機器人機構設計的運動靈活性評價方法*

應明峰，莫曉暉，姜 勁

(金陵科技學院 a.機電工程學院；b.計算機工程學院，南京 211169)

機器人機構設計的運動靈活性評價方法*

應明峰a，莫曉暉b，姜 勁a

(金陵科技學院 a.機電工程學院；b.計算機工程學院，南京 211169)

以一種工業機器人為研究對象，在機器人運動學的基礎上，分析其全域運動性能平均指標、全域運動性能波動指標、全域運動性能最差指標，并針對這3項性能指標進行多目標優化。將機器人桿長參數作為機構設計變量，根據機器人的工作空間及運動學靈活性要求建立多目標優化模型。設計一種改進的多目標粒子群算法，引入Pareto分布熵及其差熵估計種群的多樣性及進化狀態，以此為反饋信息來設計進化策略。進行優化計算，最終得到一組最優解。采用優化后的機器人機構參數可以使機器人運動靈活性能有較大提高。

機器人運動學；性能指標；Pareto 熵；多目標粒子群優化

0 引言

機器人機構設計是一個困難而復雜的問題，往往需要依賴性能指標來評價機器人機構設計的好壞，因此在設計過程中不可避免地要考慮選取合適的性能評價指標[1]。在機器人性能指標的研究上，國內外許多學者做了大量的研究工作，并取得了許多成果。YOSHIKAWA[2]定義了機器人的可操作度，并利用可操作度橢球對其幾何意義進行了闡述。SALISBURY等[3]提出了條件數，并將其用于機器手指的工作空間進行評價。

但是由于雅可比矩陣依賴于機器人具體的位姿，因此基于雅可矩陣的條件數指標、可操作度指標都只是一個局部指標，它們的優化往往具有局限性。如果能夠對機器人運動學多個性能評價指標之間進行耦合及制約問題加以研究，進而將其運動學性能進行多目標優化，這對所設計的機器人機構性能的評價具有重要意義。一些學者已經在機構多指標優化評價問題上做了相關研究工作。Zhang Lufan[4]采用改進的多目標遺傳算法優化了宏微觀運動平臺連接機構的總質量、關鍵點最小變形以及第1階固有頻率。Zhang Dan[5]引入了粒子群優化算法對土撥鼠機器人的剛度和工作空間進行了優化。

粒子群算法使近年發展起來的一種新的進化算法，具有形式簡潔、收斂快速和參數調節機制靈活等優點，并且一次運行可得到多個解，因而被認為是求解多目標優化問題最具潛力的方法之一。本文采用改進的多目標粒子群優化方法進行一種焊接機器人機構設計的運動學性能多目標優化與評價。通過對機器人的機構分析，建立其運動學性能的多目標優化模型。以機器人運動靈活性能指標條件數的全域運動平均性能、全域運動波動性能、全域運動最差性能3個指標為優化目標，以機器人的機構桿長參數為優化變量進行多目標優化，比較機構桿長參數的變化對機器人運動靈活性能的影響，最后獲得較好的機構設計參數值。

1 機器人性能優化問題描述

1.1 機器人模型的建立

圖1為六自由度焊接機器人模型示意圖，由6個轉動副構成，該機器人是一種典型的串聯機器人。由于它的靈活性，可以廣泛應用于弧焊、涂膠、切割、噴漆等多種領域。

圖1 機器人結構簡圖

按照D-H標準建立坐標系，可得出該機器人的D-H 參數見表1。

表1 機器人的D-H連桿參數

為了分析機器人的運動學，根據機構影響系數法[6]建立一階影響系數矩陣。Si表示連桿i軸線方向的單位矢量，Ri表示坐標系i與固定坐標系兩原點之間的距離，(P-Ri)表示連桿i對研究點P的矢徑，則機器人一階影響系數雅可比矩陣J為：

(1)

