巧添一高 難題不難①
——解一般三角形的應用題簡析

黃雙華

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巧添一高 難題不難①
——解一般三角形的應用題簡析

黃雙華

(廣東省陽江市實驗學校，陽江 529500)

求解一般三角形，通常通過添加高線將原三角形分割為直角三角形再進行求解．但是怎么添高大可斟酌．

確定性思想 已知角 高

解三角形的前提是有直角三角形，如果是在銳角三角形和鈍角三角形中，就需要通過作輔助線的方法構造直角三角形來求解．解三角形時作輔助線的常用方法是添加三角形的高，但是怎么添高卻大可斟酌．

解三角形首先要確定一個思想：當一個三角形有三個獨立的條件時，此三角形就唯一確定，即滿足：①已知三條邊(邊邊邊)；②已知兩邊及其夾角(邊角邊)；③已知兩角及一邊(角角邊或角邊角)．需注意的是，如果已知三角形的三個角，那么該三角形不是唯一確定的，因為第三個角可以由其他兩角推導出來，也就是說它們是不獨立的．以上所說的已知角可以是已知角度，也可以是已知角的三角函數值．

當一個三角形符合以上三種情況之一時，該三角形的其他要素也就唯一確定，原則上都可以通過計算求得．

例1 在△ABC中:

(1)當∠A=30°，∠B=45°，AB=2時，求AC，BC；

(3)當AB=4，BC=5,AC=6時，求cosA，S△ABC．

圖1

解：(1)如圖1，作CH⊥AB．

圖2

圖3

(3)如圖3，作CH⊥AB．

根據題意, 設AH=x,BH=4-x．

根據勾股定理有CH2=AC2-AH2=BC2-BH2,

本題的三個小問分別對應角邊角、邊角邊、邊邊邊型三角形．應讓學生熟練掌握這些三角形的解法，也就是通過添加高線將原三角形分割成直角三角形來求解．

確定了解三角形的指導思想后，還需掌握添加高線的一個技巧，即添已知角所對的高(或垂線)．

例2 已知B港口位于A觀測點北偏東53.2°方向，且其到A觀測點正北方向的距離BD的長為16 km．一艘貨輪從B港口以40 km/h的速度沿如圖4所示的BC方向航行，15 min后到達C處．現測得C處位于A觀測點北偏東79.8°方向．求此時貨輪與A觀測點之間的距離AC的長(精確到0.1 km)．

圖4

分析：在△ABC中，容易得出AB=20，BC=10，∠BAC=26.6°．本題的實質就是在已知三角形的兩邊和一邊所對角的條件下，求第三邊AC的長．

解：(方法1)如圖5，過點C作CE⊥AB于點E．

由題意得∠DAB=53.2°，∠ABC=45°，∠DAC=79.8°，BD=16 km．

圖5

在Rt△BEC中，BE2+CE2=BC2,即(20-2EC)2+EC2=102，解得EC=6或EC=10．

當EC=10時，EA=20，不符合題意，舍去．

答：此時貨輪與A觀測點之間的距離AC約為13.4 km．

圖6

如圖6，過點B作BH⊥AC,交AC的延長線于點H．

答: 此時貨輪與A觀測點之間的距離AC約為13.4 km．

【點評】方法1和方法2都是通過添∠BAC所對的高來解本題的(因為已知tan 26.6°≈0.50)．那么是否可以過點A作BC的高AF？實際上，若通過點A作BC的高AF，就構造了Rt△AFC和Rt△AFB,如果設FC=x或AF=x，都難以利用∠BAC=26.6°這個條件．

圖7

例3 如圖7，一條小船從港口A出發，沿北偏東45°方向航行20海里后到達B處，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到達C處，問：此時小船距港口A多少海里？

解：(方法1)如圖8，過B點作BE⊥AP，垂足為點E；過C點作CD⊥AP，垂足為點D，延長DC交BQ于點F． 易知四邊形EBFD為矩形，DF=BE,DE=BF．

圖8

圖9

(方法2)如圖9，作AH⊥CB,垂足為H，易得∠ABH=75°．

【點評】方法1和方法2有什么區別？方法1所用為初中教學要求的特殊角運算，而方法2用到了75°角，但對于初中生來說，教材不作記憶要求，因此這個75°角的條件難以利用．

最后，注意一個細節：當已知角是鈍角時，不能作鈍角所對的高．可把該鈍角切割，或找該角的鄰補角(即外角)所對的高．

如對于例3，可換個思路，把鈍角切割．

(方法3)如圖10，過點B作BE⊥AP，垂足為點E；過點C分別作CD⊥AP，CF⊥BE，垂足分別為點D，F． 易知四邊形CDEF為矩形，CD=EF,DE=CF．

圖10

在Rt△ABE中，

圖11

例4 某市在舊城改造中，計劃在市內一塊如圖11所示三角形空地上種植草皮以美化環境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要( )．

A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元

圖12

【點評】這道題的背景對學生來說熟悉而又簡單，但本題有較高的區分度，主要是因為已知的150°角無法切割．如圖12，要先求出150°的外角為30°，再作出20米邊上的高，根據含30°角所在直角三角形的性質即可求出高，從而得到面積，再根據這種草皮每平方米a元即可求得結果為150a元．答案選C．

解直角三角形是初中數學的重要內容之一，利用解直角三角形的方法來解決一般三角形問題，是初中生數學學習的難點之一，也是近幾年中考的熱點問題．在解答與之相關的問題時， 除了必須掌握直角三角形的邊角關系外，還要靈活運用一些重要的數學思想與方法，善于在復雜的圖形中找到一個確定的一般三角形．利用添加已知角所對高的辦法添加輔助線，構造直角三角形．因此我們教師在平時的教學中，不管題目的難度如何變化，背景如何翻新，萬變不離其宗，教會學生掌握了這個方法，也就等于掌握了解直角三角形的有力工具！

[1]陳永明．陳永明講評數學題[M]．上海：上海科技教育出版社, 2013．

(責任編輯：李 佳)

① 本文系廣東省教育科學規劃課題《滲透數學的真善美，提升初中數學教育的價值》的研究成果(課題批準號2016YQJK168).