數(shù)學(xué)問題解決應(yīng)辯證處理好四種關(guān)系

吉智深

（南通師范高等專科學(xué)校，江蘇 南通 226500)

我國新一輪數(shù)學(xué)課程改革吸收了問題解決的教育理念，把問題解決作為數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的重要組成部分，隨著教學(xué)實踐認(rèn)識的不斷深入，問題解決又成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種主要方式。然而，在數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中，由于沒有很好處理教學(xué)過程中問題背景的真實性與現(xiàn)實性等關(guān)系，制約著問題解決教學(xué)的正常實施，使其不能充分發(fā)揮有效作用。因此，廣大教師有必要意識到處理數(shù)學(xué)問題解決時存在的問題，辯證地處理好幾種關(guān)系，探尋其有效教學(xué)之道。

一、問題背景的真實性與現(xiàn)實性

目前，國內(nèi)對“問題解決”的概念眾說紛紜，沒有形成共識。PISA（國際學(xué)生評估項目的縮寫)對問題解決內(nèi)涵的界定較為清楚、全面、深刻，值得參考。《2003年P(guān)ISA測試的框架:數(shù)學(xué)、閱讀、科學(xué)和問題解決的知識與技巧》指導(dǎo)手冊中把問題解決能力定義為:“個人運用認(rèn)知過程來面對并解決一個真實的、跨學(xué)科情境中問題的能力，在此情境中解決問題的辦法并不是一目了然的，而且可能用到的知識和技巧也不局限于數(shù)學(xué)、科學(xué)或閱讀等某個單一領(lǐng)域。”

從問題解決的定義我們可以看出：問題的背景必須是真實的。問題解決中的問題不是以教材中的材料為背景的，而是以學(xué)生在個人生活、工作以及社會中可能遇到的問題為背景的。為了體現(xiàn)問題背景的真實性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教材和教師在數(shù)學(xué)教學(xué)時都想辦法把問題置于一個實際問題情境中，用實際問題的解決引入一些重要的數(shù)學(xué)概念知識和技能性知識。如教學(xué)分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識時，把分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)與切分蛋糕、分蘋果等現(xiàn)實生活聯(lián)系起來；把兩個數(shù)的公倍數(shù)問題和鋪瓷磚問題聯(lián)系起來；把小數(shù)的加法與超市商品的購買聯(lián)系起來。一些課題學(xué)習(xí)的背景也是與現(xiàn)實生活或者日常生活相聯(lián)系的。如華東師范大學(xué)出版社出版的初中數(shù)學(xué)教材安排的課題：身份證號碼與學(xué)籍號、圖形與鑲嵌、心率與年齡、高度的測量等。高中數(shù)學(xué)教材和高考試題中一些問題的背景也都來自于學(xué)生的現(xiàn)實生活。

如果片面和過分強調(diào)問題的背景必須源于現(xiàn)實生活，那么也會給問題解決教學(xué)帶來負(fù)面的影響，如會忽視知識的內(nèi)在聯(lián)系。如果從分蘋果這一背景出發(fā)開展分?jǐn)?shù)教學(xué)，忽視從數(shù)系擴展的角度認(rèn)識分?jǐn)?shù)，那么就忽視了從數(shù)學(xué)內(nèi)部考察數(shù)系擴展的動力。尤其是到了小學(xué)中、高年級再強調(diào)“學(xué)校數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系”有時就顯得很膚淺。還有不考慮學(xué)生的實際，一些現(xiàn)實生活中的問題過早出現(xiàn)在數(shù)學(xué)教材或者數(shù)學(xué)教學(xué)上。一些教師認(rèn)為這樣做的理由是讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)在生活中有著廣泛的應(yīng)用。殊不知，這樣做的后果不但不會讓學(xué)生體會生活中處處有數(shù)學(xué)，反而會加大他們學(xué)習(xí)的難度，讓他們覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有任何興趣可言。事實上，在學(xué)校這樣一個特殊的環(huán)境中，學(xué)生們往往會有意識或無意識地忽視各種現(xiàn)實的考慮，問題背景的現(xiàn)實性未必能達(dá)到學(xué)校數(shù)學(xué)更接近實際生活的目標(biāo)。[1]

