授人以魚，不如授人以漁
——課堂的民主集中制

◆尤樂融

(浙江省麗水市職業高級中學)

授人以魚，不如授人以漁
——課堂的民主集中制

◆尤樂融

(浙江省麗水市職業高級中學)

作為一線教師，為了上好一堂課，課前備學生、備教材、備教法，可謂做足了功課，但往往自己頗為滿意的設計，在實際的課堂上卻收不到預期的反響，到底是哪里出現了問題，困擾著我也困擾著我的同行們。一次一位“后進生”在課堂上的“攪局”卻為我解開了困惑：計劃趕不上變化，師生良性的互動才能促進一堂課真正的獲得成功，學生本來就比我們所想象的可以做的更好，課堂應該實現真正的“民主集中制”。

等和數列 等積數列 構建主義

作為一名任教多年的教師，我對自己的教學水平是有信心的，但是在教學中仍會出現令我感到困惑的問題：有的時候，明明在課前準備得很充分，備教材的重點、目標，備學生的學情，采用教具、多媒體等各種手段輔助教學，課堂上也設計了許多“套路”去啟發、引導學生，可往往氣氛不冷不熱，教學效果不如人意。直到一次看似不經意的事件悄然來到我的面前，終于揭開了我的困惑。

那天，上完等比數列的最后一個課時的內容，我正在小結知識點，準備結束數列這一章。忽然一個聲音從教師的一角清晰的傳來“老師，等比數列剛學完，前面也學過等差數列，怎么數列這章就結束了呢？為什么沒有等和數列、等積數列？”我順著聲音尋去，發現是平時數學不太好的張XX同學正在皺著眉頭，當時的我沒有在意他的提問，心里覺得這小家伙不好好落實正兒八經的知識點，倒出現稀奇古怪的想法，于是輕描淡寫的回答他：“張XX，老師沒見過你說的數列，你可以自己再去想想，是不是有這樣的數列呢？”隨著下課的鈴聲，我走出了教室很快就忘了這件事。

第二天，我和往常一樣準備滿滿的進入教室，師生問候完畢剛準備引入新章節的教學，張XX站起來壓抑不住興奮的說道“老師，昨天的問題我想了很久，我發現是存在等和數列和等積數列的！”課堂被打斷了，而且覺得張XX又在進行無意義的探討，我有些不高興。但看著他一臉的期待，我想讓他撞撞“南墻”回頭，剛好也借這個機會提醒其他人以后不要做“無用功”，于是我就叫他同大家講講他的“發現”。

張XX上來邊說邊寫：參照等差數列和等比數列的定義，我給出了等和數列和等積數列的定義。

如果一個數列從它的第2項起每一項與它的前一項的和(積)都等于同一常數，則這個數列叫做等和(積)數列，這個常數叫做公和(積)，暫用e來表示(公積暫用f表示)，由定義可得

an+an+1=e (n∈N+)

anan+1=f(n∈N+)

如1，2，1，2，1，2…這是一個等和數列，同時也是一個等積數列，我覺得等和數列應該和等積數列是相同的。我的證明如下：

根據等和數列定義式，

an+an+1=e

an+1+an+2=e

兩式相減得 an+2=an

根據等積數列定義式，

anan+1=f

an+1an+2=f

兩式相除得 an+2=an

結論成立，等和數列和等積數列都是形如a，b，a，b，a，b…的數列，也就是說等和數列即是等積數列，反之亦然，兩者都是周期為2的周期性數列。

我有點懵，出乎我的意料，一個我眼里的學困生，竟然能自己通過已有知識的建構，給出了一個規范的定義并對自己的觀點進行了證明。教室里的其他學生也開始興趣盎然的閱讀并思考起來。

是該為了教學進度點到為止呢？還是繼續讓這思維的火花點燃呢？我猶豫了一下，選擇了后者。

于是我表揚了張XX，然后對別的學生說“你們完全同意他的理論嗎？”

生甲：“我不同意他說的等和數列、等積數列的周期一定為2。常數列既是等和數列，又是等積數列，但它的周期是1，所以等和、等積數列的周期應該是1或2?！?/p>

生乙：“你說的也不對，等積數列不一定是周期數列，等積數列也不一定是等和數列，例如：0，1，0，2，0，3…

我：“那么為什么張XX的證明中，漏洞在哪里？”

生丙：“漏洞在于，等和數列里，兩式相減得an+2=an沒問題，但在等積數列里，兩式相除得 an+2=an就不行了，前提條件是f∈0”。

一番熱情洋溢的討論后，學生歸納出結論：

1.等和數列an+an+1=e (n∈N+)

等積數列anan+1=f(n∈N+)

2.等和數列是、等積數列(f∈0)是周期數列，如果是常數列，周期為1，如果不是常數列，周期為2。

3.等和數列一定是等積數列，等積數列當f∈0時才是等和數列。

4.推論：滿足an+an+1+…+an+m=e(n∈N+)的數列是周期為m+1的周期數列，滿足anan+1…an+m=f(n∈N+，f∈0)的數列是周期為m+1的周期數列。

這堂課進行了一件挺“不務正業”的探討，“耽誤”了教學計劃，但它收到的效果卻出乎意料的好，課堂上師生之間的互動、生生之間的合作，對知識的理解和交流發散在教室的每一個角落，學生不僅對數列的理解更加深刻了，更重要的是學生從數學學習活動中獲得了成功的體驗，樹立了自信心，在后來的學習中養成了一種合作交流的意識和樂于探究的良好思維品質。

把更多的時間交還給學生自己，讓我們的課堂充滿“民主集中制”。

[1]楊艷紅.新課改初中數學課堂互動活動的案例.中學時代，2014，(18).