優(yōu)化數(shù)學解題步驟，提高數(shù)學解題能力

張培成

（杭州市蕭山區(qū)瓜瀝鎮(zhèn)黨山初中）

優(yōu)化數(shù)學解題步驟，提高數(shù)學解題能力

張培成

（杭州市蕭山區(qū)瓜瀝鎮(zhèn)黨山初中）

影響初中生數(shù)學解題能力的因素有很多，教師在教學中如何更好地引導學生解答數(shù)學問題，不斷提高學生的數(shù)學解題能力是一件不容易的事，是一項綜合性的工作，也是一個復雜而長期的過程。美國著名數(shù)學家G·波利亞在他的著作《怎樣解題》一書中，把數(shù)學解題的過程分為“弄清問題”“擬定計劃”“實現(xiàn)計劃”和“回顧”四大步驟。通過教學實踐和思考，結(jié)合解題經(jīng)驗，從數(shù)學解題四個步驟的角度出發(fā)，就如何通過培養(yǎng)學生的各種習慣和能力，提高學生的數(shù)學解題能力進行了初步的探索。

解題能力；習慣；培養(yǎng)；提高

美國著名數(shù)學家G·波利亞說過：“問題是數(shù)學的心臟，掌握數(shù)學意味著什么？那就是善于解題。”可見，解題是數(shù)學的核心，也是教學活動的基本形式和主要內(nèi)容。要善于解題，就要具有較強的解題能力。數(shù)學中的解題能力就是綜合運用數(shù)學基礎知識、基本思想方法和技能以及邏輯思維規(guī)律，整體發(fā)揮數(shù)學基本能力進行分析和解決數(shù)學問題的能力。顯然，解題能力是一種綜合性的能力，解題能力標志著一個人的數(shù)學水平。但數(shù)學問題千變?nèi)f化，無窮無盡，“題海”茫茫，要想使學生身臨題海而得心應手，身居考室而又處之泰然，就必須培養(yǎng)他們的解題應變能力。有了較強的應變能力，在漫游“題海”時，才能隨機應變。作為數(shù)學教師，能否培養(yǎng)并提高學生的解題能力，不僅直接關系到學生學習數(shù)學成功與否，而且也是衡量教師數(shù)學教學業(yè)務水平高低的重要標尺之一，尤其是以解決問題為重心的數(shù)學知識運用教學。

因此，培養(yǎng)學生的解題能力，是搞好初中數(shù)學教學，實現(xiàn)課程目標必不可少的重要環(huán)節(jié)。G·波利亞在《怎么解題》（How to Solve It）一書中，通過“怎么解題表”，說明了解題的四個階段，即“弄清問題”“擬定計劃”“實現(xiàn)計劃”和“回顧”，并以問題的方式呈現(xiàn)了各個階段所包含的成分。這四個階段的內(nèi)容包括：（1）弄清問題，解題要了解未知數(shù)是什么、已知數(shù)是什么、已知條件是什么、利用各種不同的表征方式等等；（2）擬定計劃，利用重新敘述題目的方式、回到定義或者參考之前類似題目的解法等方法制訂計劃；（3）實現(xiàn)計劃，不僅要實現(xiàn)求解計劃，而且要檢驗每一個步驟；（4）回顧，檢驗論證并找出別的方法。波利亞所提出的這些問題實際上涉及了問題解決的一般策略。

一、初中數(shù)學步驟不規(guī)范的原因及現(xiàn)象

1.對規(guī)范解題的作用認識不足，往往認為最終的答案才是最主要的

從學生的作業(yè)以及平時交談中發(fā)現(xiàn)，許多學生認為數(shù)學作業(yè)只要最后的結(jié)果正確就行了，至于計算過程、思路只要在腦袋里就行了。導致很多題目會而不全，作業(yè)中只有結(jié)果，沒有過程，讓人懷疑答案的來源。考試檢測中往往沒得分或只得很少分。