1.2 優化指標

雅可比矩陣的條件數[3]代表了雅可比轉換矩陣向各個方向的變化均一性，在機器人機構設計和對機器人進行控制時，需使雅可比矩陣盡量各向同性，即盡量“均勻”，就是要控制雅可比矩陣的條件數盡量接近1。但是該指標只是用于表示機器人的局部的一個性能值，并不能反映機器人在工作空間的整體性能指標，為此Gosselin等定義了一個新指標η[7]：

(2)

η是一個全域性能指標，它等于機器人工作空間w內所有觀測點的局部指標條件數k倒數的平均值。為了考慮到機器人在工作空間內性能指標的變化，石志新等[8]在η的基礎上又提出了全域性能波動指標σ：

(3)

η和σ兩個指標是對機器人整個工作空間內的靈活性進行評價，可用于機器人機構設計中工作空間綜合問題的求解，以及在機器人工作過程中，機器人與工件對象之間的相對最優位姿求解。

以上兩個指標都可以對機器人運動靈活性進行量化描述，從而給機器人機構的優化設計提供了重要的評價準則。但是由于實際工程問題的復雜性和多樣性，這些靈活性指標之間是相互關聯影響的。除了考慮機器人運動性能的要求以外，還要強調其綜合運動靈活性能的優劣。特別是對于一個具體任務構成的空間，使機器人以一定位姿處于工作空間內的某一位置時，如果想知道機器人對于這個具體任務能否完成，或者完成時執行質量如何，除了考察在此任務空間上機器人運動靈活性的整體情況以外，還需要考慮最差情況。因為在最差情況下機器人如果不能完成任務或完成的質量差，都會影響整個任務完成質量，僅憑η和σ兩個指標來衡量時，只能知道工作空間中運動靈活性總體狀況和波動情況，因此考慮增加一個描述最差靈活性情況的指標δ：

δ=η-kmin

(4)

它由表示整體靈活性的指標η與觀測點中條件數最小值kmin的差來評價，δ越小，說明在任務空間上靈活性變化幅度越小。

1.3 數學描述

研究的目的是在考慮機器人的設計要求基礎上，找到最優的機構桿長，使該機器人工作時發揮最優的運動性能。在設計要求的基礎上綜合考慮機器人運動學性能的變化，將需優化的變量機構桿長進行條件約束，以確保機器人整體尺寸在一定范圍內變化，不超出設計要求。

采用目標函數的最小方向尋優，對三個指標η、σ與δ進行變化后分別建立目標函數f1、f2、f3進行多目標優化，最終找到機構桿長l1和l2一些最優的組合。

該優化問題的數學表示如下：

minf1(l1,l2)

minf2(l1,l2)

minf3(l1,l2)

(5)

s.t.100mm≤l1≤700mm

100mm≤l2≤400mm

(6)

2 工程實例分析

2.1 優化算法

很多工程問題都可以歸結為多目標優化問題，其求解方法一直都是學術界和工程界共同關注的焦點。多目標優化問題通常存在多個彼此沖突的目標，其優化結果為Pareto 最優解集[9]。與數學規劃方法相比，進化算法因一次運行可得到多個解，且能逼近非凸或不連續的Pareto 最優前端，從而被認為是更適合求解多目標優化問題的智能方法。

粒子群優化算法(particle swarm optimization,簡稱PSO)[10]是由Kennedy和Eberhart在1995年提出的仿生算法，它是受到飛鳥集群活動規律的啟發，根據社會學和心理學而建立的群體智能模型。

熵在熱力學中表示系統混亂狀態[11]，而在生態學中表示生物的多樣性，它可以來度量近似Pareto前端的分布均勻性，從而體現出進化算法中種群的多樣特性。具體可以通過對目標空間變換來獲得Pareto前端的熵，先對優化算法中種群的多樣性進行度量，對于Pareto前端在相鄰迭代時刻的熵的變化大小，用差熵來表示，以此來估計種群的進化狀態，從而得到實時的進化環境反饋信息。同時，在變換后的目標空間中為了評估Pareto最優解，使其能夠逼近真實的Pareto綜合程度，采用了個體格距離密度和格占優強度為算法中外部檔案更新和全局最優解選擇提供決策依據。

