非牛頓流體在多孔介質和霍爾電流效應下的幾類精確解

張道祥， 程 航

(安徽師范大學 數學計算機科學學院,安徽 蕪湖 241002)

非牛頓流體在多孔介質和霍爾電流效應下的幾類精確解

張道祥， 程 航

(安徽師范大學 數學計算機科學學院,安徽 蕪湖 241002)

非牛頓二階流體的運動方程是一個高維的非線性微分方程,其精確解求解非常困難.本文利用逆方法求得非牛頓流體在多孔介質和霍爾電流效應下的幾類精確解,所得的精確解有助于人們認識和理解非牛頓流體的流動特性.

非牛頓流體;逆方法;霍爾效應;多孔介質

由于經典的Navier-Stokes方程只能描述簡單的非牛頓流體運動,為了解決復雜的非牛頓流體的運動,許多研究者將注意力集中在了非牛頓流體的研究上.最常見的求解非牛頓流體的方法就是Nemenyi提出的逆方法[1].逆方法是預先假設規定的渦量場或流場滿足某種物理或者數學上的性質,再根據此求解其精確解.Taylor[2]通過假設渦量分布與流函數成正比,在牛頓流體中獲得了隨時間指數衰減的雙無限渦列的精確解.Lin和Tobak[3]通過假設渦量與受到一個均勻流擾動的流函數成正比,運用逆方法解出了牛頓流體的精確解.Asghar[4],Labropulu[5],Siddiqui[6],張道祥,馮素曉[7]等利用逆方法獲得二階流體精確解.最近本文作者運用預設流函數求解偶應力流體的Riabouchinsky 型精確解[8].

受上述文章的啟發,本文研究非牛頓流體在多孔介質和霍爾電流效應下的幾類精確解.首先假設非牛頓流體的渦量分布滿足

▽2ψ=A(ψ-Ux-BUy),

(1)

其中A,U,B都為常數且A≠0,U≠0.

1 基本方程

帶有多孔介質和霍爾電流效應下的不可壓縮二階流體的控制方程為:

divV=0

(2)

(3)

其中V是速度向量,P為壓力,ρ是常值密度,J是電流密度,B是總磁場,u是磁導率,E是總電場電流,K是多孔介質的滲透性,f是體力,T是Cauchy應力張量.

(4)

其中,u,α1,α2是可測量的物質常數,A1,A2為第一和第二階Rivlin-Ericksen張量.

(5)

根據霍爾效應[9]有

▽·B=0,▽×B=umJ,▽×E=0,

(6)

(7)

we是回旋頻率,Te是電子碰撞時間,σ是導電性,e是總電子電荷,Pe是電子壓力.將方程(4)-(7)代入方程(2)和(3),并且我們引入流函數ψ(x,y,t),它滿足

代入方程(2)和(3)我們得到

(8)

(9)

當1-WeA=0時,我們可以看出方程(9)變為ψ(x,y)=Ux+BUy,則u(x,y)=BU,v(x,y)=-U.

下面,我們考慮1-WeA≠0時定常和非定常下的精確解.

2 定常下的精確解

在定常條件下方程(9)變為

(10)

(11)

可以解出方程(11)的通解為

ψ=Uξ+eNyg(ξ)

(12)

(1+B2)g″(ξ)+(B+BN)g′(ξ)+(N-A2)g(ξ)=0

(13)

此時的特征方程為

(1+B2)λ2+(B+BN)λ+(N-A2)=0

(14)

令Δ=(B+BN)-4(1+B2)(N-A2)

2.1Δ>0

此時,則

(15)

則g(x)的表達式為

g(ξ)=c1eλ1ξ+c2eλ2ξ

(16)

流函數和速度場為

ψ=Uξ+eNy(c1eλ1ξ+c2eλ2ξ)

(17)

u(x,y)=BU+NeNy(c1eλ1ξ+c2eλ2ξ)+BeNy(λ1c1eλ1ξ+λ2c2eλ2ξ)

(18)

v(x,y)=-U-eNy(λ1c1eλ1ξ+λ2c2eλ2ξ)

(19)

2.2Δ=0

(20)

流函數和速度場為

ψ(x,y)=Uξ+eNy(c1+c2ξ)eλ3ξ，

(21)

u(x,y)=BU+NeNy(c1+c2ξ)eλ3ξ+Bλ1eNyeλ3ξ(c1+c2ξ)+c2BeNyeλ3ξ，

(22)

v(x,y)=-U-c2eNyeλ3ξ-λ1(c1+c2ξ)eNyeλ3ξ，

(23)

其中c1,c2為常數.

2.3Δ<0

流函數和速度場為

ψ(x,y)=Uξ+eNyeIξ(D1sinI2ξ+D2cosI2ξ)，

(24)

u(x,y)=BU+(N+BI1+BI2)eNyeI1ξ(D1sinI2ξ+D2cosI2ξ)，

(25)

v(x,y)=-U-(I1+I2)eNyeI1ξ(D1sinI2ξ+D2cosI2ξ)，

(26)

3 非定常下的精確解

在非定常情形下,因為1-WeA≠0,令B=0我們有

(27)

我們令ξ=y+Ut,y=y.

(28)

在新的坐標系下方程(28)轉變為

(29)

我們可以得到

ψ=Ux+eNyg(ξ,x).