2.粗心大意，解題時思維不嚴密，出現(xiàn)“跳步”“缺步”解答

通過平時作業(yè)的批閱，很多學生解題雖然有解題過程，但邏輯性不強，特別是幾何證明題中“跳步”“缺步”條件不足等現(xiàn)象尤為嚴重。

3.沒有良好的習慣

字跡潦草，步驟凌亂，書寫不認真。農(nóng)村初中大多數(shù)家長工作繁忙，文化水平不高，對子女的教育只看結(jié)果，對子女的學習習慣很少關心，更不用說去培養(yǎng)學生良好的學習習慣了。

二、數(shù)學解題步驟的優(yōu)化及其策略

本人通過十幾年的教學實踐和思考，結(jié)合自己的解題經(jīng)驗，從數(shù)學解題四個步驟的角度出發(fā)，就如何通過培養(yǎng)學生的各種習慣和能力，提高學生的數(shù)學解題能力進行初步的探索。

1．弄清問題，即審題和理解題意

所謂審題，就是在對問題進行感知的基礎上，對數(shù)學題目提供的情節(jié)內(nèi)容和數(shù)量關系的分析和理解，對條件和問題進行全面的認知，通過對問題的數(shù)學特征進行分析，從而對所要解決的問題在頭腦中有一個清晰反映的思維活動。數(shù)學審題是正確、迅速解題的基礎和前提，是進行正確做題不可缺少的環(huán)節(jié)，解題的成功很大程度上取決于審題的成功與否。準確、敏銳、深入的審題是正確分析問題，把握問題本質(zhì)，探尋解題思路，提高數(shù)學解題能力的關鍵。但審題又是學生在解題過程中容易被忽視的環(huán)節(jié)，因此，在教學中我們數(shù)學老師應該對審題要足夠地重視，經(jīng)常強化學生的審題意識，培養(yǎng)學生的審題能力。

（1）培養(yǎng)學生認真、仔細審題的習慣

解題前教師應盡量給學生足夠的審題時間和思考空間。讓學生認真細致閱讀題目，在讀題審題中多角度無遺漏地收集題目有效信息。簡單的題目看一遍，一般的題目看兩遍，難題和新穎的題目多看幾遍，邊看邊分辨已知和待解。然后我們可以分析問題目的，關鍵字詞，已知條件和題目所求，題目的條件間的相互聯(lián)系和相互作用，有意識地培養(yǎng)學生從材料中發(fā)現(xiàn)信息、識別信息、獲取信息、整合信息的能力。對于審題急于求成，馬虎草率的學生，要批評指正，指出危害。

案例1：

“節(jié)能環(huán)保，低碳生活”是我們倡導的一種生活方式，某家電商場計劃用11.8萬元購進節(jié)能型電視機、洗衣機和空調(diào)共40臺，三種家電的進價和售價如表所示：

價格種類 進價（元/臺） 售價（元/臺）電視機 5000 5500洗衣機 2000 2160空調(diào)24002700

①在不超過現(xiàn)有資金前提下，若購進電視機的數(shù)量和洗衣機的數(shù)量相同，空調(diào)的數(shù)量不超過電視機的數(shù)量的3倍。請問商場有哪幾種進貨方案？

②在2012年消費促進月，商家針對這三種節(jié)能型產(chǎn)品推出1000元送50元家電消費券一張、多買多送。在①的條件下，若三種電器在活動期間全部售出，商家預估最多送出消費券多少張？

學生經(jīng)常審題不仔細，對于第①小題，要看清楚問題是求什么，是幾種方式，還是哪幾種方式；對于第②小題，許多學生就受以前做類似問題的定式思維影響，求利潤的最值問題，而此題卻是需求售價的最值問題。

