落實“三個理解”，提升“教學自然”

石樹偉

（揚州市廣陵區教育局教研室，江蘇 揚州 225006）

一、問題的提出

當前，數學教學生硬不自然的現象廣泛存在，如：課堂教學目標大而無當，三維目標空泛不具體，目標制訂的貼標簽導致教學實施的貼標簽；每章起始課教學沒有從宏觀到微觀的自然過渡，“直入主題”零碎教、零碎學，無系統思維和整體意識；概念教學不經歷概念形成過程，“一個定義，三項注意”式的教學盛行；定理法則教學過度牽引假發現，學生做得到但想不到；解題教學缺少獨立思考和解法自然生成過程分析，搞“題型+技巧”式的機械模仿訓練等。

數學教學生硬不自然，會導致數學教學缺少一以貫之的邏輯思考和核心數學思想的感悟，使學生缺乏問題意識，不僅不利于學生數學學習興趣和內部學習動機的激發，也不利于學生數學素養和創新精神的培養。因此，數學教學須提升“教學自然”。

二、“三個理解”是“教學自然”的必然要求

為促進數學教師的專業發展，章建躍教授提出了“三個理解”，即理解數學，理解學生，理解教學。

理解數學，理解學生，理解教學是數學教師專業發展的三大基石。[1]理解數學，即對數學知識知本質、會例釋、善聯系，把握數學知識的邏輯體系和結構，深刻認識蘊含其中的數學思想方法和價值觀資源；理解學生，即認識學生數學學習的思維特征和認知規律，了解學生的認知和能力基礎及學習數學難點知識的思維障礙等；理解教學，即掌握數學知識的教學表達、數學教學的基本原則和規律等。其中，理解數學是“三個理解”的基礎，因為“吃什么永遠比怎么吃更重要，教什么永遠比怎么教更重要”，“明白之人使人明白，想得清楚才能講得明白”，而且“有關學科知識的教學法存在于學科知識和學科之中”。

數學教學生硬不自然的原因歸根結底有三方面：一是教學不符合知識發生發展的邏輯線索，理解數學不夠；二是不了解和遵循學生的需求及認知規律，理解學生不夠；三是違背數學教學的基本原則和規律，理解教學不夠。針對上述存在問題及原因，數學教學必須重視并落實“三個理解”，即理解數學，理解學生，理解教學。

案例1乘法公式的探究設計

方案一：引導學生用兩種方法計算圖形面積引入乘法公式，再用多項式乘法予以證明；

方案二：引導學生從多項式乘法(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd探究特例引入乘法公式，再嘗試自主構造圖形形成多元理解。

【案例評析】方案一沿襲常見的用兩種方法計算圖形面積引入乘法公式，學生會感到圖形來得突兀，會生發“怎么知道計算這個圖形的面積就能得到乘法公式”的疑問，學生做得到但想不到，公式教學就顯得不自然。其實，乘法公式的知識生長點是多項式乘法，多項式乘法(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，當a=c，b=－d時即平方差公式，當a=c，b=d時即完全平方公式。方案二引導學生在多項式乘法基礎上探究特例，體現了從一般到特殊的思想，切合知識發生發展的內在邏輯線索，符合學生的認知規律，同時也教給了學生“考察特例”這一數學研究的“基本套路”。探索公式時學生獨立自主尋找特例，探究空間大，是真探究，真實的才是自然的。[2]案例充分說明，“三個理解”是“教學自然”的必然要求。

三、“三個理解”在“教學自然”中的落實

針對數學教學中重要且教學生硬現象多發環節，下面擬從目標制訂、起始教學、概念教學、性質教學、解題教學五方面具體分析如何落實“三個理解”，提升“教學自然”。

1.理解內容基礎上的教學目標制訂

進入新課程改革以來，課堂教學目標較多地沿用本是課程目標的三維目標形式分別闡述，既關注顯性目標，也關注隱性目標。但缺點就是不自然：人為割裂三維目標之間的聯系，沒有根據具體內容特點制訂過程與方法、情感態度與價值觀目標，對教學的定向作用不充分；貼標簽，有些關于過程與方法、情感態度與價值觀的目標放到任何課題都適用。