其實，關(guān)于數(shù)學(xué)與真實性之間的關(guān)系，著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾早就有過精辟的論斷。他在《數(shù)學(xué)教育再探》一書中指出：“真實性是歷史地、文化地、依賴環(huán)境地、個別地和主觀地確定的。”他還舉例說明：“不管經(jīng)歷多長時間的抵制，……，負(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)以及它們的運算已經(jīng)成為數(shù)學(xué)家的事實，……，如今它們屬于已經(jīng)學(xué)過一些數(shù)學(xué)的大多數(shù)人的真實性。”[2]而且，以虛數(shù)為背景建立了復(fù)變數(shù)（就是x+yi形式的變數(shù)）函數(shù)，這種所謂“虛”變數(shù)的“虛”函數(shù)的理論也不是虛假的，它解決了許多技術(shù)問題，如茄可夫斯基關(guān)于機翼上升的基本定理正好就是以這個理論作為工具來證明的，這個理論在解決堤壩滲水問題時也顯示了它的用途。[3]

關(guān)于問題背景的真實性與現(xiàn)實性之間的關(guān)系，弗賴登塔爾在《數(shù)學(xué)教育再探》一書中指出問題的背景應(yīng)是“原始的現(xiàn)實”，“數(shù)學(xué)化未必要從一種接近數(shù)學(xué)的現(xiàn)實開始，而應(yīng)從一種我所說的原始的現(xiàn)實開始”。為了幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化，弗賴登塔爾把豐富的問題背景分為“場所”“故事”“設(shè)計”“主題”等四種現(xiàn)實領(lǐng)域，這些理論值得我們好好研究。

關(guān)于問題背景真實性與現(xiàn)實性討論的目的就是：讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角觀察世界，用數(shù)學(xué)思維解決現(xiàn)實問題。我們要在觀念的轉(zhuǎn)變上多花時間，讓學(xué)生清楚地認(rèn)知到數(shù)學(xué)和他們的實際生活密切相關(guān)，并且是一種十分有效的工具。

二、解題所需的認(rèn)知與元認(rèn)知

從前面問題解決的內(nèi)涵，我們知道問題解決就是綜合地、創(chuàng)造性地應(yīng)用已有知識去解決那種非單純練習(xí)題式的問題。當(dāng)今社會是一個多變的信息社會，人們只有具備較強的問題解決能力才能更好適應(yīng)時代的要求。如何提高人們解決問題的能力就變成了一個重要的任務(wù)，而解決問題的實踐是提高人們解決問題能力的重要方式。正因如此，問題解決也就成為認(rèn)知心理學(xué)研究的中心課題。

現(xiàn)代心理學(xué)關(guān)于“問題解決”研究的最重要的結(jié)果是：在解決問題過程中，同時存在兩種不同的思維過程，即具體的認(rèn)知過程和更高層次的元認(rèn)知過程。與知識（包括“事實性知識”和“程序性知識”）和認(rèn)知策略（學(xué)習(xí)者加工信息的方法和技術(shù)）一樣，元認(rèn)知水平的高低也是決定人們解決問題能力的一個重要因素。何為“元認(rèn)知”？在眾多元認(rèn)知概念的界定中，以弗萊維爾的定義最具代表性，他認(rèn)為元認(rèn)知是個人對自己認(rèn)知系統(tǒng)的內(nèi)省知識，即對認(rèn)知的認(rèn)知。為什么元認(rèn)知在問題解決時有非常重要的作用？講一個故事：兩個男孩在樹林里，第一個男孩是教師和父母眼里的聰明孩子，成績優(yōu)秀，第二個男孩幾乎沒有人認(rèn)為他聰明，成績一般，但人們會說他精明或者機靈。在林中漫步的時候，他們遇到了一個大麻煩：一只饑餓的大灰熊直接朝向他們沖過來。第一個男孩計算出灰熊將在17.3秒內(nèi)趕上他們，嚇得兩腿發(fā)抖。這時他回頭看到第二個孩子正在平靜地脫下登山鞋，換上運動鞋。第一個孩子叫道：“你瘋了，我們絕不會跑過熊的！”第二個孩子回答：“沒錯，但我只要跑過你就行了！”[4]雖然這個故事是虛擬的，但可以看出元認(rèn)知（自我意識、自我評價和自我調(diào)整）在解決問題時所起到的重要作用。