（2）引導學生對關鍵詞語的理解

在數(shù)學解題中對關鍵性詞語的深刻分析是非常有必要的，然而學生往往錯誤地認為只有語文的學習才講究詞語分析。而解題時卻往往由于對關鍵性詞語的理解不確切，造成對題目的要求范圍和界限不明確，結(jié)果把解題解錯或解不出來。因此審題時在閱讀題目的基礎上，要邊讀邊想，對一些關鍵的詞語應特別注意，并認真思考、斟酌，以求獲得解題信息，找到解題的途徑和方法。

案例2：

（2013·萊蕪）某學校將周三“陽光體育”項目定為跳繩活動，為此學校準備購置長、短兩種跳繩若干。已知長跳繩的單價比短跳繩單價的兩倍多4元，且購買2條長跳繩與購買5條短跳繩的費用相同。

①兩種跳繩的單價各是多少元？

②若學校準備用不超過2000元的現(xiàn)金購買200條長、短跳繩，且短跳繩的條數(shù)不超過長跳繩的6倍，問學校有幾種購買方案可供選擇？

此題只需抓住關鍵詞句，如：兩倍多4元、費用相同、不超過2000元、不超過長跳繩的6倍等。①設長跳繩的單價是x元，短跳繩的單價為y元，根據(jù)長跳繩的單價比短跳繩單價的兩倍多4元；購買2條長跳繩與購買5條短跳繩的費用相同，可得出方程組，解出即可；（2）設學校購買a條長跳繩，購買資金不超過2000元，短跳繩的條數(shù)不超過長跳繩的6倍，可得出不等式組，解出即可。

（3）培養(yǎng)學生挖掘隱含條件的能力

試題中的隱含條件是指試題中含而不露的條件，具有一定的隱蔽性，它對解題的影響很大，既起干擾作用，又起暗示作用。疏忽和輕視隱含條件，就會導致解題困難或者思維不嚴謹。把隱含條件挖掘出來，常常是解題的關鍵所在。要想快速、準確地挖掘隱含條件，就應該對試題中的每句話、每個條件進行仔細分析、推敲，并與已學過的數(shù)學概念、公式、定理、性質(zhì)等有機地聯(lián)系起來。

案例3：

2.擬定計劃，即尋找并確定解題思路和方法

擬定計劃是在認真審題的基礎上，對全題進行反復的分析和解剖，根據(jù)題意，聯(lián)系所學知識，從而為正確解題尋得路徑、形成思路和方法的過程。而數(shù)學基本概念、基礎知識和基本技能都是解題思路的源泉，離開它們，解題就成了無本之術，無源之水。因此，審題之后首先要回顧題目中涉及哪些主要概念。這些概念是如何定義的，在題目的條件和結(jié)論里，與哪些定理、公式、性質(zhì)有關，可否直接使用。題目所涉及的基本技能、方法是什么等。經(jīng)過這樣一番深入思考之后，解題途徑將會逐步明朗，解題計劃就隨之形成。

（1）培養(yǎng)學生聯(lián)系、整合知識和信息的能力

重視對題中的文字材料和圖表信息的分析與理解，它們是解題的直接依據(jù)。將獲得的數(shù)學信息與已學過基本知識和技能建立準確而有效的聯(lián)系，并且聯(lián)系已做過的“熟題”的解題方法和過程，帶著問題和信息去探求解題思路和答案要點。同時注意對“熟題”要保持高度的警覺性，要密切關注其中情景和設問的變化，將每一道題都當作新題來解答。

案例4：

甲、乙兩人同時從相距90千米的A地前往B地，甲乘汽車，乙騎摩托車，甲到達B地停留半小時后返回A地。如圖是他們離A地的距離y（千米）與時間x（時）之間的函數(shù)關系圖象。

①求甲從B地返回A地的過程中，y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

②若乙出發(fā)后2小時和甲相遇，求乙從A地到B地用了多長時間？

在函數(shù)問題里面，對分析理解圖表、文字材料有著更高的要求，同時它也是解決問題的最重要依據(jù)和解題方法的最佳途徑。此題應引導學生結(jié)合文字材料，仔細觀察和分析圖象，抓住圖象的特點，找到圖象中的一些關鍵點及其坐標，并思考它們在題中所表示的實際意義。