(30)

將(30)代入(1)中, 我們得到g(ξ,x)滿足

(31)

關于方程(31), 我們令

g=G(η),η=ξcosθ+xsinθ，

(32)

θ為常數, 將(32)代入(31)

G″(η)+2NcosθG′(η)+(N2-A)G(η)=0,

(33)

我們假設(33)的解形式為G(η)=emη,我們有

m2+2Ncosθ+(N2-A)=0，

(34)

由方程(34)我們解出

(35)

3.1A-N2sinθ>0

此時我們有

G(η)=A1em1η+A2em2η，

(36)

其中m1,m2在(35)中給出, 這時候流函數以及速度分別為

ψ(x,y,t)=Ux+eNy(A1em1η+A2em2η)，

(37)

u(x,y,t)=NeNy(A1em1η+A2em2η)+eNycosθ(A1m1em1η+A2m2em2η)，

(38)

v(x,y,t)=-U-eNysinθ(A1em1η+A2em2η)，

(39)

其中,A1,A2是常數.圖1給出了當U=1,N=1,A1=1,A2=0,t=1,A=0.8,θ=0的流函數等值線.我們得到了帶有垂向上有抽(吸)作用的平行流動.

圖1 流函數的等值線

3.2A-N2sinθ=0

此時我們有

G(η)=e-Nηcosθ(D1+D2η)，

(40)

這時候流函數以及速度分別為

ψ(x,y,t)=Ux+eNy-Nηcosθ(D1+D2η)，

(41)

u(x,y,t)=eN(y-ηcosθ)[Nsin2θ(D1+D2η)+D2cosθ]，

(42)

v(x,y,t)=-U-eN(y-ηcosθ)sinθ[D2-D2cosθ(D1+D2η)]，

(43)

3.3A-N2sinθ<0

此時我們有

G(η)=e-Nηcosθ[E1sin(mη)+E2cos(mη)]，

(44)

圖2 流函數ψ(x,y,t)=-x+e-tsin(y-t)的等值線

ψ(x,y,t)=Ux+eN(y-ηcosθ)[E1sin(mη)+E2cos(mη)]

(45)

u(x,y,t)=eN(y-ηcosθ)Nsin2θ[E1sin(mη)+E2cos(mη)] +eN(y-ηcosθ)mcosη[E1sin(mη)-E2cos(mη)]，

(46)

v(x,y,t)=-U-eN(y-ηcosθ)sinθm[E1cos(mη)-E2sin(mη)] +eN(y-ηcosθ)sinθNcosθ[E1cos(mη)-E2sin(mη)]．

(47)

4 結論

非牛頓流體的精確解目前仍是力學和數學研究者關注的熱點問題.本文在預設渦量場分布的條件下,研究在多孔介質和霍爾電流效應下定常和非定常情形下二階流體的精確解.我們得到了帶有垂向上有抽(吸)作用的平行流動以及隨著時間按指數衰減的流動精確解.

[1]NEMENYIPF.Recentdevelopmentsininverseandsemi-inversemethodsinthemechanicsofcontinua[J]. Advance in Applied Mechanics, 1951,2(11):123-151.

[2] TAYLOR G T. On the decay of vortices in a viscous fluid[J]. Phil Mag, 1923,(46):671-674.

[3] LIN S P, TOBAK M. Reversed flow above a plate with suction[J]. AIAA, 1986,(24):334-335.

[4] HAYAT T, MOHYUDDIN M R, ASGHAR S. Some inverse solutions for unsteanian fluid[J]. Tamsui Oxford Journal of Mathematical Sciences, 2005,21(1):1-20.

[5] LABROPULU F. Exact solutions of non-Newtonian fluid flows with prescribed vorticity[J]. Acta Mechanics,2000,(141):11-20.

[6] SIDDIQUI A M, MOHYUDDIN M R, HAYAT T, ASGHAR S. Some more inverse solutions for steady flows of a second-grade fluid[J]. Arch Mech, 2003,(55):373-387.

[7] 張道祥,馮素曉.二階非牛頓流行蠕流精確解[J].力學季刊, 2008,29(3):418-423.

[8] 張道祥,程航.偶應力流體的Riabouchinsky型精確解[J].安徽師范大學學報:自然科學版,2005,38(5):414-418.

[9] Muhammad R Mohyuddin, Ehsan Ellahi Ashraf. Inverse solutions for a second-grade fluid for porous medium channel and Hall current effects[J]. Indian Acad Sci, 2004,1(114):79-96.

Some Certain Exact Solutions of Non-Newtonian Fluid for Porous Medium Channel and Hall Current Effects

ZHANG Dao-xiang, CHENG Hang

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241002, China)

The equations of non-Newtonian second-grade fluid flow are highly nonlinear partial differential equations. This paper aims to investigate analytical solutions of non-Newtonian fluid for porous medium channel and Hall current effects via inverse method for steady and unsteady cases. The exact solutions help us to understand the flow characteristics of non-Newtonian fluids.

non-Newtonian fluid; inverse method; Hall effects; porous medium

10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.06.002

2015-10-20

國家自然科學基金青年項目(11302002).

張道祥(1979-)，男，安徽天長市人，副教授，博士.

張道祥，程航.非牛頓流體在多孔介質和霍爾電流效應下的幾類精確解[J].安徽師范大學學報：自然科學版，2016，39(6)：516-520.

O175

A

1001-2443(2016)06-0516-05