根據(jù)前面元認(rèn)知的定義，我們相應(yīng)得到數(shù)學(xué)元認(rèn)知的定義：解題者對于自身所從事的解題活動的自我意識、自我分析和自我調(diào)整。一個成功的解題者應(yīng)該具備以下素質(zhì)：

1.在具體采用某種解題方法和解題策略前會對各種可能進(jìn)行仔細(xì)地考慮，不會不加思索貿(mào)然采用某一種方法或者策略，而是認(rèn)真分析。就像波利亞在《怎樣解題》中所說的那樣：“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？”“你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？”“看著未知數(shù)！試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。”“這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能應(yīng)用它嗎?你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？”……

2.在整個解題過程中能做到“心中有數(shù)”，清楚自己在做什么和為什么要這樣做，要能對眼前的處境做出清醒的評估，并且能做出必要的調(diào)整。雖然教材中介紹了許多解題策略，但在解題過程中還需要分析推理來調(diào)整解題的思路，比如分析法，因為分析法使得解題始終處于一定的目的支配下，按照一定的方向，沿著合理的、簡捷的路徑進(jìn)行，確保了解題活動的有效開展。

3.成功地解決問題以后，他們能自覺地對所進(jìn)行的工作進(jìn)行回顧，看看解題結(jié)果是否正確，特別是考慮是否有更有效的解題方法。不少學(xué)生在問題解答完后，就棄之一旁或者急忙去做別的題目，波利亞對此非常惋惜，他說這就“錯過了解題的一個重要而又教益的方面”。有這樣一個典型的基本比例問題：4千克蘋果價值32元。7千克蘋果價值多少元？有的學(xué)生直接寫出比例。當(dāng)學(xué)生遇到另一個問題：7個工人在28天內(nèi)完成某件工作。5個工人要幾天才能完成此工作？學(xué)生斷定這也是比例問題，并寫出，求得x=20。很顯然這個答案是錯誤的，只要解題者回顧一下，7個工人在28天內(nèi)完成這件工作，工人少了，卻在更少的時間內(nèi)完成該工作，這樣的答案肯定不合理。通過回顧與反思，學(xué)生完成認(rèn)識結(jié)構(gòu)的重建與完善。

我們強調(diào)元認(rèn)知在解題活動中的重要性，并不是忽視認(rèn)知在解題中的主要作用。因為，認(rèn)知活動是元認(rèn)知發(fā)生的基礎(chǔ)，離開具體的認(rèn)知活動，元認(rèn)知就成了無源之水、無本之木，學(xué)生不容易理解，也不容易內(nèi)化。能力培養(yǎng)寓于知識傳授之中，認(rèn)知活動是解題學(xué)習(xí)的主要方面，只有適時、適當(dāng)?shù)脑J(rèn)知指導(dǎo)才能真正促進(jìn)解題活動的有效展開。

三、建構(gòu)活動的個體性與社會性

建構(gòu)主義教學(xué)觀認(rèn)為：任何認(rèn)知活動都是主體主動的構(gòu)建，因此，即使就同一數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)而言，不同的個體也完全有可能因為知識背景和思維方式的差異而具有不同的思維過程，也就是表現(xiàn)出個體的差異性和特殊性。

數(shù)學(xué)問題解決也是如此，當(dāng)學(xué)生們面對一個前所未遇的問題時，每一個人可能各自有他們的解題方法和思考策略，這體現(xiàn)了建構(gòu)活動的個體性。面對問題：每2個人握手一次，不能重復(fù)，6個人握手幾次？8個人呢？教材直接暗示“從簡單開始”這種策略，先考慮2個人，握手幾次？再增加1個人，握手增加幾次?......如果沒有這種暗示，學(xué)生們會怎樣做呢？他們每一個人都可能有一種或者多種方法。如：要解決6個人一共握了幾次手？我們不妨就讓每個小組6個人做一次握手游戲，在歡樂的氣氛中很快就得到結(jié)果：15。或者直接找出6個人兩兩握一次手的次數(shù)與6的關(guān)系，6個人，每人與其余5人握手5次，6個人一共握了5×6，因為每兩個人的握手都算了兩次，所以要把5×6除以2，即得結(jié)果：。最麻煩的一種方法是把6個人兩兩握手的情況一一寫下來，為了方便，學(xué)生會想到用字母或其他符號表示6個人，不重不漏寫出所有握手的情況，最后數(shù)一下就行了。對第2個問題，如果教材或者教師直接暗示“從簡單開始”這種策略是不妥的，有些學(xué)生可能按照解決第1個問題的方法來完成，也有些學(xué)生找到第一問答案的規(guī)律，直接得出結(jié)果。從這次解決問題的過程中，我們看到個體在解決問題時的思維過程，更應(yīng)看到個體的創(chuàng)造性。這些方法和策略之間沒有“好”和“壞”、“優(yōu)”和“劣”之分。