（2）培養(yǎng)學生類比遷移的能力

所謂類比，就是根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，從而推出其他方面可能相似或相同的結(jié)論；所謂遷移，就是已經(jīng)獲得的知識技能、方法態(tài)度與新知識、新技能之間發(fā)生的相互影響。信息給予題是初中數(shù)學題中的一種常見題型，它要求考生能夠靈活且有創(chuàng)意地思考問題。因此，教師可通過從舊知到新知的遷移、從感性到理性的遷移、從理論到實踐的遷移這三方面來培養(yǎng)學生類比遷移的能力，讓學生掌握解決數(shù)學問題的方法。

案例5：

已知點A（1，5），B（3，－1），點M在X軸上，當AM-BM最大時，求點M的坐標。

對于求兩條線段的和最小的問題，學生見得很多，而此題就需要從常見的問題中，通過類比、遷移，由已知的解題方法——做對稱，來聯(lián)想本題也找對稱點從而解決問題。

（3）培養(yǎng)學生數(shù)學思維的靈活性

思維的靈活性是指轉(zhuǎn)向的及時性以及不過多地受思維定式的影響，善于從舊的模式或通常的制約條件中擺脫出來，能根據(jù)情況的變化，發(fā)現(xiàn)新的事實，及時修正原來的觀念和想法，轉(zhuǎn)化或調(diào)整原有的思路和方法，尋找新的解決問題的途徑，即能隨機應變。那么，在解題時，我們要善于讓學生做到化繁為簡、化隱為顯、化難為易、化未知為已知、化一般為特性、化抽象為具體。當學生的常規(guī)思維受阻時，可變換思維的角度來尋求新的解題途徑，使他們思維的靈活性得到培養(yǎng)和發(fā)展。

案例6：

若方程x2+4mx-4m+3=0，x2+2mx-2m=0，x2+（m-1）x+m2=0中至少有一個方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的范圍。

注意這里的關鍵詞語“至少”，它包含三層意思：三個方程都有實根；其中兩個方程有實根；其中一個方程有實根。逐次討論m的范圍是十分復雜的，于是引導學生考慮“至少”的反面是什么？學生很容易答出“三個方程均無實根”，因而三個判別式都小于零，得到不等式組，并解得-＜m＜-1，所以當-＜m＜-1時，三個方程均無實根。則當m≤-或m≥-1時，三個方程中至少有一個方程有實根。

3.實現(xiàn)計劃，即具體答題書寫

審題、尋找解題思路是解題的兩個重要環(huán)節(jié)，而這兩個環(huán)節(jié)都是為實現(xiàn)答題服務的。在學生弄清題意和尋找到解題思路之后，就會著手于實現(xiàn)解答的書寫。學生在書寫答題的過程中往往會遇到這樣或那樣的問題，如數(shù)學語言表述不清、不規(guī)范，解題過程不合理、不嚴密，推理過程跳步、論據(jù)不足，結(jié)論不完整或答非所問，字跡書寫潦草、凌亂等。以至于很多學生出現(xiàn)會而不對、對而不全甚至誤判的情況，導致題目的實際得分與學生的自我感覺或估計分數(shù)有較大的差距。

（1）培養(yǎng)學生數(shù)學語言的表達能力

數(shù)學語言是指對數(shù)學概念、術語、符號、公式、定理、圖形、運算定律、法則及解題思路、推導過程等的表述。數(shù)學語言可分為文字語言、符號語言、圖形語言三類，具有準確、抽象、簡練和符號化等特點。每個數(shù)學題目都是由一些特定數(shù)學語言所組成的，數(shù)學解題活動的過程，實際上就是數(shù)學語言的轉(zhuǎn)化過程。很多學生解題時盡管解題思路正確甚至很巧妙，但不善于把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言或者數(shù)學語言表達不準確、不規(guī)范，以至于心中有數(shù)卻說不清道不明，因此得分少。只有重視解題過程的語言表述，將解題過程轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，準確、規(guī)范、完整地表述出來，“會做”的題才能“得分”。

