一道高中數(shù)學(xué)期中試題的命制心路及感想①

梁淮森

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一道高中數(shù)學(xué)期中試題的命制心路及感想①

梁淮森

(福建省南安第一中學(xué)，南安 362300)

本文通過對(duì)一道高考真題多角度、多層次的改編，深入剖析試題的命制意圖，完整呈現(xiàn)了一道高三期中立體幾何解答題的命題過程，并給出了實(shí)測(cè)追蹤及考后反思，體現(xiàn)出教師在立體幾何教學(xué)中，深入研究高考真題，把握問題本質(zhì)，滲透優(yōu)化決策思想，引導(dǎo)學(xué)生化繁為簡(jiǎn)的必要性．

試題 設(shè)計(jì)意圖 幾何法 坐標(biāo)法 優(yōu)化決策

立體幾何在高考中占據(jù)重要的地位，每年高考均有一道解答題，多以棱柱、棱錐和棱臺(tái)為載體，主要考查線面、面面位置關(guān)系的證明及線線、線面和面面夾角的求解．從2001年新課程改革開始，由于理科數(shù)學(xué)增加了空間向量這個(gè)“殺手锏”，立體幾何問題似乎一下子由較難問題變?yōu)橹袡n偏易問題．然而近幾年立體幾何問題命題趨向于綜合考查學(xué)生的空間想象能力、代數(shù)方程思想、平面解析幾何或向量的方法等．考題雖然仍以空間直角坐標(biāo)系為主要的解題工具，但建系不再那么一目了然，對(duì)空間想象能力的要求大大提高，經(jīng)常出現(xiàn)對(duì)過去傳統(tǒng)的題進(jìn)行視角變換或?qū)⒒緢D形的元素進(jìn)行增、減等變化．很多學(xué)生遇到這類題型往往會(huì)感到不習(xí)慣，從而導(dǎo)致整體得分率較低．

由于空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，理科學(xué)生解立體幾何問題一般都用坐標(biāo)法解決，教學(xué)中也較少介紹幾何法解題方法(一般只涉及證明平行或垂直)，因此用幾何法思考對(duì)學(xué)生來(lái)說是一大困難．在學(xué)校高三上學(xué)期期中學(xué)情調(diào)查考試中，筆者命制了高三理科數(shù)學(xué)試卷，命題按照全國(guó)高考考試說明對(duì)相關(guān)內(nèi)容的要求，試卷樣式同高考全國(guó)卷一致．根據(jù)命題的構(gòu)想要求，想要編一道不易建立空間直角坐標(biāo)系的立體幾何解答題．為了設(shè)置建系難點(diǎn)，以幾何法解題背景下的考題進(jìn)行改編命制．在試題命制過程中，感觸頗深，下面談一談此題的命制意圖、命制過程與感想，希望與同行交流探討．

一、試題內(nèi)容

1.試題展示

如圖1，三棱柱ABC-A1B1C1中，D,M分別為CC1和A1B的中點(diǎn)，A1D⊥CC1，側(cè)面ABB1A1為菱形，且∠BAA1=60°，AA1=A1D=2，BC=1．

圖1

(Ⅰ)證明：直線MD∥平面ABC；

(Ⅱ)求二面角B-AC-A1的余弦值．

2.試題解答

第(Ⅰ)小題的幾何法解題過程略，下面展示坐標(biāo)法簡(jiǎn)要解析．

(方法1)由勾股定理，易得CB⊥BA,CB⊥BA1，

所以CB⊥平面ABB1A1．

如圖2，取AA1中點(diǎn)F，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，以BB1，BF,BC為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系．

圖2

(方法2)如圖3，以B為原點(diǎn)，以BB1,BF分別為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)C(a,b,c)．

圖3

A,B,B1,A1,M各點(diǎn)的坐標(biāo)同方法1，

C1(a+2,b,c)，所以D(a+1,b,c)．

由A1D⊥CC1，A1D=2，BC=1，

所以C(0,0,1)，C1(2,0,1)，D(1,0,1)，下同方法1．

二、命制過程

為了設(shè)置建系難點(diǎn)，需考慮尋找?guī)缀畏ń忸}背景下的考題． 通過對(duì)近幾年高考試卷中立體幾何解答題的研究與分析，最終決定以2011年全國(guó)卷大綱版第19題為原型進(jìn)行改編．

圖4

原題：如圖4，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．

(Ⅰ)證明：SD⊥平面SAB；

(Ⅱ)求AB與平面SBC所成角的大小．

1.設(shè)置建系難點(diǎn)，規(guī)避直角坐標(biāo)系

圖5

題目1 如圖5，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD,BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．