我們在充分肯定認(rèn)知活動個體性質(zhì)的同時，又要清楚地看到認(rèn)知并非一種純粹的個人行為，是必定在一定的社會環(huán)境中進(jìn)行的。學(xué)生的學(xué)習(xí)活動是在學(xué)校這樣一個特定的環(huán)境中，并且是在教師的直接指導(dǎo)下進(jìn)行的，而且這又是一種文化繼承的行為，這都決定了認(rèn)知活動具有“社會性質(zhì)”。也就是說，學(xué)生的學(xué)習(xí)是在學(xué)校這一環(huán)境中開展的，當(dāng)然離不開學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師的相互作用與相互影響，更離不開教師的導(dǎo)向作用。另外，歷史上人們得到的具有個性化的數(shù)學(xué)成果并不是都被普遍接受的，只有那些為人們所一致接受的數(shù)學(xué)概念、方法、問題等才能真正成為數(shù)學(xué)的成分。在鄭毓信等編寫的著作《認(rèn)知科學(xué)、建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育》一書中提出了評價這種社會行為的幾個衡量標(biāo)準(zhǔn)：邏輯標(biāo)準(zhǔn)、美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)、經(jīng)驗標(biāo)準(zhǔn)等。比如分?jǐn)?shù)除法教學(xué)時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“通分法”，為什么教材和教師只要求學(xué)生掌握“顛倒法”，事實上，歷史上也出現(xiàn)了有“通分法”“顛倒法”多種方法等，為什么其他方法最終都被人們所拋棄，而唯獨留下“顛倒法”，因為數(shù)學(xué)與一般的自然學(xué)科相比，有其特殊性，那就是數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，而且這種抽象不僅僅著眼于內(nèi)容的抽象，更注意到方法的抽象性。正如皮亞杰曾指出：“在更高的層次上對已有的東西重新進(jìn)行構(gòu)建，并使前者成為一個更大結(jié)構(gòu)的一個部分。這樣，我們最終就獲得了一個無限豐富，而又層次分明、井然有序的數(shù)學(xué)世界。”[5]

我們在問題解決教學(xué)中既不能抹殺每個個體之間存在的特殊性與差異性，更不能因此否認(rèn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體地位，因為，學(xué)習(xí)最終必須通過每個個體相對獨立的建構(gòu)活動才能完成。此外，我們還應(yīng)從多角度理解學(xué)習(xí)活動的社會性質(zhì)，從數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展角度審視和評價學(xué)生的學(xué)習(xí)，進(jìn)而讓學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀。

四、問題解決的重要性與局限性

問題解決對于數(shù)學(xué)教育的重要性不言而喻，它是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要方式。通過問題解決讓學(xué)生們意識到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的聯(lián)系。解決問題的實踐是提高人們解決問題能力、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的重要方式。正如波利亞所指出的，“問題解決”事實上可被看成人類全面活動的一種基本形式，是人類智力的集中體現(xiàn)。解題的策略和方法更有著廣泛的應(yīng)用。波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書寫道：“解題是智力的特殊成就，而智力乃是人類的天賦，正是繞過障礙，在眼前無捷徑的情況下迂回的能力使聰明的動物高出愚笨的動物，并使聰明的人高出愚笨的人。”[6]

問題解決了（包括肯定的解答和否定的解答），這能否被看成問題解決的最終目標(biāo)呢？如果僅僅著眼于數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，也許可以做出肯定的回答，如果我們著眼于更大的范圍，特別考慮數(shù)學(xué)的理論研究，我們應(yīng)該做出否定的回答。因為數(shù)學(xué)家們總是不滿足于某些具體結(jié)果和結(jié)論的獲得，總希望能有更深入的理解，這就是數(shù)學(xué)思維的特點，而這也表明問題解決存在著一定的局限性。事實上，作為首先提出“問題解決”口號的美國學(xué)者也開始反思“問題解決”教學(xué)與評估的得失，提出了“數(shù)學(xué)地思維”等更全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)實質(zhì)的新觀點。