比如，等腰三角形中“在同一個三角形中，等邊對等角”“等腰三角形的三線合一”，不少學生會寫“等邊對等角”“三線合一”等等。

（2）培養(yǎng)學生解答過程的合理性和嚴謹性

解答過程的書寫要正確、合理、嚴密、清楚。把運算、推導、作圖與所得的結(jié)果書寫出來，是解題的一個基本要求。解題的步驟都要有充分的理由，遵循嚴格的思維規(guī)律，合乎邏輯性。任何數(shù)學題的解答都有一定的嚴格要求，解題要依照要求的步驟進行，格式符合規(guī)定。無論哪種格式，書寫都應層次分明，條理清楚。怎樣把數(shù)學題的解答嚴謹?shù)貢鴮懗鰜硎羌蝗菀椎氖拢@有著較高的能力要求。尤其是教師在教學過程中要作出示范，使學生有榜樣可學，這樣才能逐步培養(yǎng)學生嚴謹?shù)谋磉_能力。

案例7：

如圖，已知邊長為2的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，求⊙O的半徑r。

很多學生在作完輔助線后，根本就沒有去說明AD經(jīng)過圓心O或AD垂直于BC，甚至沒有去說明∠OBD=30°就直接開始計算。其實本題的數(shù)量關系和計算比較簡單，重點就是要運用圓的知識去說明△OBD是一個含30°角的直角三角形，這才是回答此題的主要過程。

（3）培養(yǎng)學生良好的書寫習慣

答題時卷面要整潔，書寫要工整，切不可潦草，做到字體勻稱，字跡清楚，疏密適度，行款得體。寫字小或者字間距、行間距太小，字結(jié)構(gòu)比較緊密的容易造成老師閱讀困難。寫字潦草、寫字小、寫字密的學生一定要將字寫得大點，字間距大點。如果書寫做不到美觀的話，一定要做到清晰，字跡做不到養(yǎng)眼的話，一定要做到順眼。書寫時還要注意分段、分行、分點，若要點較多，要標注序號，做到排布整齊，段落清晰，突出重要觀點，使評卷老師在最短時間內(nèi)把握學生答題的有效信息，這將是使學生的試卷增值的重要因素。

4.回顧，即解題之后進行反思

解題反思就是對解題活動的反思，它是對解題活動深層次的再思考，不僅僅是數(shù)學解題學習的一般性回顧和重復，更是深究數(shù)學解題活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，具有較強的科學研究性質(zhì)。解題反思的目的是認識問題的深層次結(jié)構(gòu)，通過解有限的題去學會和領悟那種解無限道題的數(shù)學機智，最終提高學生的數(shù)學解題能力。但學生經(jīng)常會忽略解題反思，而它恰恰是解題過程中非常重要的環(huán)節(jié)。正確地對待解題反思可以使學生避免在解題過程中犯不該犯的錯誤，也可以深化學生對基本知識的理解以及深化學生對數(shù)學思想方法的掌握，還可以提高學生的數(shù)學思維能力。事實上，通過回顧和反思，對把握數(shù)學問題的本質(zhì)，揭示解題規(guī)律，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，提高分析探索和創(chuàng)造能力有很大的幫助，它是使學習者的認識由低級向高級發(fā)展的一條重要途徑，也是提高解題能力的一條重要途徑。