為了解決機器人機構設計中的性能優化問題，采用了一種基于Pareto熵的多目標粒子群優化算法，流程圖如圖2所示。

圖2 算法流程圖

其算法流程如下：

輸入：具有M個目標的待優化問題MOP，具有D個決策變量的搜索空間SD；

初始化參數：最大外部檔案容量F，種群粒子個數PN，最大迭代次數T_max；

輸出：存儲在外部檔案中的近似Pareto最優解集G_pa。

步驟1：初始化：產生初始化種群P，令迭代計數器n=0，在搜索空間SD中按均勻分布隨機生成PN個粒子，計算每個粒子的M個目標函數值，初始化每個粒子的外部檔案Pa，更新G_pa；

步驟2：更新迭代的計數器：t=t+1；

步驟3：評估其進化的環境：計算G_pa的Pareto熵和差熵，評估種群進化狀態Status，計算G_pa中每個Pareto最優解的個體格距離密度和個體格占優強度；

步驟4：自適應調節粒子運動參數,計算當前粒子運動參數；

步驟5：更新種群：選擇粒子i的全局最優解

gBest(i),從Pa(i) 中選擇一個與gBest(i)空間距離最近的成員作為粒子i的個體最優解pBest(i)，更新粒子i的速度和位置，評估粒子i的M個目標函數值，更新粒子i的個體外部檔案Pa(i)，更新全局外部檔案G_pa；

步驟6：檢測算法終止條件：如果n>T_max，則輸出G_pa;否則，跳轉步驟(2)。

2.2 優化結果及分析

根據焊接機器人的工作空間及運動學性能要求，設定機器人初始機構桿長l1=200mm，l2=150mm，將表1中其他連桿參數取值a1=260mm,a3=35mm，d1=675mm,d6=115mm。此時，計算所得的機器人3個優化目標函數值分別為：f1=56.8532，f2=80.2851，f3=233.2060。

接著根據輸入變量、優化的目標以及約束條件，編寫MATLAB優化函數，設定粒子群算法參數，種群大小設為N=500，最大外部檔案容量F=500，最大迭代次數T_max=400。算法運行后得到優化結果，以l1作為x軸，l2作為y軸，繪制出各個性能指標隨l1、l2變化的等高線分布圖3。

(a)指標1等高線分布圖

(b)指標2等高線分布圖

(c)指標3等高線分布圖圖3 三個優化指標的等高線分布圖

由圖3中可以看出，三個指標隨著機器人機構桿長的優劣變化趨勢是不同的，如果僅僅追求某一個性能指標的最優，可能會影響到其他指標的性能，因此只能找尋一些具有較好綜合性能的桿長組合。根據Pareto效率從最后優化的解集中取10組Pareto最優解，如表2所示。

表2 機構參數優化結果

將優化的結果與初始數值進行比較，做出散點圖，如圖4所示。

(a)全域性能均值比較圖

(b)全域性能波動值比較圖

(c)全域性能最差值比較圖圖4 優化結果對比圖

經過比較可以發現，優化計算后獲得的10組解可以使機器人運動性能指標條件數的全域性能平均值優化45.10%～53.57%，全域性能波動值優化61.51%～65.46%，全域性能最差值優化64.23%～75.70%。比較分析后，最終選擇l1=440.2mm，l2=299.1mm作為機構桿長值。采用此種組合機構構型的機器人性能指標條件數的全域運動性能平均值可以優化 50.68%，全域運動性能波動值優化65.32%，全域運動性能最差值優化71.05%。算法的運算時間約300s，運算效率有很大提高。

3 結論

通過對一種串聯機器人進行機構設計的運動學性能評價分析，得到了機器人性能的多目標優化模型。將機器人運動靈活性指標條件數的全域平均性能指標、全域波動性能指標、全域最差靈活性指標作為三個優化目標。利用多目標粒子群算法，引入Pareto效率對它們進行優化。將優化后的Pareto第一前端最優解集進行數據分析，最終經優化計算得到了較好的機構桿長參數組合，實現了機器人的機構優化，使機器人運動靈活性能有了較大提高。

[1] 鄒慧君，高峰．現代機構學進展[M]．北京:高等教育出版社，2011.

