核心素養視域下的共點力動態平衡問題探析

呂艷坤

(深圳實驗學校,廣東 深圳 518055)

物體的平衡是力學體系的基礎和核心知識,動態平衡是指物體受力狀態發生緩慢變化,可視為發生一系列受力平衡的動態過程;此類問題要求在事物的動態變化中洞察、分析、抽象概括、邏輯推理,進而解決問題,[1]由于能夠充分考查物理觀念和科學思維,一直是高考和自主招生考試的熱點.本文對共點力動態平衡問題涉及的題型和解法進行歸納總結,從物理學科核心素養的視角對題型進行立意分析,從而指導教學實踐,有效促進學生物理概念、規律的內化和模型建構、科學推理等能力的提高.

1 矢量圖解法

矢量圖解法是通過力的動態平行四邊形或矢量三角形,根據圖形的邊長和角度動態變化直觀地判斷力的變化情況.常見的矢量圖解法主要有極限法、矢量三角形法和輔助圓法.

1.1 極限法

適用條件:物體受到3個共點力的作用,其中一個力為恒力,另外兩個力的大小都單調變化.[2]

解題策略:對物體進行受力分析,采用極限思想,根據物體在動態變化過程中始、末狀態矢量三角形的變化,確定力的變化情況.

圖1

例1.如圖1所示,均勻小球放在光滑豎直墻和光滑的斜木板之間,模板上端用水平細繩固定,下端進而繞O點轉動,在放長細線使板轉至水平的過程中

(A) 小球對木板的壓力逐漸增大.

(B) 小球對木板的壓力逐漸減小.

(C) 小球對墻的壓力逐漸增大.

(D) 小球對墻的壓力逐漸減小.

圖2

解析:如圖2所示對小球進行受力分析,初始位置木板支持力N大于重力G;采用極限思想,當木板運動到水平位置時,木板支持力N等于重力,墻面支持力F變為0.由牛頓第三定律可知,小球對木板的壓力逐漸較小,小球對墻面的支持力也逐漸減小,故選(B)、(D).

1.2 矢量三角形法

適用條件:物體受到3個共點力的作用,其中一個力為恒力,一個變力的方向不變.

解題策略:對物體進行受力分析,依據某一自變量的變化,在同一圖中畫出動態變化過程中若干狀態下的矢量三角形,根據矢量三角形的動態變化確定力的變化情況.

例2.如圖3所示,重力為G的球放在傾角為α的光滑斜面上,試分析擋板與斜面間的傾角β為多大時,擋板所受壓力最小?

圖3

圖4

解析:如圖4所示，已知重力G的大小方向不變,斜面對球的支持力F1方向不變,根據力的動態矢量三角形可知,當F2垂直于F1時擋板對小球的壓力最小;由牛頓第三定律可知當β=90°時擋板所受壓力最小.

1.3 輔助圓法

適用條件:物體受到3個共點力的作用,其中一個力為恒力,兩個變力方向的夾角不變.

解題策略:對物體進行受力分析,根據兩變力方向夾角不變的特點和圓的固定弦對應圓周角不變的性質,畫出力的矢量三角形及其外接圓;確定矢量三角形在輔助圓內的變化范圍,由動態矢量三角形的變化確定力的變化情況.

圖5

例3.如圖5所示,置于地面的矩形框架中用兩細繩拴住質量為m的小球,繩OB水平.設繩OA、OB對球的拉力大小分別為F1和F2,他們的合力為F.現將框架在豎直平面內繞左下端緩慢旋轉90°,在此過程中

(A)F1先增加后減小.

(B)F2先增加后減小.

(C)F先增加后減小.

(D)F先減小后增加.

圖6

解析:如圖6所示,繩子拉力發生變化,但二者夾角不變,小球受到力的矢量三角形的外接輔助圓固定,此時F2方向垂直于mg方向.在矩形框旋轉的過程中,F2逐漸從水平到豎直,根據圓的特性可知F2先增加后減小,F1一直減小,二者合力大小不變,所以選(B).

