基于矩陣積分法優(yōu)化光刻部分相干成像模型

彭清維，陳德良

(1．貴州師范學院，貴州貴陽 550018;2．貴州大學，貴州貴陽 550025)

基于矩陣積分法優(yōu)化光刻部分相干成像模型

彭清維1，2，陳德良1*

(1．貴州師范學院，貴州貴陽 550018;2．貴州大學，貴州貴陽 550025)

基于矩陣積分法實現(xiàn)了Matlab對光刻部分相干二維成像的模擬，驗證了Matlab編寫的部分相干程序的可行性，加入了離焦對光刻分辨率的影響。通過建立部分相干光光刻仿真模型，并在二極照明方式下，對離焦對光刻成像的影響進行了模擬計算。結果表明，矩陣積分法降低了程序運算所用時間，微小的離焦對光刻部分相干成像影響巨大，必須考慮離焦對光刻分辨率造成的影響。

光刻工藝;矩陣積分法;離焦

引言

光刻模擬開始于1970年代早期，當時，Rick Dill在 IBM的 Yorktown Heights Research Center用數(shù)學公式描述了光刻工藝的一些基本步驟［1］。Dill首先建立一個最簡單的模型。在一維情況下給定一個硅片上未曝光的光刻膠模型，然后研究曝光時隨著在光刻膠中曝光深度變化光強的分布。Dill首先把光刻過程分解成為一系列待計算的子過程，首先計算光刻膠里的光強(駐波的計算)，然后計算光刻膠曝光后產(chǎn)生的化學生成物的濃度，然后考慮該化合物對顯影率的影響，最后是顯影率對時間的積分來預測顯影后光刻膠的厚度。注意到重氮鹽正性光刻膠在曝光后被漂白，這是由于這種光刻膠吸收光能以后發(fā)生了化學變化。Dill利用這個對光吸收上的化學變化來描述曝光的動力學過程，把光刻膠涂在硅片上面，Dill測量了和曝光劑量函數(shù)相關的光刻膠透射系數(shù)［3-4］。測量結果和他的一階動力學曝光模型得到的結果非常吻合。Dill模型有三個參數(shù)A、B和C，分別表示可被漂白常數(shù)、不可被漂白常數(shù)和吸收常數(shù)［5-6］。

在Dill之后，Andy Neureuther團隊在1979年開發(fā)出了光刻模擬程序SAMPLE［2］。SAMPLE給光刻模型增加了很多前沿性的技術，如在成像計算方面改進為部分相干光成像，在顯影率計算里增加了表面抑制函數(shù)，在光刻膠顯影的時候用String算法替代了元胞算法。但更重要的是，SAMPLE能夠被光刻界廣泛使用，光刻研究者第一次能夠利用模型來幫助他們理解并且提高他們的光刻工藝了。幾十年來，UC Berkeley的SAMPLE研究小組為光刻研究做出了重要的努力，他們用光刻模擬作為研究工具為光刻的進步做出了大量的貢獻:第一次建議曝光后烘烤光刻膠，很早就提出了移相掩膜技術等一些分辨率增強技術，設計了象差靈敏度監(jiān)測器等。毫無疑問，最重要的貢獻還是SAMPLE本身。

除了Andy Neureuther，很多人在Dill之后做了很多理論的改進工作，這使光刻仿真更加精確。最為顯著的是Chris A．Mack在Dill和Andy Neureuther等人的基礎上開發(fā)出了現(xiàn)今最流行的也是最專業(yè)化的商業(yè)光刻軟件PROLITH(正性光刻膠光刻模型:the Positive Resist Optical Lithography model)［7-10］。PROLITH的誕生可以說在半導體光刻工藝的仿真改進方面做出了非常大的貢獻。