（1）培養(yǎng)學生檢查與驗證的習慣

在解完一道題之后，還不能萬事大吉，我們還應該引導學生養(yǎng)成良好的反思習慣，及時對解答過程和結(jié)果進行檢查和驗證。由于學生的年齡特征及數(shù)學認知結(jié)構(gòu)水平的限制，以及對數(shù)學基本概念、基本技能掌握得不熟練，在答題過程中往往會出現(xiàn)很多問題。因此，我們要抓住學生在解題過程中的不準確，對概念理解的不深刻，考慮問題的不全面，甚至是計算能力欠缺而導致的錯誤結(jié)果，有意識地啟發(fā)、引導學生對解題過程和結(jié)果進行檢查和驗證。檢查解題過程是否合理和完整，驗證結(jié)果是否正確或遺漏。

案例8：

本題對于一般學生來說，這是一個簡單題，但是他們往往還是會失分，原因是忽略了本題中分母和除數(shù)不能為0的隱含條件。教學中教師應引導學生進行檢驗，把x的值帶入原式再算一遍，這樣學生就很容易發(fā)現(xiàn)問題。因而在解完一題后，檢查和驗證這一環(huán)節(jié)是非常必要和重要的。

（2）培養(yǎng)學生歸納與總結(jié)的習慣

同一類型的問題，解題方法和思路往往有其規(guī)律性，因此當一個問題解決后，要不失時機地引導學生反思解題方法，透過事物表面現(xiàn)象，洞察本質(zhì)，認真探索和總結(jié)解題規(guī)律，引導學生從特性到一般，從而推廣出這一類問題的解決辦法，力圖從解決問題中找出新的、普遍適用的東西，以現(xiàn)在的解決問題的經(jīng)驗幫助今后的問題解決，這樣有利于培養(yǎng)學生深入鉆研的良好習慣，提高數(shù)學解題能力。

（3）培養(yǎng)學生引申與拓展的能力

引申與拓展，主要是指對精挑精選的題目進行變通推廣、重新認識，注重一題多問、一題多解、一題多變。恰當合理的引申和拓展能營造一種生動活潑、寬松自如的氛圍，能開闊學生的視野，激發(fā)學生的情趣，有助于提高學生的探索精神和創(chuàng)新意識，并能使學生舉一反三、觸類旁通。在引申與拓展的過程中，一定要自然流暢，切忌牽強附會，要引導學生通過對引申和拓展的題目加深對所學知識的理解和掌握。同時，教師要注意到并不是每一個數(shù)學題都要引申和拓展，要限制在學生已有的認知基礎上，有梯度、循序漸進地進行，而且引申和拓展的題目的數(shù)量必須要有度。

總之，數(shù)學的解題能力是學生運用所學的數(shù)學知識技能去分析解答各種數(shù)學問題的綜合能力，體現(xiàn)一個學生數(shù)學思維的性質(zhì)和數(shù)學水平的高低。初中數(shù)學解題存在很強的靈活性，在平時教學中，不能通過多做題來提高學生的解題能力。而應培養(yǎng)學生平時認真審題和獨立思考的習慣，培養(yǎng)學生規(guī)范答題和反思回顧的習慣，把這些習慣培養(yǎng)成為學生的自覺行為，從而有效地提高解題能力。要知道，讓學生掌握一定的解題能力不僅是我們開展數(shù)學教學的最終目的，也是學生綜合素質(zhì)的集中反映。因此，作為數(shù)學教師，我們一定要重視解題能力的培養(yǎng)，重視教學策略的運用。從每一堂課、每一個細節(jié)抓起，培養(yǎng)學生良好的解題習慣，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，逐步提高數(shù)學解題能力。

［1］波利亞.怎樣解題［M］.上海科技教育出版社，2002.

［2］魏榮芳.怎樣提高學生的數(shù)學解題能力［J］.基礎教育論壇，2007（7）.

［3］范久新.如何提高學生的解題能力［J］.新課程研究，2008（8）.

［4］王玉花.數(shù)學解題反思能力培養(yǎng)的研究［D］.內(nèi)蒙古師范大學，2009-03.

·編輯 謝尾合