(Ⅰ)證明：SD⊥平面SAB；

【設(shè)計(jì)意圖】針對(duì)原題建系難的特點(diǎn)，意圖考查純幾何法解題．考慮到教學(xué)較少涉及空間角的幾何法求解，因此設(shè)計(jì)第(Ⅱ)小題考查直線與平面平行的判定及性質(zhì)、平面幾何知識(shí)的應(yīng)用等知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等思想方法；考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力等．

2.變換圖形結(jié)構(gòu)，力求一題多解

考慮到幾何體中存在線面垂直關(guān)系，把幾何體旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，有利于建立坐標(biāo)系解題，使得題目解法多樣化．

圖6

題目2 如圖6，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD,BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．

(Ⅰ)證明：SD⊥平面SAB；

【設(shè)計(jì)意圖】變換圖形方位，引導(dǎo)學(xué)生利用第(Ⅰ)小題的結(jié)論建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法解決探索性問題(Ⅱ)．同時(shí)，純幾何法解本題仍然適用，使得解題多樣化．

3.變換題目設(shè)問，改變考查重點(diǎn)

圖7

由于空間角問題是立體幾何中的一大重點(diǎn)，題目2經(jīng)改變圖形結(jié)構(gòu)，建立坐標(biāo)系不再是難點(diǎn)，可考查空間角問題．此外，綜合全國(guó)卷命題特點(diǎn)，其命題語(yǔ)言均簡(jiǎn)潔明了，甚少考查這類探索性問題，因此考慮把第(Ⅱ)小題改換為原題的線面角問題．

題目3 如圖7，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD,BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．

(Ⅰ)證明：SD⊥平面SAB；

(Ⅱ)求AB與平面SBC所成角的大小．

【設(shè)計(jì)意圖】題目語(yǔ)言、圖形簡(jiǎn)潔明了，考查直線與平面垂直、直線與平面所成的角及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用；考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用．

4.再設(shè)建系難點(diǎn)，直面直角坐標(biāo)系

題目3的設(shè)計(jì)已經(jīng)完全偏離了最初想要編一道不易建立空間直角坐標(biāo)系的立體幾何解答題的構(gòu)想．由于第(Ⅰ)小題的引導(dǎo)作用，在題目3中建立直角坐標(biāo)系變得簡(jiǎn)單易行，因此決定去掉第(Ⅰ)小題的引導(dǎo)作用，改成平行問題．

圖8

題目4 如圖8，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD,BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1，M為SB的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：MC∥平面SAD；

(Ⅱ) 求AB與平面SBC所成角的大小．

【設(shè)計(jì)意圖】加大難度，考查直線與平面平行、直線與平面垂直及直線與平面所成的角等知識(shí)；考查轉(zhuǎn)化與化歸思想；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力等；此外，還考查了學(xué)生合理猜想、嚴(yán)格證明的數(shù)學(xué)思想方法．

5.再變圖形設(shè)問，完善考查方位

近幾年來(lái)的全國(guó)卷立體幾何命題常以菱形為底面，考慮到這一命題特點(diǎn)，把題目4的四棱錐擴(kuò)充成三棱柱．并且希望第(Ⅰ)小題與第(Ⅱ)小題有關(guān)聯(lián)，因此對(duì)(Ⅱ)小題再作修改．

題目5(定稿) 如圖9，三棱柱ABC-A1B1C1中，D,M分別為CC1和A1B的中點(diǎn)，A1D⊥CC1，側(cè)面ABB1A1為菱形，且∠BAA1=60°，AA1=A1D=2，BC=1．

圖9

(Ⅰ)證明：直線MD∥平面ABC；

(Ⅱ)求二面角B-AC-A1的余弦值．

【設(shè)計(jì)意圖】以橫放的斜三棱柱為載體，考查三棱柱的特征，空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用等知識(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想、空間想象能力、邏輯推理能力及運(yùn)算能力的考查．并要求學(xué)生能夠合理猜想、嚴(yán)格證明，綜合性較強(qiáng)，難度較大．

三、命題感想

1.試題特點(diǎn)

試題第(Ⅰ)小題可以用幾何法證明，且難度不大，對(duì)于不能建立坐標(biāo)系的學(xué)生不致全軍覆沒，且第(Ⅰ)小題既可以直接證明線面平行，也可以通過構(gòu)造平面，證明面面平行以得到線面平行，具有一定的靈活機(jī)動(dòng)性．

試題第(Ⅱ)小題用幾何法解題較難，適宜于建立坐標(biāo)系解題．根據(jù)棱長(zhǎng)數(shù)據(jù)易得BC⊥BA，可合理猜想BC⊥平面ABB1A1并證明，從而建立直角坐標(biāo)系；也可以在平面ABB1A1選擇好x,y軸，建立未知z軸的坐標(biāo)系，并設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,b,c)，利用坐標(biāo)詮釋題干條件，先列方程解出a,b,c的值再求解．兩種解法分別考查了空間想象能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想，具有一定的難度．