但是SAMPLE和PROLITH軟件的部分相干成像模塊可設置參數(shù)比較少，像雜散光參數(shù)設置比較簡單不能更精確模擬雜散光對光刻成像的影響。因此，本項目考慮基于matlab軟件編寫光刻部分相干成像程序，開放的程序更方便加入部分相干成像各影響因素。但是部分相干成像模型最后計算硅片面上的強度分布時是一個四重積分，在程序中是一個四重循環(huán)，Matlab計算循環(huán)很慢，矩陣計算很快。因此，本文將利用積分法將等效光源的兩層循環(huán)變成矩陣運算，然后將非相干疊加的兩層循環(huán)采用matlab并行算法，這樣，當模擬采樣點很大時將大大減少計算時間，實現(xiàn)用Matlab仿真光刻的部分相干成像。

1 部分相干光光刻成像模型

1．1 部分相干光光刻成像理論模型的構建

部分相干光光刻仿真模型主要取決于兩種科學領域，其一是用來建立空間成像的光學領域模型，其二是用來建立在光刻膠中成潛在影像的化學領域模型。以下是建立光刻二極照明模式下的成像模型。

圖1 光刻空間成像的光學模型

圖1是光刻空間成像的光學模型示意圖，現(xiàn)在大多數(shù)都用的此光刻仿真軟件模型［7-9］，實際的光刻光源和聚光系統(tǒng)被一個具有輻照分布函數(shù)為r(x0，y0)的等效光源［8］取代，掩模被認為是一個數(shù)字透過率函數(shù)，可以寫為:

這里，(x1，y1)表示掩模面坐標。根據(jù)Hopkins等人［11-13］論文中對部分相干成像的討論，如果點光源被假設為在系統(tǒng)光軸上，例如: (x0，y0)=(0，0)。當光透過掩模發(fā)生衍射后，掩模的譜函數(shù)可以用夫瑯禾費衍射描述，

這里，fx和fy表示空間頻率，定義為:

ε(fx，fy)表示掩模的傅里葉變換形式，(x'，y')表示光闌處空間坐標，λ為光源的波長。對于一般形式的源點，其位置不在光軸上，即(x0，y0)≠(0，0)，可以做這樣的近似，光學系統(tǒng)具有移位不變性，這樣掩模被一般形式源點照射后，其波譜可以寫為:

由一般源點的照射，在硅片面的空間成像形式可描述為:

這里，P(fx，fy)表示光學系統(tǒng)的光闌函數(shù)，NA表示數(shù)值孔徑，F(xiàn)T-1表示逆傅里葉變換。根據(jù)定義，既然等效光源等效于自發(fā)光光源，那么硅片面的總的光照分布可以對整個等效光源面積分得到，其形式可寫為:

這里，r(x0，y0)表示二極等效光源。式(7)的原理和廣泛的阿貝成像理論相似，物體在部分相干照明下的成像，可以用許多垂直和傾斜照射物體平面照明光波的相干成像過程的組合來解釋。既然我們關心的是成像的輻照度，不用部分相干成像理論一樣可以確定。為了計算方便，整個等效光源被分解為許多發(fā)光的點源，這些點源各有獨立的相干成像過程，點源與點源之間不相干，那么硅片面成像的凈輻照度即為這些點源相干成像輻照度的總和。

1．2 部分相干光光刻成像模型的實現(xiàn)

如何得到光闌面頻移后的頻譜與之后對整個等效光源范圍積分是部分相干光光刻成像模型的關鍵。

圖2 正入射照明和傾斜入射照明對掩模頻譜衍射花樣的影響

如圖2(a)是平面波正入射時的情形，它是由等效光源面軸上點光源照明時頻譜分布，掩模上相位處相等，即將這種情況下掩模上的復振幅分布定為1。如圖2(b)是平面波斜入射時的情形，它是由等效光源面的軸外一點光源照明時的頻譜分布，這時掩模上的相位處就不相等了，即將這種情況下的復振幅分布不能再定為1，頻譜也發(fā)生了平移。

由于平面波入射時有一定的角度，即這時掩模上平面波傳播的復振幅分布可以用方向正弦表示如下:

其中，tgθxz=，(x'0，y'0)為等效光源面以軸心為原點的實際坐標。

那么掩模面的復振幅透過率函數(shù)可寫為:

那么光闌面平移后的頻譜就可以寫為:

其中，x0=表示相干因子坐標系;同時，也把fx和fy規(guī)范化為FT表示傅里葉變換。把式(10)代入式(7)可得:

2 基于積分法轉換優(yōu)化光刻部分相干成像算法

第二部分建立了光刻的部分相干成像模型，但是要利用Matlab實現(xiàn)光刻部分相干成像模擬是比較困難的。從本文第二部分掩膜上復振幅分布公式來看，如果在計算硅片面部分相干光強光強分布時復振幅分布也用循環(huán)來實現(xiàn)，那么整個計算硅片面部分相干成像光強分布的循環(huán)就需要四層，如果采樣點數(shù)多，Matlab計算循環(huán)將會特別慢。并且從計算部分相干成像硅片面光強分布積分公式看，積分函數(shù)包含了傅里葉變換及逆傅里葉變換，這就更加增加了計算的時間，造成了本文第二部分光刻部分相干成像難于利用 Matlab實現(xiàn)。

Matlab軟件在進行矩陣運算方面進行了優(yōu)化，矩陣運算速度特別快，因此我們考慮將計算等效光源面上一個點光源在掩膜面的復振幅分布的循環(huán)算法轉換成利用矩陣進行運算，這種方法我們將其命名為矩陣積分法。

2．1 利用矩陣積分法優(yōu)化掩膜面復振幅分布算法

假設光刻部分相干成像模擬程序的采樣點為M×M(M為奇數(shù)，在使用本方法優(yōu)化時M最好取為奇數(shù)，如果不是奇數(shù)，掩膜面的矩陣坐標離散可能會出現(xiàn)除不盡的小數(shù)，造成離散坐標誤差。光刻的部分相干成像系統(tǒng)實際上是一個雙遠心系統(tǒng)，如果硅片面成像不出現(xiàn)離焦，這種誤差對成像沒有影響;如果硅片面成像有離焦，這種誤差將會造成成像微小偏移)，我們定義兩個矩陣都是M 列M行，一個為S，一個為ST(S的轉置):

等效光源上每個點源在掩膜上的復振幅分布可寫為:

式(13)中，ψ為等效光源上某個點源在掩膜上的復振幅分布，ψ為一個與S同維的矩陣。這樣掩膜上復振幅透過率可寫為:

式(14)中，T也為一個與S同維的矩陣。由式(13)(14)，光刻硅片面部分相干成像的強度分布公式可改寫為:

這樣，我們就將計算光刻部分相干成像需要的四層循環(huán)，通過矩陣積分法轉換成了兩層循環(huán)。

2．2 對優(yōu)化后的部分相干成像算法進行模擬驗證

為了驗證光刻部分相干成像理論，我們仿真了193 nm光刻環(huán)形照明(內(nèi)相干因子為0．55，外相干因子為0．85)下，特征尺寸為100 nm的掩膜圖形部分相干成像，仿真具體參數(shù)如表1所示。仿真所用電腦主要配置為:i5四核cpu 3470，內(nèi)存4G。我們在沒有改進算法情況下進行了仿真，程序運行了48小時沒有出結果，最后放棄了運算;我們用矩陣計分法改進算法(未進行并行)后，程序運行了1131秒后得到結果;我們用矩陣計分法改進算法結合matlab并行算法改進后，程序運行了414秒得到結果?？梢?，矩陣分析法大大縮短了仿真時間，再結合matlab自身的并行算法更將運算時間縮短了近兩倍。

表1 光刻模擬參數(shù)設置

圖3 100 nm線寬掩模和對應照明模式

圖4 點光源照明和二極照明時掩模的頻譜強度分布對比

圖3為仿真掩模和選取的照明模式(二極照明)。圖4(a)所示為光闌處掩模點光源入射時頻譜強度分布，圖4(b)所示為二極照明光源照明掩模頻譜強度的非相干疊加圖樣。從圖4中我們可以看出二極照明展寬了頻譜，部分基頻被移出光闌，部分高頻被移進光闌，因此光闌處可以得到更多掩模的高頻信息，從而提高了成像的分辨力。

