一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動結果

吳波

（普洱學院數學與統計學院，云南普洱 665000）

一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動結果

吳波

（普洱學院數學與統計學院，云南普洱 665000）

利用廣義黎卡提變換和積分平均技巧給出了一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動準則，建立了保證此類方程一切解振動或者收斂到零的若干新的充分條件。

廣義Emden-Fowler阻尼方程；廣義黎卡提變換；振動準則

本文考慮一類廣義Emden-Fowler阻尼方程

方程（1）的一個非平凡解稱為振動的，如果它有任意大的零點，否則為非振動的，如果方程（1）的一切解都是振動則稱該方程是振動的。

如果p(t)≡0,g(t)≡0,r(t)≡1,α=1,δ(t)=t，廣義Emden-Fowler阻尼方程（1）為經典的Emden-Fowler方程

如果p(t)≡0,r(t)≡1,α=1,δ(t)=t，廣義Emden-Fowler阻尼方程（1）為經典的Emden-Fowler阻尼方程

許多學者對方程（2）～（3）的振動和非振動性質做了一些研究〔1-3〕。1983年，Philos〔1〕建立了方程（2）的一些振動準則；1989年，Philos〔2〕進一步推廣和改進了文獻〔1〕的結論；1986年，Yan〔3〕建立了方程（3）的一些振動準則。

如果 p(t)≡0,g(t)≡0,α=β，廣義Emden-Fowler阻尼方程（1）為下列方程

如果 g(t)≡0，廣義Emden-Fowler阻尼方程（1）為廣義的Emden-Fowler方程：

許多學者對方程（4）的振動和非振動性質做了一些研究〔4-7〕。最近，文獻〔7-10〕對下面的方程

做了振動和非振動性質的一些研究。但是這些結果不可以應用于廣義的Emden-Fowler方程（5）。

目前，對廣義的Emden-Fowler方程（5）振動準則的研究還比較少。2012年，Liu〔11〕利用黎卡提不等式給出了廣義的Emden-Fowler方程（5）的振動準則。對廣義的Emden-Fowler阻尼方程（1）的振動準則還沒有做過研究。本文利用廣義黎卡提變換構造了廣義黎卡提不等式，進而建立了廣義的Emden-Fowler阻尼方程（1）的振動準則，并且這些振動準則都可以應用于廣義的Emden-Fowler方程（5）。

1 幾個引理

引理1 設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程（1）的正解，則相應的Z(t)只有下面的兩種情況

證明：設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程（1）的正解，由Z(t)的表達式得到Z(t)≥x(t)＞0。由方程的第一種情況，得到兩種可能：Z′(t)＞0或Z′(t)＜0。

對上式從t1到t積分，可以得到

讓t→∞，利用(H3)，得到Z(t)→-∞，這矛盾于Z(t)＞0。

本文下面的引理和定理都是基于情形（I）下得到的。

引理2 設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程（1）的正解，則

其中，Q(t)=[q(t)(1-p(δ(t)))]β。

證明：由Z(t)=x(t)+p(t)x(ι(t))，可以得到x(t)=Z(t)-p(t)x(ι(t))，利用(H4)和Z′(t)＞0，可以得到

利用方程（1），可以得到

引理3 設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程（1）的正解，如果

證明：假設存在兩個常數0＜M≤N，使得 0＜M≤Z(t)≤N，對方程（7）從t到∞積分，可以得到：

則

其中：

證明：由?(t)的定義可以得到

利用方程（7），可以得到

利用β≥α，H5和引理1，可以得到

由方程（10）～（12），可以得到

2 主要結果

定理1 假設某些條件成立。設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程（1）的解，如果

則x(t)振動。

證明：假設x(t)是方程（1）的非振動解，不妨設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程（1）的最終正解（對于x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程（1）的最終負解也有類似的結論），利用引理5可得