課堂教學目標的制訂應以正確理解內容為基礎[3]，聚焦數學知識和技能、數學思維能力、理性精神，準確把握教學內容中過程與方法、情感態度與價值觀的適切滲透點和結合點，以知識、技能、方法為載體，在過程中滲透情感態度價值觀教育。有了目標的可行才有教學的自然。

案例2“代數式的值”教學目標制訂

內容理解：“代數式的值”其實是一個“錯誤”概念或中間“過渡”概念，如不能籠統地說“代數式x+1的值是1”，正確的說法是“當x=0時，代數式x+1的值是1”，代數式的值隨字母取值的確定而唯一確定。因此，代數式的本質是函數，代數式的值即函數值。

依據以上內容理解，可以制訂如下“代數式的值”的教學目標：

（1）了解代數式的值的意義，會計算代數式的值；

（2）通過代入法求值培養學生良好的學習習慣和品質，提高運算能力；

（3）探索字母取值與代數式的值的變化對應關系，體會感悟函數思想。

【案例評析】上述教學目標沒有將三維目標人為割裂，而是結合具體的知識技能目標闡述過程與方法、情感態度與價值觀目標，三維目標有機地糅合在了一起，自然、具體、可操作。

2.滲透系統思維的起始教學

我國數學教材的編寫思路經歷了由“部分—部分—整體”到“整體—部分—整體”的轉變，數學教學的思路也應做相應的調整，重視新增的章節引言內容，遵循學生認識事物從宏觀到微觀、最后再回到宏觀的一般規律，上好每章起始課，讓數學教學更加自然。

數學研究的基本套路是“定義概念——推導性質——建立聯系——實踐應用”，即先從數與形的角度抽象事物的本質屬性、定義概念，從而明確數學對象；探索對象的要素與要素、要素與環境之間的關系和相互作用而獲得性質；建立相關知識的聯系而形成知識體系；應用所得知識解決數學內外的問題，并深化認識、拓展新知。加強基本套路教學的重要載體就是每章起始課教學，主要“技術”是加強“先行組織者”的使用。每章起始課教學要滲透系統思維，運用推理思想，通過類比讓學生勾畫本章知識的研究路線圖，整體把握本章的知識結構，從而體現結構性原則的要求，避免學習的盲目性，增強學習的預見性與主動性，為學生解決如何學的問題。

案例3“分式”章起始課中先行組織者的兩次使用[4]

（1）課始問題與引入環節（分式概念學習前）：

問題：從小學到現在，數系經歷了一個怎樣的擴張過程？用字母表示數就有了代數式，我們已經學習了哪些種類的代數式？類似數系請展望一下代數式未來的擴張方向。

師生共同回顧、展望數與式的擴張歷程，逐步形成如圖1所示的板書。

（2）課尾小結與思考環節（分式概念學習后）：

問題：類比分數，設想分式將要研究哪些內容；再類比整式，設想分式將要研究哪些內容。嘗試展望一下分式研究的路線圖。

圖1 數與式知識結構展望

教師引導學生分別類比分數和整式，展望分式研究的內容，逐步投影呈現圖2、圖3內容，共同“繪制”分式研究的路線圖：分式概念→分式基本性質→分式運算→分式方程。

【案例評析】上述“分式”先行組織者的使用有利于知識結構的建構和基本套路的滲透，既有向外——把分式置于“數與式”整體中的宏觀知識結構，利于學生在一定的知識體系中更好地理解各部分知識；也有向內——展望分式研究內容的微觀知識結構，利于學生對本章的研究脈絡和知識框架有一個整體的認識，使他們在后續學習中能“見木見林”。