1.4 矢量圖解法評析

矢量圖解是求解共點力動態平衡問題中最常見的方法,主要考查了學生對于受力平衡、動態變化的理解和基本模型建構的能力,對于科學思維的要求不高,屬于科學思維水平劃分的5個水平等級中的水平2——“能在熟悉的問題情境中應用常見的物理模型;能對比較簡單的物理現象進行分析和推理.”[3]3種圖解法的適用條件和對應的題型不同,其中極限法要求力的大小單調變化,而通常情況下往往需要判斷之后才能確定變化規律,因此一般不建議采用極限法.

2 解析法

適用條件:物體受到3個共點力的作用,其中一個力為恒力,有兩個力方向的夾角不變,即恒力和其中一個變力之間或兩變力之間的夾角不變.

解題策略:對物體某一狀態進行受力分析,建立平衡狀態方程組,聯立求解得到自變量與因變量之間的函數關系式,根據自變量的變化確定因變量的變化情況;常見的解析法主要有正交分解、正弦定理和拉密定理.

圖7

例4.如圖7所示,質量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上.用水平向左的力F緩慢拉動繩的中點O,用T表示繩OA段拉力的大小,在O點向左移動的過程中

(A)F逐漸變大,T逐漸變大.

(B)F逐漸變大,T逐漸變小.

(C)F逐漸變小,T逐漸變大.

(D)F逐漸變小,T逐漸變小.

2.1 正交分解

圖8

2.2 正弦定理

圖9

2.3 拉密定理

圖10

2.4 解析法評析

解析法是共點力動態平衡問題中的另一類常見解法,主要考查了學生受力分析、模型建構和數學運算的能力,對科學思維要求進一步提升,此類題對應科學思維水平等級3——“能在熟悉的問題情景中根據需要選擇恰當的模型解決簡單的物理問題.”[3]正交分解是高考中最常見的解析法,正弦定理和拉密定理通常出現在自主招生和競賽中;一般情況下,三者是通用的,但在求解某些問題中正弦定理和拉密定理可以極大地簡化計算,同時可以拓展學生解題思路,有效提高思維品質.

3 數形結合法

當3個共點力組成動態平衡問題不能通過單一的矢量圖解法或者解析法求解時,則考慮將上述兩類方法進行有機組合,先圖解分析再進行解析運算;常見的數形結合法主要有相似三角形法和角度對稱法.

3.1 相似三角形法

適用條件:物體受到3個共點力的作用,其中一個力為恒力,一個變力的方向始終指向空間某一個固定的點,即存在一個變力為有心力.

解題策略:對物體進行受力分析并畫出力的矢量三角形,尋找與力的矢量三角形相似的空間幾何三角形,根據相似關系通過幾何三角形邊長和角度變化確定力的變化情況.

圖11

例5.如圖11所示,在圓心為O半徑為R的光滑半球碗的底部A開一個小孔,碗內有一質量為m體積可忽略的光滑小球,現用一細桿穿過A孔,緩慢將小球從碗底推至與碗水平的位置,求整個運動過程中桿對球的支持力F和碗對球的支持力N大小變化情況.

圖12

3.2 角度對稱法

適用條件:輕繩上掛有可自由滑動的掛鉤或滑輪.

解題策略:輕繩上可自由滑動的掛鉤或滑輪,由于輕繩上拉力處處相等,只有當兩側輕繩關于掛鉤或滑輪所受的第三個力的方向恰好對稱時,系統才會平衡.

圖13

例6.如圖13所示,在豎直平面內,一根不可伸長的輕繩兩端打結系于“V”型桿上AB兩點,已知OM邊豎直,且AO=BO,CB垂直于ON,細繩AB繞過光滑的滑輪,質量為m的重物懸掛于滑輪下處于靜止狀態.若在紙面內繞端點O按順時針方向緩慢轉動“V”,直到ON邊豎直,繩子的張力為T,A點處繩子與桿之間摩擦力為fA,則

(A) 張力T一直增大.

(B) 張力T先增大后減小.

(C) 摩擦力fA一直減小.

(D) 摩擦力fA先增加后減小.

圖14

3.3 數形結合法評析

數形結合法需要學生具備創造性見解的能力和品質,集中體現了學生的分析推理和科學論證能力,對應科學思維水平劃分中的水平4——“能將實際問題中的對象和過程轉換成物理模型;能對綜合性物理問題進行分析和推理.”[3]在物理教學中結合數學知識求解,是實踐STEAM理念的重要舉措,有助于促進學科融合和發散思維的培養,從而有效發展學生的科學素養.