[2] YOSHIKAWA T. Manipulability of robotic mechanisms[J]. International Journal of Robotics Research，1985，4(2)：3-9.

[3] SHH Zargarbashi, W Khan, J Angeles. TheJacobian condition number as a dexterity index in 6R machining robots[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing，2012, 28(6):694-699.

[4] Zhang Lufan, Long Zhili, et al. Multi-objective optimization design of a connection frame in macro-micro motion platform[J]．Applied Soft Computing，2015，32: 369-382.

[5] Zhang Dan, Gao Zhen. Forward kinematics analysis and multi-objective optimization of a bio-inspired parallel manipulator[J]．Robotics and Computer-Integrated Manufacturing，2012，28(4): 484-492.

[6] 于靖軍，劉辛軍，丁希侖，等．機器人機構學的數學基礎[M]．北京: 機械工業出版社，2008.

[7] Gosselin C, Angeles J. A Global Performance Index for the Kinematic Optimization of Robotic Manipulators[J]. Transaction of the ASME, 1991, 113(3):220-226.

[8] 石志新，羅玉峰，陳紅亮,等．機器人機構的全域性能指標研究[J]．機器人，2005，27(5)：420-422 .

(Shi Zhi-xin, Luo Yu-feng, Chen Hong-liang,et al. On Global Performance Indices of Robotic Mechanisms[J]. Robot, 2005,27(5):420-424.

[9] H Safikhani, S Eiamsa-Ard. Pareto based multi-objective optimization of turbulent heat transfer flow in helically corrugated tubes[J]. Applied Thermal Engineering, 2016, 95:275-280.

[10] H Zhang, DD Kennedy, et al. Novel bare-bones particle swarm optimization and its performance for modeling vapor-liquid equilibrium data[J]. Fluid Phase Equilibria, 2011,301(1):33-45.

[11] SA Matei, RJ Bruno. Pareto's 80/20 law and social differentiation:A social entropy perspective[J]. Public Relations Review, 2014,41(2):178-186.

(編輯 李秀敏)

Assessment of Kinematic Flexibility on Robotic Mechanism Design

YING Ming-fenga，MO Xiao-huib，JIANG Jina

(a.School of Electrical Engineering;b. School of Computer Science and Technology, Jinling Institute of Technology, Nanjing 210016, China)

Based on the kinematics of an industrial robot, the three indices, including global kinematic average value, global kinematic volatility, global kinematic worst value are analyzed and optimized by multi-objective optimization algorithm. The link length parameters of robot are design as the variable, and the multi-objective optimization model is established by the requirements of the robot workspace and kinematics. An improved multi-objective particle swarm optimization (pso) algorithm is designed by using the distribution entropy and its difference of an approximate Pareto front to assess the diversity and evolutionary status of the population, and getting feedback information to design evolution strategy. Finally, a group of optimum link length is calculated by using this method. The optimized link length parameters of robot can improve the performance index of the robot greatly.

robot kinematics; performance index; Pareto entropy; multi-objective particle swarm optimization

1001-2265(2016)12-0157-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.12.042

2016-02-23

江蘇省高校自然科學基金(14KJD510003)；國家自然科學基金(61540068)

應明峰(1979—)，男，南京人，金陵科技學院副教授，研究方向為機器人運動控制與優化，(E-mail)ymf990@jit.edu.cn。

TH166;TG659

A