3.用歸納式進行概念教學

李邦河院士指出：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”“一個定義，三項注意，幾道例題，大量練習”式的、以解題教學代替概念教學的做法是舍本逐末，因為沒有讓學生經歷概念的形成過程，所以概念的獲得不自然，學生對概念的本質屬性及概念形成過程中蘊含的數學思想方法認識不到位，導致“數學育人”的目標落空。

概念教學應采取歸納式，一般包括以下五個基本環節：（1）概念探究，即以豐富、典型實例為背景，探究分析概念的本質屬性；（2）概念歸納，即下定義；（3）概念深化，即對概念進行多角度的辨析，揭示概念的內涵和外延；（4）概念應用，即應用概念解決一些簡單的問題以鞏固概念；（5）概念聯結，即構建概念的表征體系，并將獲得的概念與相關的概念廣泛聯系。其核心是概括：將凝結在數學概念中的數學家的思維打開，以典型豐富的實例為載體，引導學生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質屬性，歸納得出數學概念。［5］概括是學生掌握概念的前提，是培養創造力的基礎。

案例4二次函數的概念教學［6］

引例：六道由生活實例構造函數關系式的填空題，此處略。（學生先獨立思考后匯報交流）

圖2 分式分數研究內容比較

圖3 分式整式研究內容比較

問題1：由引例我們得到六個函數關系式：①s=；⑤請你將上述六個函數關系式分分類，你分類的標準是什么？

問題2：一次函數（①③）一般形式是什么？上述一次函數都符合一般形式嗎？反比例函數（⑤）一般形式是什么？

問題3：上述新函數的關系式（②④⑥）有什么共同特征？你能給他們起一個名稱嗎？能不能用一個一般形式表示這種函數？（通過問題1—問題3的師生互動交流，形成二次函數的相關概念并板書）

問題4：判斷下列函數是否是二次函數，若是請分別說出二次項系數、一次項系數和常數項（具體函數表達式略）。

問題5：若函數y=(m+1)xm2-m+3是二次函數,求m的值。（問題4—問題5均先讓學生獨立嘗試練習后匯報交流，最后反思小結二次函數概念的注意點）

【案例評析】由實例構造函數關系式并分類的過程就是分析、尋找、歸納共同本質屬性的過程，類比一次函數、反比例函數嘗試定義二次函數，讓學生經歷概念的抽象概括過程。后續的概念辨析和應用有利于強化學生對概念的理解。

4.“做到更要想到”的性質探究教學

性質教學不僅要“知其然”，還要“知其所以然”，這已成為大家的共識。為此，教師常常強令學生按預設的程序操作探究，猶如“把學生塞進公共汽車并美其名曰學生自己來到了目的地”。其實，這樣的性質教學是不自然的，學生常會生發“怎么想到研究這一方面的性質的”“怎么想到這樣做就能發現這個性質的”等疑問。傅種孫先生“幾何之務不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然”的思想說明數學理解有三個遞進的層次：知其然→知其所以然→知何由以知其所以然。性質教學要“惑學生之所惑”，滿足學生需求，努力達到最高層次，力求讓學生“不僅做得到而且想得到”。

性質教學要“知何由以知其所以然”，就要了解什么叫性質。性質指事物內部穩定的聯系，幾何性質，具體說就是幾何對象組成要素、相關要素之間確定的關系。［7］如三角形的內角和為180°、兩邊之和大于第三邊等性質是三角形的組成要素——邊、角之間確定的關系；三角形的外角等于不相鄰兩內角的和、三條高交于一點、等腰三角形三線合一等性質是三角形的相關要素——外角、高、中線、角平分線之間確定的關系。

案例5平行四邊形性質的探究

先行組織者：師生共同回憶三角形的研究歷程：三角形的概念→三角形的性質和判定→三角形的特例（“角”為標準的直角三角形，“邊”為標準的等腰三角形）。一般三角形的性質有哪些，是從哪些方面來研究的？（如三角形的內角和為180°等，這些性質都是從三角形的組成要素、相關要素的數量和位置關系上來研究的）