數(shù)學(xué)家之所以不滿足問題解決的結(jié)果，因為他們只是希望通過新的研究去發(fā)展和深化，以達(dá)到更大的普遍性、更高層次的和諧性。比如有這樣一個問題：如果一個水龍頭用a小時把水池灌滿，另一個水龍頭用b小時灌滿另一個相同的水池。如果同時打開這兩個水龍頭，問多長時間把這兩個水池灌滿？解答的過程：1小時內(nèi)，第一個水龍頭灌池子的，第二個灌池子的，它們在1小時內(nèi)一共灌了，一個水池在小時內(nèi)灌滿，灌滿這樣的兩個水池所需要的時間為式子。數(shù)學(xué)家不滿足于問題的具體解決，他們構(gòu)造了這一數(shù)學(xué)模型，叫作a和b的調(diào)和平均數(shù)，并且發(fā)現(xiàn)調(diào)和平均數(shù)不僅僅適用于灌水問題，它還適用于解決等距離平均速度問題、等溶質(zhì)增減溶劑問題、等發(fā)車前后過車問題等。數(shù)學(xué)家還構(gòu)造了兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)、兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)，并進(jìn)一步研究了這幾種模型之間的關(guān)系。

德福林在《數(shù)學(xué)的語言》一書指出，“在最近大約三十年間，一個為大部分?jǐn)?shù)學(xué)家所同意的有關(guān)數(shù)學(xué)的定義，才終于出現(xiàn)了：數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué)”[7]。當(dāng)然有些模型不是從現(xiàn)實世界抽象出來的，而是在數(shù)學(xué)內(nèi)部以已經(jīng)形成的數(shù)學(xué)概念和理論為基礎(chǔ)定義出來的。比如“非歐幾何”與“四元數(shù)”。

問題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方式，但不是唯一方式。如果非常有必要用問題解決這種方式來開展數(shù)學(xué)活動，當(dāng)然我們贊成，如果沒有必要，我們是不是應(yīng)該考慮從讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)的思考這一角度開展數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)到知識的同時，看到數(shù)學(xué)之間的緊密聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)思想的偉大力量，理解數(shù)學(xué)研究的本質(zhì)。

隨著數(shù)學(xué)課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)問題解決應(yīng)辯證處理好問題背景的真實性與現(xiàn)實性之間的關(guān)系，方能使學(xué)生看到生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系、體會到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用；辯證處理好解題所需的認(rèn)知與元認(rèn)知，方能使學(xué)生學(xué)會解題，學(xué)會回顧與反思自己的解題活動；辯證處理好建構(gòu)活動的個體性與社會性，方能發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和創(chuàng)造性，也更能了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點；辯證處理好問題解決的優(yōu)越性與局限性，方能使學(xué)生提高他們問題解決的能力，學(xué)會數(shù)學(xué)地思維。只有辯證處理好這四種關(guān)系，才能真正發(fā)揮問題解決在數(shù)學(xué)教育中的作用，讓學(xué)生更好適應(yīng)今后的學(xué)習(xí)與工作。▲

[1]鄭毓信，梁貫成.認(rèn)知科學(xué)建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育[M].上海:上海教育出版社,2002.

[2]弗賴登塔爾.數(shù)學(xué)教育再探[M].劉意竹,譯.上海:上海教育出版社，1999.

[3]亞歷山大洛夫A D，等.數(shù)學(xué)——它的內(nèi)容，方法和意義[M].孫小禮，趙孟養(yǎng)，裘光明，等，譯.北京：科學(xué)出版社，2012.

[4]羅伯特·斯騰伯格.思維教學(xué)——培養(yǎng)聰明的學(xué)習(xí)者[M].趙海燕，譯.北京：中國輕工業(yè)出版社，2001.

[5]皮亞杰.發(fā)生認(rèn)識論原理[M].王憲鈿，譯.北京：商務(wù)印書館，1981.

[6]喬治·波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)[M].劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.北京：科學(xué)出版社，2006.

[7]齊斯·德福林.數(shù)學(xué)的語言——化無形為可見[M].洪萬生，洪贊天，蘇意雯，等，譯.桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2013.