=mpgz

將所求得的機器人動能和勢能代入式(14)得：

(27)

2.3　簡化剛體動力學模型

結合Delta并聯(lián)機器人的實際結構特點，考慮機器人從動臂的臂桿兩端為鋁合金的球鉸接頭，以及拉簧等零件，質量較重；而桿件主體為薄壁的碳纖維管，質量較輕。在對Delta并聯(lián)機器人進行簡化動力學建模的過程中進行3種假設：將并聯(lián)機器人的主動臂等效為均質桿；將動平臺等效為質點，第4旋轉軸等效為動平臺上的集中質量mx；將機器人從動臂等效為桿件兩端的集中質量。

因此從動臂的空間剛體運動被簡化為了質點的平面運動，從動臂動能簡化為：

(28)

從而求得簡化后的系統(tǒng)拉格朗日函數為：

(29)

動力學力矩表達式為：

Q=[τ1，τ2，τ3]T=b+JT-1a

(30)

b為機器人各個驅動軸獨立驅動各支鏈達到目標角加速度所需的力矩，a為機器人末端為達到目標加速度所需的力，即機器人3個驅動軸通過機器人結構模式作用到機器人末端的合力。因此JT-1a為機器人各支鏈間耦合產生的力矩，具體為各驅動軸作用到機器人末端的力，通過機器人機構模式耦合反饋到機器人驅動軸上所產生的等效力矩。

通過2種動力學模型的求解結果可知，簡化動力學模型通過將從動臂等效為兩集中質量，使得從動臂的空間剛體運動簡化為了質點運動，消除了常規(guī)動力學模型中的速度耦合項，由于拉格朗日方程需要對各廣義坐標的一階導數求偏導，因此動力學模型的形式大大簡化。

3對比分析

本文研制的Delta高速并聯(lián)機器人如圖1所示。工作空間為Φ 1 100mm×250mm的圓柱體。機器人動力學模型中的各物理量的數值見表 1。

表1Delta機器人物理參數定義

參數數值主動臂長度l1/m0.35從動臂長度l2/m0.80動靜平臺半徑差e/m0.14機器人放置高度H/m0.60主動臂質量ma/kg0.85從動臂質量mb/kg0.24動平臺質量mp/kg0.239旋轉軸等效到動平臺端質量mx/kg0.178主動臂等效轉動慣量J1/(kg·m2)8.68×10-3驅動部件等效轉動慣量Jm/(kg·m2)2.61×10-4主減速機減速比μ33

給定末端運動規(guī)律，設定最大運動加速度150 m/s2，末端負載為1 kg，圖 4為常規(guī)動力學模型以及簡化動力學模型力矩曲線與ADAMS仿真結果的對比。從圖4可以看出，其驅動軸1和驅動軸3的力矩是相等的，3個軸中，軸2的峰值力矩最大。由圖 4中常規(guī)動力學模型力矩曲線以及簡化動力學模型力矩曲線分別與ADAMS仿真結果進行對比，可知2種動力學模型與仿真結果相差不大，力矩曲線的變化趨勢相同，數值誤差很小。

圖4　力矩曲線對比

表2和表3分別為常規(guī)動力學模型的力矩曲線與ADAMS仿真結果的數值對比以及簡化動力學模型與ADAMS仿真結果的數值對比。從表中的對比結果不難發(fā)現，簡化動力學模型更符合機器人的實際情況，其計算所得的力矩曲線更接近仿真結果，其中軸1的最大峰值力矩誤差由6.27%減小到2.07%，精度提升66.99%，最小峰值力矩誤差由5.91%減小到1.54%，精度提升73.94%；軸2的最大峰值力矩誤差由5.96%減小到1.88%，精度提升68.46%，最小峰值力矩誤差由3.27%減小到0.66‰，精度提升97.98%。

表2常規(guī)動力學模型與仿真結果對比

參數ADAMS仿真/(N·m)常規(guī)模型/(N·m)幅值誤差/%軸1最大力矩221.7207.8-6.27軸1最小力矩-214.8-202.1-5.91軸2最大力矩299.4289.6-3.27軸2最小力矩-244.8-230.2-5.96

表3簡化動力學模型與仿真結果對比

參數ADAMS仿真/(N·m)簡化模型/(N·m)幅值誤差/%軸1最大力矩221.7217.1-2.07軸1最小力矩-214.8-211.5-1.54軸2最大力矩299.4299.60.066軸2最小力矩-244.8-240.2-1.88

4結束語

利用拉格朗日乘子法建立了Delta并聯(lián)機器人的動力學模型，并根據方程組中各變量的物理含義，利用約束方程的全微分將動力學模型化為顯示的表達式。根據Delta機器人實際結構，考慮中間

旋轉軸以及手臂附件的影響，對其動力學模型進行了合理的簡化，并將其與常規(guī)動力學模型進行對比，在計算量方面，簡化模型消除了速度耦合項，大大簡化了計算。

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