插值多項式的構造與類范德蒙行列式的計算

孫玉香， 許 勇

(安徽師范大學 數(shù)學計算機科學學院，安徽 蕪湖 241003)

插值多項式的構造與類范德蒙行列式的計算

孫玉香， 許 勇

(安徽師范大學 數(shù)學計算機科學學院，安徽 蕪湖 241003)

利用Newton插值多項式及差商的計算給出了類范德蒙行列式的計算公式的顯示表達式；且在實際計算中很容易在計算機上實現(xiàn).

插值多項式;差商;類范德蒙行列式

1 預備知識

1.1 插值多項式

插值多項式的應用非常廣泛如股票分析、計算機圖形學、計算生物學、醫(yī)藥衛(wèi)生、天文等，但它構造的基本方法只有三種[1-3]：待定系數(shù)法、基函數(shù)法(Lagrange插值構造思想)、余項校正法(Newton插值的構造思想)，如n次的Newton插值多項式：

(1)

其中f[x0,x1,…,xk],k=1,2,…,n為函數(shù)f(x)的k階差商，節(jié)點xi,i=0,1,2,…,n互不相同，且pn(x)滿足插值條件

pn(xi)=f(xi),i=0,1,2,…,n.

1.2 范德蒙行列式

關于互不相同的實數(shù)xi,i=0,1,…,n的n+1階的范德蒙行列式為

問題1[1]已知

證明：由已知V(x0,x1,…,xn-1,x)是關于x的n次多項式，且

V(x0,x1,…,xn-1,xj)=0,j=0,1,…,n-1

將行列式按最后一行展開，知V(x0,x1,…,xn-1,x)的最高次項xn的系數(shù)為V(x0,x1,…,xn-1)，即得c=V(x0,x1,…,xn-1)，所以得(ⅰ)

此證明恰恰利用了插值基函數(shù)的構造思想，即利用函數(shù)的零點及多項式的性質(zhì)，從而使得范德蒙行列式的計算很簡單！

范德蒙行列式的推廣形式(范德蒙少列(行)的情形)的計算很多文獻[4-7]都有研究，得出了不少的計算公式.文獻中主要是利用對稱多項式得出此行列式計算的遞推公式，推導過程比較復雜，而且不易在計算機上實現(xiàn)計算.

在實際研究和教學中，發(fā)現(xiàn)一種類范德蒙行列式，也就是只有一列(行)與相應的范德蒙行列式不一樣，針對它的計算，本文利用插值多項式給出了顯示的計算公式，并且可以很方便地在計算機上實現(xiàn)其計算.

類范德蒙行列式定義如下：

(2)

即范德蒙行列式V(x0,…，xk)的第j+1列換成任意一組不全為零的實數(shù)yi,i=0,1,…,k，其中xi,i=0,1,…,k互不相同.

2 類范德蒙行列式的計算

問題2 計算行列式

的值，其中已知xi,i=0,1,2,…,k互不相同，n是非負整數(shù).

則由xi,i=0,1,2,…,k互不相同知

V(k,k)≠0?ak=V(k,n)/V(k,k);

而由Newton插值多項式(1)得

所以ak=f[x0,x1,…,xk]，則V(k,n)=f[x0,x1,…,xk]V(k,k).

由數(shù)學歸納法及差商的定義知…

所以

綜合①②得

在具體的計算中，可以利用差商表編程計算出差商f[x0,x1,…,xk]，然后再計算V(k,n).

例1 計算行列式

解：令f(x)=x4，構造f(x)的差商表

2-24

3-3465

4-44120 55

則f[2,3,4]=55，所以V(2,4)=55×(3-2)(4-2)(4-3)=110.

問題3 計算行列式

的值，其中已知xi,i=0,1,2,…,k互不相同，yi,i=0,1,…,k是任意一組不全為零的實數(shù).

則由xi,i=0,1,2,…,k互不相同知

V(k,k)≠0?aj=V(j)/V(k,k),j=0,1,…,k；

而由Newton插值多項式得

所以比較多項式pk(x)對應的xi,i=0,1,…,k系數(shù)，得

(3)

其中aj,j=0,1,…,k如(3)所示.

在具體的計算中，可以利用差商表編程計算出各階差商及插值多項式，然后再計算V(j).

3 數(shù)值實例

例2 計算行列式

解：令f(2)=49,f(3)=142,f(4)=313,f(5)=586,f(6)=985，構造f(x)的Newton插值多項式為

p4(x)=49+93(x-2)+39(x-2)(x-3)+4(x-2)(x-3)(x-4)

則p4(x)=1+2x+3x2+4x3，

所以a3=4,得

V(3)=a3(3-2)(4-2)(5-2)(6-2)(4-3)(5-3)(6-3)(5-4)(6-4)(6-5)?V(3)=1152.

例3 計算行列式

解：令

f(0.3)=0.29850,f(0.4)=0.39646,f(0.5)=0.49311，f(0.6)=0.58813,f(0.7)=0.68122

構造f(x)的Newton插值多項式為

p4(x)=0.29850+0.97960(x-0.3)-0.06550(x-0.3)(x-0.4) -0.05333(x-0.3)(x-0.4)(x-0.5)+0.00833(x-0.3)(x-0.4)(x-0.5)(x-0.6)

則p4(x)=0.00026+0.99753x+0.00842x2-0.06833x3+0.00833x4，所以a1=0.99753，得

V(1)=a1(0.4-0.3)(0.5-0.3)(0.6-0.3)(0.7-0.3) ·(0.5-0.4)(0.6-0.4)(0.7-0.4)(0.6-0.5)(0.7-0.5)(0.7-0.6) ?V(1)=0.28728864×10-7

以上計算均是應用matlab編程實現(xiàn).

[1] 王能超.計算方法簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2004 ：27-44.

[2] 何旭初,蘇煜城，包雪松.計算數(shù)學簡明教程[M].北京：人民教育出版社，1980:75-83.

[3] JOHN H. Mathews,Kurtis D. Fink(美國). Numerical methods using MATLAB fourth edition[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005:161-177.

[4] 湯健兒，范舒羽.廣義范德蒙行列式[J].高等數(shù)學研究，2010，(4)：48-49.

[5] 顧燕，張俊偉.范德蒙行列式的推廣及其應用[J].大學數(shù)學，2015，(6)：72-76.

[6] 凌征球，廖珊莉，等.廣義范德蒙行列式的定義及其計算[J].高師理科學刊，2015，(9)：5-7.

[7] 夏敏.范德蒙行列式推廣形式的多項式證法[J].工科數(shù)學，1995，(1)：95 -98.

The Structure of the Interpolation Polynomial and the Computation of a Similar Vandermonde Determinant

SUN Yu-xiang， XU Yong

(College of Mathematics and Computer Science， Anhui Normal University， Wuhu 241000， China)

Using Newton interpolation polynomial and computation of divided-difference, an explicit computation formula of a similar vandermonde determinant is given; It is easy to calculate with computer.

interpolation polynomial; divided-difference; similar vandermonde determinant

10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.06.003

2016-01-08

安徽省自然科學研究重點項目(KJ2016A268).

孫玉香(1964-)，女，安徽蕪湖人，副教授.

孫玉香，許勇.插值多項式的構造與類范德蒙行列式的計算[J].安徽師范大學學報：自然科學版，2016，39(6)：521-525.

O241.6

A

1001-2443(2016)06-0521-05