而試題第(Ⅱ)小題所求二面角的一個(gè)半平面ABC和第一步所證平面一樣．對(duì)于能夠建立坐標(biāo)系的學(xué)生，可選擇用坐標(biāo)法利用法向量證明線面平行，其法向量在第二步可重復(fù)使用，降低了運(yùn)算量，是一種更優(yōu)化的選擇，可以體現(xiàn)學(xué)生在審題中的觀察能力及優(yōu)化決策思想．

2.實(shí)測(cè)追蹤

本校有484名高三理科學(xué)生參加考試，第(Ⅰ)小題做對(duì)者473人，正確率高達(dá)97.7%，其中使用坐標(biāo)法解題者只有1人．第(Ⅱ)小題能建立正確坐標(biāo)系的學(xué)生不到100人，正確率低至20%，其中以BA,BC為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系者共2人．

本題的幾何體以菱形為底面，學(xué)生遇到底面為菱形的幾何體時(shí)，經(jīng)常以菱形的中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．受這一思維定式影響，本題在實(shí)測(cè)考查中，很多學(xué)生仍然希望以菱形中心M為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，因此出現(xiàn)很多學(xué)生以MC為z軸的錯(cuò)誤猜想．而方法2由于教學(xué)當(dāng)中基本沒有涉及，學(xué)生都不懂得應(yīng)用．因此學(xué)生在第(Ⅱ)小題中幾乎“全軍覆沒”．

另外，學(xué)生對(duì)第(Ⅰ)小題的證明大多會(huì)使用幾何法證明，能建立直角坐標(biāo)系的學(xué)生也很少會(huì)注意觀察到兩個(gè)小題中使用到同一個(gè)平面，從而做出選擇利用法向量證明線面平行的優(yōu)化決策．事實(shí)上，如果在建立直角坐標(biāo)系的時(shí)候選擇以BA,BC為坐標(biāo)軸，則平面ABC為坐標(biāo)平面，其法向量不用求，又降低了不少的運(yùn)算量．在教學(xué)中，應(yīng)注意滲透此類優(yōu)化決策思想的應(yīng)用，幫助學(xué)生提高解題效率．

3.考后反思

本題的難點(diǎn)在于建立空間直角坐標(biāo)系，為埋伏鋪墊、設(shè)置梯度，可加入一個(gè)小題：“求證：BC⊥BA1．”這一小題有利于引導(dǎo)學(xué)生更加容易猜想到BC⊥平面ABB1A1，使題目難度下降，且變化之后的考點(diǎn)與原題相同．

本題在實(shí)測(cè)考查當(dāng)中第(Ⅱ)小題的得分率非常低，這提醒了我們考慮教學(xué)是否應(yīng)適當(dāng)注意這種不易建立直角坐標(biāo)系的問題的處理方法．而本題方法2為我們提供了一個(gè)不錯(cuò)的選擇，通過建立“半個(gè)直角坐標(biāo)系”，把空間想象和幾何證明的難度轉(zhuǎn)化為空間坐標(biāo)的運(yùn)算，充分體現(xiàn)了坐標(biāo)法的優(yōu)點(diǎn)．并且這種方法也是一個(gè)較為普適性的解題通法，值得我們推廣應(yīng)用．

四、結(jié)語(yǔ)

圖10

BC=1,AB=BA1=2，在這個(gè)主干圖形中易得BC⊥平面ABA1，而將基本圖形的元素進(jìn)行增加變換后，以上線段長(zhǎng)度信息變得隱蔽，線面垂直關(guān)系的發(fā)現(xiàn)變得困難．因此，在高三立體幾何的教學(xué)和復(fù)習(xí)中，教師要認(rèn)真研究歷年高考試題，吃透問題的本質(zhì)，有意識(shí)地對(duì)學(xué)生熟悉的圖形進(jìn)行圖形元素的增、減變換，并教會(huì)學(xué)生將圖形化繁為簡(jiǎn)的方法，在錯(cuò)綜復(fù)雜的條件信息中提煉出基本圖形，注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力．

[1]黃曉琳，姚承佳．一道質(zhì)檢題的命制過程與反思[J]． 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013(9)：48-51．

[2]佟成軍，黃明明．一次命題及考后的點(diǎn)滴記錄和思考[J]． 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014(1-2)：135-137．

[3]揚(yáng)蒼洲，姚承佳．一道試題的命制思路[J]． 數(shù)學(xué)教學(xué)，2011(11)：35-36，38．

[4]陳云平．高中數(shù)學(xué)試題命制的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)[J]． 數(shù)學(xué)通訊，2012(5)：52-56．

(責(zé)任編輯：李 佳)

① 本文系2015年福建省基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究立項(xiàng)課題《高中數(shù)學(xué)作業(yè)(含試卷)有效設(shè)計(jì)與講評(píng)實(shí)證研究》(立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)MJYKT2015—069)部分研究成果．