利用引理4得到

對上面方程從t0到t積分可得

讓t→∞，可得?(t)→-∞，這矛盾于?(t)＞0。

定理2 假設某些條件成立。設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程（1）的解，如果

則x(t)振動。

證明：假設x(t)是方程（1）的非振動解，不妨設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程（2）的最終正解（對于x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程（1）的最終負解也有類似的結論），利用引理5可得

利用引理4得到

兩邊同乘以(t-s)n再從t0到t兩邊積分（t＞t0）可得

由n(t-s)n-1?(s)＞0，可得

兩邊同除以tn可得

例1 設p(t)=0,r(t)=1,α=1,β=1,δ(t)=t,ρ(t)=1,q(t)=k1,g(t)=k2，方程（1）變為

下面利用Philos型積分平均條件，給出廣義的Emden-Fowler阻尼方程（1）的振動準則。為此令

我們稱函數H(t,s)∈C1(D,R)為屬于F類，記作H(t,s)∈F，如果滿足

（I）H(t,t)=0，t≥t0，H(t,t)＞0，

（II）存在 ρ(t)∈C1([t0,∞),R+)，h∈C(D0,R)，使得

定理3 假設某些條件成立。設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程（1）的解，如果

則x(t)振動。

證明：假設x(t)是方程（1）的非振動解，不妨設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程（3）的最終正解（對于x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程（1）的最終負解也有類似的結論），利用引理5可得

兩邊同乘以 H(t,s)，且從t0到t(t＞t0)兩邊積分可得

利用引理4和方程（15）可得

讓t→∞，則方程（17）矛盾于方程（16）。

推論1 設x(t)是方程（1*）的解，如果

則x(t)振動。

定理4 假設某些條件成立。設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程（1）的解，如果

其中：ψ+(s)=max{ψ(s),0}，則x(t)振動。

證明：假設x(t)是方程（1）的非振動解，不妨設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程（4）的最終正解（對于x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程（1）的最終負解也有類似的結論），利用引理5可得

兩邊同乘以H(t,s)，再從 T到 t(t＞T)兩邊積分可得

同除以H(t,T)可得

利用C3可得

利用方程（18）及 C3可得

設

利用（20）可得

假設

由方程（19）可得：

方程（22）～（23）矛盾于C4。由矛盾，我們假設

設η是一個任意的正數，利用C1可得

由方程（24）可得

利用C1及方程（25）～（26）可得

利用方程（21）和（27）可得：

兩邊同除以G(tn)可得

利用（28）可得

利用Schwarz不等式

兩邊同除以 G(tn)可得

利用 C2可得

方程（30）～（31）與方程（29）矛盾。

推論2 設x(t)是方程（1*）的解，如果

其中：ψ+(s)=max{ψ(s),0}，則x(t)振動。

［參考文獻］

〔1〕PHILOS C G.On a Kamenev's integral criterion for oscillation of linear differential equa-tions of second order〔J〕.Ann Polon Math，1983，21：175-194.

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〔3〕YAN J.Oscillation theorems for second order linear differential equation with damping〔J〕.American Mathematical Society，1986，98：276-282.

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〔10〕YE L H，XU Z T.Oscillation for second order quasi-linear neutral delay differential equation〔J〕.Appl Math Comput，2009，207：388-396.

〔11〕LIU H D，MENG F W，LIU P C.Oscillation and asymptotic analysis on a new generalized Emden-Fowler equation〔J〕.Appl Math Comput，2012，219：2729-2748.

Oscillation Results of a Class of Generalized Emden-Fowler Equation with Damping

Wu Bo
（College of Mathmatics and Statistic,Pu'er University,Pu'er,Yunnan 665000,China）

By using generalized Riccati transformation and integral averaging technique,this paper studies the oscillation of a class of generalized Emden-Fowler equation with damping,and establishes some new sufficient conditions for equation oscillating or converging to zero.

a generalized Emden-Fowler equation with damping;generalized Riccati transformation;oscillation criteria

O29

A

2096-2266（2016）12-0006-08

10.3969∕j.issn.2096-2266.2016.12.002

（責任編輯 袁 霞）

2016-04-24

吳波，副教授，主要從事微分方程、數理統計研究.