圖5 離焦對部分相干成像的影響

我們基于優(yōu)化的程序，添加了離焦模塊，分析了離焦對部分相干成像的影響。圖5是不同離焦時對部分相干成像的影響，從圖5(a)、圖5(b)及圖5(c)可以看出，隨著離焦的增大，特征尺寸的線寬變大，線寬的分辨率降低。仿真表明，離焦對部分相干成像的影響是很大的，我們在實際的光刻中，要注意找準硅片面的對焦面，以免離焦對光刻分辨率產(chǎn)生大的影響。

結論

通過矩陣積分法實現(xiàn)了Matlab對光刻部分相干成像的模擬，驗證了編寫的部分相干程序的可行性，同時我們加入了離焦因素對光刻分辨率的影響。從仿真分析可以得到，微小的離焦對光刻部分相干成像影響是巨大的，因此在實際光刻中必須考慮離焦的影響，設計有效的焦面對準方法，避免離焦對光刻分辨率造成大的影響。下一步，將考慮對程序進一步完善，實現(xiàn)對光刻成像中各種像差(象散、場曲、球差、畸變、慧差等)的影響分析，同時進步提高程序仿真的精度，實現(xiàn)亞像素成像分析。

［1］Chris A．Mack．Thirty years of lithography simulation［J］．SPIE，2004，5754:1-12．

［2］W．G．Oldham，S．N．Nandgaonkar，A．R．Neureuther and M．O．Toole．A general simulator for VLSI lithography and etching processes:Part I．Application to projection Lithography［J］．IEEE Trans．Electron Devices，1979，26 (4):717-722．

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［4］F．H．Dill，W．P．Hornberger，P．S．Hauge，and J．M．Shaw．Characterization of positive photoresist［J］．IEEE Trans．Electron Devices，1975，22(7):445-452．

［5］K．L．Konnerth and F．H．Dill．In．Situ measurement of dielectric thickness during etching or developing processes［J］．IEEE Trans．Electron Devices，1975，22(7):452-456．

［6］F．H．Dill，A．R．Neureuther，J．A．Tuttle，and E．J．Walker．Modeling projection printing of positive photoresists ［J］．IEEE Trans．Electron Devices，1975，22(7): 456-464．

［7］C．A．Mack．PROLITH:A Comprehensive Optical Lithography Model［J］．SPIE，1985，538:207-220．

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［12］H．H．Horpkins．On the diffraction theory of optical images［J］．Proc．R．Soc．Lond．A，1953 217:408-432．

［13］Eric C．Kintner．Method for the calculation of partially coherent imagery［J］．Appl．Opt．，1978，17(17): 2747-2753．

［責任編輯:莊 鵬］

Optimizing photolithography partial coherent image model based on integral matrix method

PENG Qing-wei1，2，CHEN De-liang1*

(1．Guizhou Education University，Guiyang，Guizhou，550018;2．Guizhou University，Guiyang，Guizhou，550025)

By using the integral matrix method，the Matlab simulation to photolithography partial coherent imaging has been achieved;the feasibility of partly coherent image program written has been confirmed;the defocus effects to photolithography have been considered as well．Using partial coherent image program，the defocus effects to photolithography have been simulated with the condition of defocus．The simulation results indicate that the integral matrix method can reduce the simulation time．Moreover，small defocus has significant influences on partly coherent image，thus defocus error must be considered when carryingon photolithography．

Photolithographic process;Matrix integral method;Defocus

O439

A

1674-7798(2016)09-0049-05

10.13391/j.cnki.issn.1674-7798.2016.09.010

2016-08-02

貴州省教育廳自然科學基金招標項目(黔教合KY字【2012】051號);貴州省科技廳自然科學基金項目(黔科合J字【2013】2253號、黔科合SY字【2014】3084號);貴州師范學院校級學生科研項目(2014DXS114)。

彭清維(1992-)，女，貴州師范學院物理學專業(yè)2015屆本科生，研究方向:光刻技術。

*通訊作者:陳德良(1980-)，男，貴州師范學院副教授，研究方向:光電子技術、光刻技術。