問題1：我們已經學習了平行四邊形的概念，你認為下面將研究平行四邊形的哪些問題？（平行四邊形的性質與判定、特殊平行四邊形及其性質與判定）特殊平行四邊形可能有哪些？

問題2：我們先來研究平行四邊形的性質，你認為該如何研究，為什么？（平行四邊形的組成要素和相關要素有邊、角、對角線，因此可以從邊、角、對角線角度研究它的性質）

問題3：前面研究過一般四邊形，你有何研究經驗？（將四邊形轉化為三角形）根據這些經驗，請嘗試研究平行四邊形的性質。

【案例評析】平行四邊形性質的探究，過去常常直接指令學生按步驟操作，依次歸納得出關于邊、角、對角線的性質。而本案例充分發揮先行組織者的引導作用，讓學生自己想到從邊、角、對角線的角度探究平行四邊形的性質，探究空間大，是真正的自主探究。同時，問題1有利于初步構建平行四邊形的知識結構，培養學生的系統思維。

5.追求解法自然生成的解題教學

當前解題教學過于注重題型歸類和解題技巧，通性通法重視不夠，思想方法提煉不到位，特別是解題思路的自然生成分析不夠，讓學生產生解法的獲得是“天才的靈機一動”“可遇而不可求的錯覺”，導致解題教學不自然，學生會做（模仿）不會想。

解題教學中教師應了解學生的思維路徑和思維盲點，挖掘解題蘊含的思想方法和思維策略，重視解題思路的自然生成分析。應著重抓住以下三個關鍵：一是要給學生充分的獨立思考嘗試的機會，學生思考了才會有自己的想法，后續的匯報交流才是有源之水、有本之木。二是要給學生匯報交流的機會，既要有交流順利的“坦途”，適時追問“你是怎么想到的”，也要有交流經歷的“曲折”，及時追問“碰壁后你是如何轉向的”。三是要給學生回顧反思的機會，回顧解決問題的思維過程，反思解決問題的思路是怎么產生的，關鍵是什么，遇到了哪些困難，是如何克服這些困難的，積累數學思維活動經驗；反思解題過程中蘊含的數學思想方法，總結解題規律和策略，將解題由“個”的階段“類化”上升至“類”的階段，感悟數學基本思想。

案例6解方程的解題教學

步驟1：獨立嘗試。學生嘗試解方程。

步驟2：匯報交流。學生匯報展示解題過程，教師適時追問：每一步干什么？依據是什么？（歸納解方程的一般步驟，理解每一步的運算依據）你是怎么想到這樣做的，或為什么要這樣做？（解方程的最終目標是得到“x=a”的形式，緊盯目標實施變形）

步驟3：回顧反思。解方程的過程體現了什么思維策略和數學思想？（目標意識和轉化思想：把原方程轉化為“x=a”的形式）

【案例評析】一般解方程教學的重點是讓學生熟練掌握方程的解法步驟，而這里解方程教學的重點是讓學生理解方程解法的自然由來，體會目標意識和轉化思想的應用。轉化思想是解方程的根本指導思想，應用范圍廣，可遷移應用至解其他類型的方程（組）及不等式?！?/p>

[1][5]章建躍.中學數學課改的十個論題[J]中學數學教學參考（中旬），2010（1/2）：3-6.

[2]石樹偉.數學課堂教學立意的“層次”“關系”及“提升”——由“完全平方公式”同課異構引發的思考[J].數學教育學報，2013（1）：74-76.

[3]章建躍.探究教學規律 造就教學名師[J].中國數學教育，2011（1/2）：5-10.

[4]石樹偉.揭示數學本質：變“單薄”為“厚重”[J].數學通報，2015（7）：30-32，35.

[6]石樹偉.從慢生活到數學慢教育的思考[J].中學數學教學參考（中旬），2014（6）：62-65.

[7]章建躍.數學學習與智慧發展[J].中學數學教學參考（中旬），2015（7）：4-12.